课件10张PPT。3.1.1两条直线
平行和垂直的判定 在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相
交时，取x轴作为基准， x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α 叫做直线l的倾斜角. 倾斜角不是900的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k来表示.
k=tan α设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2.结论1：对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有例1 已知A(2，3)，B(-4，0)，P(-3，1)，
Q(-1，2)，试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论.例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为
A(0,0)，B(2,-1)，C(4,2)，D(2,3),试判断
四边形ABCD的形状，并给出证明.设两条直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2( α1、α2≠90°).xOyl2l1α1α2结论2：如果两条直线l1、l2都有斜率，且分别为k1、k2，则有例3 已知A（-6，0），B（3，6），P（0，
3） Q（6，-6），判断直线AB与PQ的位置关系.例4 已知A(5,-1)，B(1,1)，C(2,3)三点,
试判断△ABC的形状.1. 直线的平行与垂直的等价条件；
2. 数形结合，等价转化.习题 3.1A组6,7,8，B组1-6 课时跟踪检测（十六） 两条直线平行与垂直的判定
层级一 学业水平达标
1．设点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，下面四个结论：①PQ∥SR；②PQ⊥PS；③PS∥QS；④PR⊥QS.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C 由斜率公式知kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝，∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS，∴PS与QS不平行，①②④正确，故选C.
2．直线l过(m，n)，(n，m)两点，其中m≠n，mn≠0，则( )
A．l与x轴垂直 B．l与y轴垂直
C．l过原点和第一、三象限 D．l的倾斜角为135°
解析：选D 直线的斜率k＝＝－1，∴直线l的倾斜角为135°.
3．经过点P(－2，m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，则m的值是( )
A．4 B．1
C．1或3 D．1或4
解析：选B 由题意，知＝1，解得m＝1.
4．若直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值为( )
A．1 B．3
C．0或1 D．1或3
解析：选D ∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，即×＝－1，解得a＝1或a＝3.
5．已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
解析：选B 如图所示，易知kAB＝－，kBC＝0，kCD＝－，kAD＝0，kBD＝－，kAC＝，所以kAB＝kCD，kBC＝kAD，kAB·kAD＝0，kAC·kBD＝－，故AD∥BC，AB∥CD，AB与AD不垂直，BD与AC不垂直，所以四边形ABCD为平行四边形．
6．若经过点(m,3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．
解析：由题意可知kl＝，
又因为kl＝，所以＝，
解得m＝.
答案：
7．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝________.若l1∥l2，则m＝________.
解析：由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2＝，
若l1⊥l2，则＝－1，∴m＝－2.
若l1∥l2则k1＝k2，即关于k的二次方程2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根，
∴Δ＝(－4)2－4×2×m＝0，∴m＝2.
答案：－2 2
8．已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2＋2)，B(0，2－2)，C(4,2)，则△ABC是________．(填△ABC的形状)
解析：因为AB边所在直线的斜率kAB＝＝2，CB边所在直线的斜率kCB＝＝，AC边所在直线的斜率kAC＝＝－，kCB·kAC＝－1，所以CB⊥AC，所以△ABC是直角三角形．
答案：直角三角形
9．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：
(1)倾斜角为135°；
(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；
(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．
解：(1)由kAB＝＝－1，得2m2＋m－3＝0，
解得m＝－或1.
(2)由＝3及垂直关系，得＝－，
解得m＝或－3.
(3)令＝＝－2，解得m＝或－1.
10．已知△ABC的顶点分别为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值．
解：若∠A为直角，则AC⊥AB，
∴kAC·kAB＝－1，即×＝－1，解得m＝－7；
若∠B为直角，则AB⊥BC，
∴kAB·kBC＝－1，即×＝－1，解得m＝3；
若∠C为直角，则AC⊥BC，
∴kAC·kBC＝－1，即×＝－1，解得m＝±2.
综上，m的值为－7，－2,2或3.
层级二 应试能力达标
1．若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则有( )
A．α1－α2＝90° B．α2－α1＝90°
C．|α2－α1|＝90° D．α1＋α2＝180°
解析：选C 由题意，知α1＝α2＋90°或α2＝α1＋90°，所以|α2－α1|＝90°.
