课件14张PPT。2.2.4平面与平面平行的性质 如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行.1.什么叫两平面平行？一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.2.两平面平行的判定定理？3.推论:平面与平面平行的性质 如果两个平行平面同
时和第三个平面相交, 那么它们 的交线
平行.平面与平面平行性质性质定理过点A作直线 (2) 若平面α、β都与平面γ相交，且
交线平行，则α∥β吗？例1 求证: 夹在两个平行平面间的
平行线段相等.（证明略）性质：夹在两个平行平面间的平行线段相等．性质：经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行.两个平面平行的其它性质(A) 0 (B) 1 (C) 0或1 (D) 1或2(A)1种 (B) 2种 (C)3种 (D)4种其中可能出现的情形有 ( )1. 经过平面外两点可作该平面的平
行平面的个数为（ ）√√ 例2 如图,设AB、CD为夹在两个平行
平面 之间的线段,且直线AB、CD为异面直线,M、P 分别为AB、CD 的中点，求证:直线MP // 平面 .1. 复习平面与平面平行的概念及判定
2. 学习并掌握平面与平面平行的性质课本第61页练习
习题2.2 A组7题，8题
2．2.3&2.2.4 直线与平面平行的性质、平面与平面平行的性质
预习课本P58～61，思考并完成以下问题
1．线面平行的性质定理是什么？
2．面面平行的性质定理是什么？
3．面面平行还有哪些性质？
1．直线与平面平行的性质
(1)文字语言：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．
(2)图形语言：
(3)符号语言：
?a∥b.
[点睛] 定理中有三个条件：①直线a和平面α平行，即a∥α；②直线a在平面β内，即a?β；③平面α，β相交，即α∩β＝b.三个条件缺一不可．
2．平面与平面平行的性质
(1)文字语言：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
(2)图形语言：
(3)符号语言：
?a∥b.
[点睛] (1)已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．
(2)该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α( )
(2)若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点( )
(3)若α∥β，则平面α内有无数条互相平行的直线平行于平面β( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )
A．平行 B．平行或异面
C．平行或相交 D．异面或相交
解析：选B 由题意，CD∥α，则平面α内的直线与CD可能平行，也可能异面．
3．过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．
解析：由于平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面A1B1C1D1∩平面A1C1B＝A1C1，平面ABCD∩平面A1C1B＝l，所以l∥A1C1.
答案：平行
线面平行性质的应用
[典例] 如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.
[证明] 如图，连接AC，交BD于点O，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是AC的中点．
又∵点M是PC的中点，
∴AP∥OM.
又∵AP?平面BDM，OM?平面BDM，
∴AP∥平面BDM.
∵平面PAHG∩平面BDM＝GH，AP?平面PAHG，
∴AP∥GH.
线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行．利用线面平行的性质定理解题的具体步骤：(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面；(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面；(3)确定交线；(4)由性质定理得出线线平行的结论．
[活学活用]
如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．
证明：∵AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，∴AB∥MN.
又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.
同理可证NP∥MQ.
∴四边形MNPQ为平行四边形.
面面平行性质的应用
[典例] 如图所示，已知三棱柱ABC-A′B′C′中，D是BC的中点，D′是B′C′的中点，设平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面ADC′∩平面A′B′C′＝b，判断直线a，b的位置关系，并证明．
[解] 直线a，b的位置关系是平行．
∵平面ABC∥平面A′B′C′，
平面A′D′B∩平面ABC＝a，
平面A′D′B∩平面A′B′C′＝A′D′，
∴A′D′∥a，同理可得AD∥b.
又D是BC的中点，D′是B′C′的中点，
∴DD′綊BB′，而BB′綊AA′，∴DD′綊AA′，
∴四边形AA′D′D为平行四边形，
∴A′D′∥AD，因此a∥b.
利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤
(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；
(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出)；
(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；
(4)由定理得出结论．
[活学活用]
如图，平面α∥平面β，AB，CD是两异面直线，且A，C∈β，B，C∈α，M，N分别在线段AB，CD上，且＝.求证：MN∥α.
证明：如图，过点A作AE∥CD，AE∩α＝E，连接BE，在平面ABE内作MP∥BE，MP交AE于P，
连接NP，DE，则＝.
∵＝，∴＝.
∵平面α∥平面β，平面ACDE∩α＝ED，
平面ACDE∩β＝AC，
∴AC∥ED，∴PN∥ED.
∵PN?α，ED?α，∴PN∥α.
∵PM∥BE，PM?α，BE?α，∴PM∥α.
又PM∩PN＝P，
∴平面PMN∥平面α.
∵MN?平面PMN，∴MN∥α.
平行关系的综合应用
[典例] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图．
(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；
(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.
[证明] (1)因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD綊B1C1，
所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.
又因为C1D?平面C1BD，AB1?平面C1BD.
所以AB1∥平面C1BD.
同理B1D1∥平面C1BD.
又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1，
所以平面AB1D1∥平面C1BD.
(2)如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1与A1C交于点E.
又因为AO1?平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，
所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；
连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．下面证明A1E＝EF＝FC.
因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，
平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，
平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；
同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，
即CF＝FE，
所以A1E＝EF＝FC.
(1)在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．
(2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．
[活学活用]
如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
解：法一：假设在棱AB上存在点E，使得DE∥平面AB1C1，
如图，取BB1的中点F，
连接DF，EF，ED，则DF∥B1C1，
又DF?平面AB1C1，
B1C1?平面AB1C1，
∴DF∥平面AB1C1，
又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，
∴平面DEF∥平面AB1C1，
∵EF?平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，
又∵EF?平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，
∴EF∥AB1，
∵点F是BB1的中点，∴点E是AB的中点．
即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1.
