19.4 综合与实践 多边形的镶嵌 同步练习
一.选择题
1. 用一种如下形状的地砖，不能把地面铺得既无缝隙又不重叠的是（ ）
A. 正三角形 B. 正方形 C. 长方形 D. 正五边形
2. 当围绕一点拼接在一起的几个多边形的内角加在一起恰好是（ ）时，多边形可以镶嵌.
A. 60° B.180° C. 360° D. 540°
3. 不能镶嵌成平面图案的正多边形组合为（ ）
A. 正八边形和正方形 B. 正五边形和正十边形
C. 正六边形和正三角形 D. 正六边形和正八边形
4. 小明家准备选两种形状的地板砖铺地，现在家中已有正六边形地板砖，下列形状的地板砖能与正六边形地板砖共同使用的是（ ）
A. 正三角形 B. 正四边形
C. 正八边形 D. 正十二边形
5. 一副美丽的图案，在其顶点处由4个正多边形镶嵌而成，其中三个分别为正三角形、正方形、正六边形则另一个为（ ）
A. 正六边形 B. 正五边形
C. 正方形 D. 正三角形
二.填空题
1. 平面图形镶嵌的条件：要实现平面图形的镶嵌，必须保证每一个拼接点处的角恰好能拼成 .（不留缝隙、不重叠）
2. 如果只用圆、正五边形、矩形中的一种图案镶嵌整个平面，那么这个图形只能是 .
3. 用正三角形作平面镶嵌，同一顶点周围正三角形的个数为 个.
4. 如图，有12个边长相等的正三角形镶嵌而成的平面图形，图中的平行四边形共有 个.
三.解答题
1. 如图是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数为多少？
2. 如图正多边形A、B、C镶嵌地面，其中A为正六边形，C为正方形，请你通过计算，求出正多边形B的边数.
3. 将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌如图所示的图案，设菱形中较小角为x°，平行四边形中较大角的为y°，求y与x的关系式
参考答案
一.1.D 2.C 3.D 4.A 5．C
二.1.一个周角
2.矩形
3.6
4.21
三
1.解：由图可知：
第一个图案有阴影小三角形2个．
第二图案有阴影小三角形2+4=6个．
第三个图案有阴影小三角形2+8=10个，
那么第n个就有阴影小三角形2+4（n-1）=4n-2个，
故第n个图案中阴影小三角形的个数为：4n-2（或2+4（n-1））个．
2. 设正多边形B一个内角为x，则有120°+90°+x=360°，
∴x=150°，
∴n=360÷（180-150）=12．
答：正多边形B的边数为12.
3. 解：如图，
根据平面镶嵌的性质得出：
∠ADC=180-x，∠CDB=y，
∴∠ADC+∠CDB+∠ADB=360，
180-x+y+y=360，
2y-x=180，
课件36张PPT。19.4 多边形的镶嵌沪科版 八年级下新知导入一点空隙也没有.这是怎么铺设的呢?新知导入请问:拼接点处是否被瓷砖完全覆盖，有空隙吗？是否重叠？通过观察上面的地面及墙面，你发现它们有哪些共同特点？新知导入用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，这在几何里叫做平面镶嵌。平面镶嵌也叫密铺。各种图形拼接后要求既无缝隙，又不重叠定义： 注意：新知导入 请同学们拿出准备好的正多边形纸片，以小组为单位，试一试，用同一种正多边形（如正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）能否镶嵌成平面图案? 探究一：新知讲解60°60°60°60°60°60°请问在拼接点处角度之和为多少？（1）正三角形能平面镶嵌吗？正三角形能平面镶嵌新知讲解90°90°90°90°（2） 正方形能平面镶嵌吗？请问在拼接点处角度之和为多少？正方形能平面镶嵌108°108°108°36°（3）正五边形能平面镶嵌吗？正五边形不能平面镶嵌新知讲解新知讲解120 °120 °120 °（4） 正六边形能平面镶嵌吗？请问在拼接点处角度之和为多少？正六边形能平面镶嵌新知讲解能镶嵌不能镶嵌不能镶嵌能镶嵌 6×60°= 360° 4×90°= 360° 4×108°＞ 360° 3×120°= 360° 3×108°＜ 360°能镶嵌新知讲解得出结论：如果用一种正多边形可以进行镶嵌，那么每个内角都是360°的约数.思考：为什么边长相等的正五边形不能镶嵌，而边长相等的正六边形能镶嵌？所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不能镶嵌．新知讲解探究二：小明搬新家了,他的房间要自己设计,地板想用两种正多边形来镶嵌，帮忙设计一个方案吧？新知讲解用边长相等的正三角形和正方形，能否镶嵌成平面图案？请你试一试！活动1：解：设在一个拼接点周围有 m 个正三角形的角,n 个正方边形的角，你知道正三角形及正方形各需要多少吗？则有m·60° +n·90° =360°