2．已知四点A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为( )
A．1 B．0
C．0或2 D．0或1
解析：选D 当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率都不存在，且不重合，此时直线AB与直线CD平行；当m≠0时，kAB＝，kCD＝，由＝，解得m＝1.综上，m的值为0或1.
3．已知直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，其中l1∥l2，且k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，则k1＋k2＋k3的值是( )
A．1 B.
C. D．1或
解析：选D 由k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，解方程得或又l1∥l2，所以k1＝k2，所以k1＋k2＋k3＝1或.
4．已知△ABC的顶点B(2,1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3,2)，则其顶点A的坐标为( )
A．(－19，－62) B．(19，－62)
C．(－19,62) D．(19,62)
解析：选A 设A(x，y)，由已知，得AH⊥BC，BH⊥AC，且直线AH，BH的斜率存在，所以即解得即A(－19，－62)．
5．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D坐标为________时，AB⊥CD.
解析：设点D(x,0)，因为kAB＝＝4≠0，
所以直线CD的斜率存在．
则由AB⊥CD知，kAB·kCD＝－1，所以4·＝－1，解得x＝－9.
答案：(－9,0)
6．已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1,1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________．
解析：由题意得l1∥l2，∴kAB＝kMN.
∵kAB＝＝－，kMN＝＝3，
∴－＝3，∴a＝－6.
答案：－6
7．在平面直角坐标系xOy中，四边形OPQR的顶点坐标分别为O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t,2＋t)，R(－2t,2)，其中t>0.试判断四边形OPQR的形状．
解：由斜率公式，得kOP＝＝t，
kQR＝＝＝t，
kOR＝＝－，
kPQ＝＝＝－.
∴kOP＝kQR，kOR＝kPQ，
∴OP∥QR，OR∥PQ，
∴四边形OPQR为平行四边形．
又kOP·kOR＝－1，∴OP⊥OR，
∴四边形OPQR为矩形．
8．直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，试求m的值．
解：如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，
∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝.
当m＝1时，直线AB的斜率不存在，此时l2的斜率为0，不满足l1∥l2.当m≠1时，直线AB的斜率kAB＝＝，∴线段AB的垂直平分线l2的斜率为k2＝.
∵l1与l2平行，
∴k1＝k2，即＝，解得m＝4＋.
3．1.2 两条直线平行与垂直的判定
1．两直线平行，对斜率和倾斜角的要求分别是怎样的？
2．两直线垂直，对斜率和倾斜角的要求分别是怎样的？
1．两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2?k1＝k2.
[点睛]
(1)l1∥l2?k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2.
2．两条直线垂直
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2?k1·k2＝－1.
[点睛] l1⊥l2?k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0.
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行( )
(2)若l1∥l2，则k1＝k2( )
(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直( )
(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是( )
A．平行 B．重合
C．相交但不垂直 D．垂直
解析：选D 设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1.
3．l1过点A(m,1)，B(－3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且l1∥l2，则m＝________.
解析：∵l1∥l2，且k2＝＝－1，∴k1＝＝－1，
∴m＝0.
答案：0
两条直线平行的判定
[典例] 判断下列各题中直线l1与l2是否平行．
(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)；
(2)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)．
[解] (1)k1＝＝1，k2＝＝.
∵k1≠k2，∴l1与l2不平行．
(2)∵l1与l2都与x轴垂直，且l1与l2不重合，∴l1∥l2.
k1＝k2?l1∥l2是针对斜率都存在且不重合的直线而言的，对于斜率不存在或可能不存在的直线，要注意利用图形．
[活学活用]
1．经过两点C(3,1)，D(－2,0)的直线l1，与经过点M(1，－4)且斜率为的直线l2的位置关系为( )
A．平行 B．垂直
C．重合 D．无法确定
解析：选A ∵kl1＝＝，∴kl1＝kl2.
又∵kMD＝＝－≠，
∴l1与l2不重合，∴l1与l2平行．
2．在△ABC中，A(0,3)，B(2，－1)，E，F分别为边AC，BC的中点，则直线EF的斜率为________．
解析：∵E，F分别为边AC，BC的中点，∴EF∥AB.
∴kEF＝kAB＝＝－2.
答案：－2
两条直线垂直的判定
[典例] 判断下列各题中l1与l2是否垂直．
(1)l1经过点A(－3，－4)，B(1,3)，l2经过点M(－4，－3)，N(3,1)；
(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；
(3)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．
[解] (1)k1＝＝，k2＝＝，k1k2＝1，
∴l1与l2不垂直．
(2)k1＝－10，k2＝＝，k1k2＝－1，∴l1⊥l2.
(3)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；k2＝＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2.
判断两条直线是否垂直的依据是：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．
[活学活用]
1．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．
解析：由过两点的直线的斜率公式可得kPQ＝＝1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.
答案：－1
2．已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(－1,1)，C(0,2)，求BC边上的高所在直线的斜率与倾斜角．
解：设BC边上的高所在直线的斜率为k，
则有k·kBC＝－1.
∵kBC＝＝1，∴k＝－1.
∴BC边上的高所在直线的倾斜角为135°.
两直线平行与垂直的综合应用
[典例] (1)已知A(－1,2)，B(1,3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为( )
A. B.
C. D.
(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，a＋2)．
①若l1∥l2，求a的值；
②若l1⊥l2，求a的值．
[解] (1)设D(x，y)．
∵AD⊥BC，∴·＝－1，
∴x＋5y－9＝0.
∵AB∥CD，∴＝，
∴x－2y－4＝0.
联立解得故选 D.
[答案] D
(2)设直线l2的斜率为k2，
则k2＝＝－.
①若l1∥l2，则l1的斜率k1＝－.
∵k1＝，∴＝－，
解得a＝1或a＝6.
经检验，当a＝1或a＝6时，l1∥l2.
②若l1⊥l2.
当k2＝0时，此时a＝0，k1＝－，不符合题意；
当k2≠0时，l1的斜率存在，此时k1＝.
由k1k2＝－1可得·＝－1，解得a＝3或a＝－4.
∴当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.
当直线上点的坐标含有参数时，参数的不同取值决定了两条直线不同的位置关系，因此应对参数的取值情况分类讨论，一般分为直线斜率存在和斜率不存在两种情况．
[活学活用]
1．已知四边形MNPQ的顶点M(1,1)，N(3，－1)，P(4,0)，Q(2,2)，求证：四边形MNPQ为矩形．
证明：∵kMN＝＝－1，kPQ＝＝－1，
∴MN∥PQ.
又∵kMQ＝＝1，kNP＝＝1，
∴MQ∥NP，∴四边形MNPQ为平行四边形．
又kMN·kMQ＝－1，∴MN⊥MQ，
∴四边形MNPQ为矩形．
2．已知A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)．
解：设所求点D的坐标为(x，y)，
如图，由于kAB＝＝3，kBC＝0，
所以kAB·kBC＝0≠－1，
即AB与BC不垂直，
故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰．
①若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥C D.
因为kBC＝0，所以CD的斜率不存在，从而有x＝3.
又kAD＝kBC，所以＝0，即y＝3.
此时AB与CD不平行．故所求点D的坐标为(3,3)．
②若AD是直角梯形的直角腰，
则AD⊥AB，AD⊥CD.
因为kAD＝，kCD＝，
由于AD⊥AB，所以·3＝－1.①
又AB∥CD，所以＝3.②
由①②解得x＝，y＝.此时AD与BC不平行．
故所求点D的坐标为.
综上可知，使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为(3,3)或.
层级一 学业水平达标
1．设点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，下面四个结论：①PQ∥SR；②PQ⊥PS；③PS∥QS；④PR⊥QS.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C 由斜率公式知kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝，∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS，∴PS与QS不平行，①②④正确，故选C.
2．直线l过(m，n)，(n，m)两点，其中m≠n，mn≠0，则( )
A．l与x轴垂直 B．l与y轴垂直
C．l过原点和第一、三象限 D．l的倾斜角为135°
解析：选D 直线的斜率k＝＝－1，∴直线l的倾斜角为135°.
3．经过点P(－2，m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，则m的值是( )
A．4 B．1
C．1或3 D．1或4
解析：选B 由题意，知＝1，解得m＝1.
4．若直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值为( )
A．1 B．3
C．0或1 D．1或3
解析：选D ∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，即×＝－1，解得a＝1或a＝3.