2m+3n=12
∵ m,n 为正整数
∴解为m=3.n=2需要三个正三角形及两个正方形镶嵌。新知讲解 图案1图案2请问：同一个组合会有不同的镶嵌效果吗？你能找到它们的拼接点吗？新知讲解 用边长相等的正三角形和正六边形进行平面镶嵌，你能拼出几种不同的图案？活动2：你知道正三角形及正六边形各需要多少吗？解：设在一个拼接点周围有 m 个正三角形的角,n 个正方边形的角，则有m·60° +n·120° =360°
m+2n=6
∵ m,n 为正整数
∴解为m=2.n=2或者m=4.n=1需要两个正三角形及两个正六边形镶嵌；或需要四个正三角形及一个正六边形镶嵌。新知讲解你能找到它们的拼接点吗？请问在拼接点处角度之和为多少？新知讲解课外思考：还有没有其他的两种多边形组合镶嵌的形式呢？新知讲解结论：
用两种正多边形镶嵌成平面图案的条件：
1、拼接在同一个顶点处的所有角之和等于360°.
2、两种正多边形边长相等.新知讲解 五边形和菱形组合可以进行平面镶嵌思考2：正五边形怎样才能进行平面镶嵌呢？ 用几个形状、大小相同的任意三角形能镶嵌成一个平面图案吗？任意四边形呢？如果能镶嵌，请说明理由.
新知讲解探究三：∵ ∠1+∠2+∠3=180°
∴2(∠1+∠2+∠3)=360°
∴任意三角形能镶嵌成平面图案。新知讲解∵∠1+∠2+∠3+∠4=360°∴任意四边形能镶嵌成平面图案。新知讲解新知讲解结论：多边形镶嵌成平面图案的条件：
拼接在同一个顶点处的所有角之和等于360°.课堂练习1．只用下列图形不能镶嵌的是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．正五边形 D．正六边形【分析】任意三角形的内角和是 180°，放在同一顶点处 6 个即能组成镶嵌．同理四边形的内角和是 360°，也能组成镶嵌．正六边形的每个内角是 120°，正五边形每个内角是 180°﹣360°÷
5=108°，其中 180°，360°，120°能整除 360°，所以不适用的是正五边形．课堂练习解： A、任意三角形的内角和是 180°，放在同一顶点处 6 个即能密铺；
B、任意四边形的内角和是 360°，放在同一顶点处 4 个即能密铺；
C、正五边形的每一个内角是 180°﹣360°÷5=108°，不能整除 360°，所以不能密铺；
D、正六边形每个内角是 120 度，能整除 360°，可以密铺．
故选 C．课堂练习2.某商店出售下列四种形状的地砖：
①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．
若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）
A．4 种 B．3 种 C．2 种 D．1 种【分析】由镶嵌的条件知，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看正多边形的内角度数是否能整除 360°，能整除的可以平面镶嵌，反之则不能．课堂练习解：①正三角形的每个内角是 60°，能整除 360°， 6 个能组成镶嵌
②正方形的每个内角是 90°， 4 个能组成镶嵌；
③正五边形每个内角是 180°﹣360°÷5=108°，不能整除 360°，不能镶嵌；
④正六边形的每个内角是 120°，能整除 360°， 3 个能组成镶嵌；
故若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有 3 种．
故选 B．课堂练习3.一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是 ．【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌， 关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为 360°．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．解：∵正方形的一个内角度数为 180°﹣360°÷4=90°， 正六边形的一个内角度数为 180°﹣360°÷6=120°，
∴需要的多边形的一个内角度数为 360°﹣90°﹣120°=150°，
∴需要的多边形的一个外角度数为 180°﹣150°=30°，
∴第三个正多边形的边数为 360÷30=12．
故答案为： 12．课堂练习中考链接（2016?四川遂宁）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是（??）?
A．正三角形? B．正四边形??
C．正六边形?? D．?正八边形?分析：几何图形镶嵌成平面的关键是围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．360°为正多边形一个内角的整数倍才能单独镶嵌．解：A、正三边形的一个内角度数为180﹣360÷3=60°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意
B、正四边形的一个内角度数为180﹣360÷4=90°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
C、正方形的一个内角度数为180﹣360÷6=120°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
D、正八边形的一个内角度数为180﹣360÷8=135°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题意．?
故选：D中考链接课堂总结 本节课你的收获……（1）只用一种正多边形；
（2）同时用两种正多边形；
（3）用一种非正多边形。板书设计可以用同一种正多边形镶嵌的图形只有正三角形，正四边形，正六边形.
3. 用一种形状、大小完全相同的一般三角形、四边形也能进行平面镶嵌。2. 两种或两种以上的正多边形组合在一起可以进行平面镶嵌作业布置下面给出两个课题（每位同学从两个中任选一个）
1.收集生活中的各种镶嵌地板、地砖、墙壁、墙纸的图案，把他们复制下来与同学交流，并研究他们的构成和拼接方法。
2.请你用课上所学知识，设计一幅镶嵌艺术画.
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沪科版数学八年级下册19.4多边形的镶嵌 教学设计
课题
19.4多边形的镶嵌
单元
第19章=
学科
数学
年级
八年级下
学习
目标
【知识与技能】?
了解镶嵌的数学思想及其应用．
【过程与方法】?
经历探究利用一种正多边形以及任意多边形镶嵌的过程，增进应用数学的自信心；
【情感态度与价值观】
通过研究多边形镶嵌获得成功的体验和克服困难的经历，体会数学之美，认识数学的应用价值．
重点
镶嵌的含义及平面镶嵌条件的探究．
难点
怎样进行镶嵌．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师：请同学们观看课件，这是生活中常见的镶嵌图案，体会数学的生活化。
师：请问拼接点处是否被瓷砖完全覆盖，有空隙吗？是否重叠？
师：通过观察上面的地面及墙面，你发现它们有哪些共同特点？
认真观察，积极思考并回答问题，
通过生活场景到新课，
讲授新课
师：下面我们来描述一下平面镶嵌的定义：
用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，这在几何里叫做平面镶嵌。平面镶嵌也叫密铺。
师：同学们注意各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠
师：接下来我们来探索一下如何利用正多边形以及任意多边形进行平面镶嵌，
探究一：
师：请同学们拿出准备好的正多边形纸片，以小组为单位，试一试，用同一种正多边形（如正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）能否镶嵌成平面图案?
（1）正三角形能平面镶嵌吗？
师：请问在拼接点处角度之和为多少？
正三角形能平面镶嵌
（2） 正方形能平面镶嵌吗？
师：请问在拼接点处角度之和为多少？
正方形能平面镶嵌
（3）正五边形能平面镶嵌吗？
正五边形不能平面镶嵌
（4） 正六边形能平面镶嵌吗？
师：请问在拼接点处角度之和为多少？
正六边形能平面镶嵌
师：思考为什么边长相等的正五边形不能镶嵌，而边长相等的正六边形能镶嵌？
师：由以上可得出结论：
如果用一种正多边形可以进行镶嵌，那么每个内角都是360°的约数.