5．已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
解析：选B 如图所示，易知kAB＝－，kBC＝0，kCD＝－，kAD＝0，kBD＝－，kAC＝，所以kAB＝kCD，kBC＝kAD，kAB·kAD＝0，kAC·kBD＝－，故AD∥BC，AB∥CD，AB与AD不垂直，BD与AC不垂直，所以四边形ABCD为平行四边形．
6．若经过点(m,3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．
解析：由题意可知kl＝，
又因为kl＝，所以＝，
解得m＝.
答案：
7．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝________.若l1∥l2，则m＝________.
解析：由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2＝，
若l1⊥l2，则＝－1，∴m＝－2.
若l1∥l2则k1＝k2，即关于k的二次方程2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根，
∴Δ＝(－4)2－4×2×m＝0，∴m＝2.
答案：－2 2
8．已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2＋2)，B(0，2－2)，C(4,2)，则△ABC是________．(填△ABC的形状)
解析：因为AB边所在直线的斜率kAB＝＝2，CB边所在直线的斜率kCB＝＝，AC边所在直线的斜率kAC＝＝－，kCB·kAC＝－1，所以CB⊥AC，所以△ABC是直角三角形．
答案：直角三角形
9．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：
(1)倾斜角为135°；
(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；
(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．
解：(1)由kAB＝＝－1，得2m2＋m－3＝0，
解得m＝－或1.
(2)由＝3及垂直关系，得＝－，
解得m＝或－3.
(3)令＝＝－2，解得m＝或－1.
10．已知△ABC的顶点分别为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值．
解：若∠A为直角，则AC⊥AB，
∴kAC·kAB＝－1，即×＝－1，解得m＝－7；
若∠B为直角，则AB⊥BC，
∴kAB·kBC＝－1，即×＝－1，解得m＝3；
若∠C为直角，则AC⊥BC，
∴kAC·kBC＝－1，即×＝－1，解得m＝±2.
综上，m的值为－7，－2,2或3.
层级二 应试能力达标
1．若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则有( )
A．α1－α2＝90° B．α2－α1＝90°
C．|α2－α1|＝90° D．α1＋α2＝180°
解析：选C 由题意，知α1＝α2＋90°或α2＝α1＋90°，所以|α2－α1|＝90°.
2．已知四点A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为( )
A．1 B．0
C．0或2 D．0或1
解析：选D 当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率都不存在，且不重合，此时直线AB与直线CD平行；当m≠0时，kAB＝，kCD＝，由＝，解得m＝1.综上，m的值为0或1.
3．已知直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，其中l1∥l2，且k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，则k1＋k2＋k3的值是( )
A．1 B.
C. D．1或
解析：选D 由k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，解方程得或又l1∥l2，所以k1＝k2，所以k1＋k2＋k3＝1或.
4．已知△ABC的顶点B(2,1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3,2)，则其顶点A的坐标为( )
A．(－19，－62) B．(19，－62)
C．(－19,62) D．(19,62)
解析：选A 设A(x，y)，由已知，得AH⊥BC，BH⊥AC，且直线AH，BH的斜率存在，所以即解得即A(－19，－62)．
5．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D坐标为________时，AB⊥CD.
解析：设点D(x,0)，因为kAB＝＝4≠0，
所以直线CD的斜率存在．
则由AB⊥CD知，kAB·kCD＝－1，所以4·＝－1，解得x＝－9.
答案：(－9,0)
6．已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1,1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________．
解析：由题意得l1∥l2，∴kAB＝kMN.
∵kAB＝＝－，kMN＝＝3，
∴－＝3，∴a＝－6.
答案：－6
7．在平面直角坐标系xOy中，四边形OPQR的顶点坐标分别为O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t,2＋t)，R(－2t,2)，其中t>0.试判断四边形OPQR的形状．
解：由斜率公式，得kOP＝＝t，
kQR＝＝＝t，
kOR＝＝－，
kPQ＝＝＝－.
∴kOP＝kQR，kOR＝kPQ，
∴OP∥QR，OR∥PQ，
∴四边形OPQR为平行四边形．
又kOP·kOR＝－1，∴OP⊥OR，
∴四边形OPQR为矩形．
8．直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，试求m的值．
解：如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，
∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝.
当m＝1时，直线AB的斜率不存在，此时l2的斜率为0，不满足l1∥l2.当m≠1时，直线AB的斜率kAB＝＝，∴线段AB的垂直平分线l2的斜率为k2＝.
∵l1与l2平行，
∴k1＝k2，即＝，解得m＝4＋.