所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不能镶嵌．
探究二：
小明搬新家了,他的房间要自己设计,地板想用两种正多边形来镶嵌，帮忙设计一个方案吧？
活动1：
师：用边长相等的正三角形和正方形，能否镶嵌成平面图案？请你试一试！
你知道正三角形及正方形各需要多少吗？
解：设在一个拼接点周围有 m 个正三角形的角,n 个正方边形的角，
则有m·60° +n·90° =360°
2m+3n=12
∵ m,n 为正整数
∴解为m=3.n=2
需要三个正三角形及两个正方形镶嵌。
师：请问同一个组合会有不同的镶嵌效果吗？
师：你能找到它们的拼接点吗？
活动2：
师：用边长相等的正三角形和正六边形进行平面镶嵌，你能拼出几种不同的图案？
师：你知道正三角形及正六边形各需要多少吗？
解：设在一个拼接点周围有 m 个正三角形的角,n 个正方边形的角，
则有m·60° +n·120° =360°
m+2n=6
∵ m,n 为正整数
∴解为m=2.n=2或者m=4.n=1
需要两个正三角形及两个正六边形镶嵌；或需要四个正三角形及一个正六边形镶嵌。
师：你能找到它们的拼接点吗？
师：请问在拼接点处角度之和为多少？
课外思考：还有没有其他的两种多边形组合镶嵌的形式呢？
师：由以上可得出结论：
用两种正多边形镶嵌成平面图案的条件：
1、拼接在同一个顶点处的所有角之和等于360°.
2、两种正多边形边长相等.
师：思考2：正五边形怎样才能进行平面镶嵌呢？
五边形和菱形组合可以进行平面镶嵌
探究三：
师：用几个形状、大小相同的任意三角形能镶嵌成一个平面图案吗？任意四边形呢？如果能镶嵌，请说明理由.
如图
∵ ∠1+∠2+∠3=180°
∴2(∠1+∠2+∠3)=360°
∴任意三角形能镶嵌成平面图案。
师：由以上可得出结论：
多边形镶嵌成平面图案的条件：
拼接在同一个顶点处的所有角之和等于360°.
认真思考以及描述定义，
在老师的引导下认真思考，积极探索平面镶嵌的有关内容
学生拿手中正三边形进行实验并得出结论
学生拿手中正方形进行实验并得出结论
学生拿手中正五边形进行实验并得出结论
学生拿手中正六边形进行实验并得出结论
学生讨论得出结论
学生拿手中的正三角形和正方形进行实验探究，并得出结论
引出课题（板书） 明确镶嵌含义
通过分类讨论培养学生的逻辑思维能力
学生通过拿手中的多边形进行实验探究得出结论，能够给学生加深印象，掌握知识点
课堂练习
1．只用下列图形不能镶嵌的是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．正五边形 D．正六边形
2.某商店出售下列四种形状的地砖：
①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．
若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）
A．4 种 B．3 种 C．2 种 D．1 种
3.一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是 ．
独立思考小组合作认真完成相关题目
初步应用所学解决有关问题，
中考链接
（2016?四川遂宁）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是（??）?
A．?正三角形?B．正四边形??
C．正六边形??D．?正八边形?
思考并回答相关问题，
进一步运用所学解决中考问题，
课堂小结
师：本节课你的收获……
（1）只用一种正多边形；
（2）同时用两种正多边形；
（3）用一种非正多边形。
对你思考回顾总结相关知识，
培养学生梳理知识的概括能力，
板书
1. 可以用同一种正多边形镶嵌的图形只有正三角形，正四边形，正六边形.
3. 用一种形状、大小完全相同的一般三角形、四边形也能进行平面镶嵌。
2. 两种或两种以上的正多边形组合在一起可以进行平面镶嵌
认真记录，
留下思维的痕迹，