法二：存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1.
证明如下：
如图，取BB1的中点F，连接DF，
则DF∥B1C1.
∵DF?平面AB1C1，B1C1?平面AB1C1，
∴DF∥平面AB1C1.
∵AB的中点为E，连接EF，ED，
则EF∥AB1.
∵EF?平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，
∴EF∥平面AB1C1.
∵DF∩EF＝F，
∴平面DEF∥平面AB1C1.
而DE?平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.
层级一 学业水平达标
1．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为( )
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
解析：选A 因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.
2.如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则( )
A．GH∥SA
B．GH∥SD
C．GH∥SC
D．以上均有可能
解析：选B 因为GH∥平面SCD，GH?平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B.
3．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论中正确的是( )
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
解析：选D 由于BD∥平面EFGH，由线面平行的性质定理，有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.
4．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：
①?α∥β； ②?α∥β；
③?a∥α； ④?a∥β.
其中正确的命题是( )
A．①②③ B．①④
C．② D．①③④
解析：选C ①α与β有可能相交；②正确；③有可能a?α；④有可能a?β.故选C.
5．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于A，C两点，过点P的直线n与α，β分别交于B，D两点，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为( )
A．16 B．24或
C．14 D．20
解析：选B 由α∥β得AB∥CD.分两种情况：若点P在α，β的同侧，则＝，∴PB＝，∴BD＝；若点P在α，β之间，则有＝，∴PB＝16，∴BD＝24.
6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
解析：∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2.又E为AD的中点，EF∥平面AB1C，EF?平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC的中点，∴EF＝AC＝.
答案：
7．过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．
解析：记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共有6条．
答案：6
8．已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题：
①若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β；
②若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥β，则α∥β；
③若a∥α，a∥β，则α∥β；
④若a?α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b.
其中正确命题的序号是________．
解析：①错误，α与β也可能相交；②正确，设a，b确定的平面为γ，依题意，得γ∥α，γ∥β，故α∥β；③错误，α与β也可能相交；④正确，由线面平行的性质定理可知．
答案：②④
9.如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝，求证：MN∥平面SBC.
证明：在AB上取一点P，使＝，连接MP，NP，则MP∥SB.
∵SB?平面SBC，MP?平面SBC，∴MP∥平面SBC.
又＝，∴＝，∴NP∥AD.
∵AD∥BC，∴NP∥BC.
又BC?平面SBC，NP?平面SBC，
∴NP∥平面SBC.
又MP∩NP＝P，
∴平面MNP∥平面SBC，而MN?平面MNP，
∴MN∥平面SBC.
10.如图所示，四边形ABCD是矩形，P?平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE为梯形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD.
∵AD?平面APD，BC?平面APD，
∴BC∥平面APD.
又平面BCFE∩平面APD＝EF，
∴BC∥EF，∴AD∥EF.
又E，F是△APD边上的点，∴EF≠AD，∴EF≠BC.
∴四边形BCFE是梯形．
层级二 应试能力达标
1．已知平面α，β，直线a，b，c，若a?α，b?α，c?α，a∥b∥c，且a∥β，b∥β，c∥β，则平面α与β的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不对
解析：选C 由题意可知，平面α内不一定有两条相交直线与平面β平行，所以平面α与β有可能平行，也有可能相交．
2．已知直线a∥平面α，直线b?平面α，则( )
A．a∥b B．a与b异面
C．a与b相交 D．a与b无公共点
解析：选D 由题意可知直线a与平面α无公共点，所以a与b平行或异面，所以两者无公共点．
3．已知平面α∥平面β，a?α，b?β，则直线a，b的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
解析：选D ∵平面α∥平面β，∴平面α与平面β没有公共点．∵a?α，b?β，∴直线a，b没有公共点，∴直线a，b的位置关系是平行或异面．
4.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为( )
A．2∶5 B．3∶8
C．4∶9 D．4∶25
解析：选D ∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴A′B′∥AB.又∵PA′∶AA′＝2∶3，∴A′B′∶AB＝PA′∶PA＝2∶5.同理B′C′∶BC＝A′C′∶AC＝2∶5.∴△A′B′C′与△ABC相似，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.
5．在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP＝，若P，M，N组成的平面与棱CD交于点Q，则PQ＝________.
解析：如图，连接A1C1，AC.
由面面平行的性质可知，PQ∥MN，而MN∥A1C1∥AC，∴PQ∥AC.
可求得AC＝a，∴＝，
∴＝，得PQ＝a.
答案：a
如图，四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是四边上的点，它们共面，且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，则当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝________.
解析：∵AC∥平面EFGH，∴EF∥AC，HG∥AC，∴EF＝HG＝m.同理，EH＝FG＝n，∴m＝n，∴AE∶EB＝m∶n.
答案：m∶n
7.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．
(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；
(2)求PQ的长；
(3)求证：EF∥平面BB1D1D.
解：(1)证明：如图所示．
连接AC，CD1，
∵P，Q分别是AD1，AC的中点，
∴PQ∥CD1.
又PQ?平面DCC1D1，
CD1?平面DCC1D1，
∴PQ∥平面DCC1D1.
(2)由(1)易知PQ＝D1C＝a.
(3)证明：取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，又FE1∩EE1＝E1，B1D1∩BB1＝B1，∴平面EE1F∥平面BB1D1D.
又EF?平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D.
8.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置．
解：若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于N，连接MN，NF.因为BF∥
平面AA1C1C，
BF?平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN.
又MB∥平面AEF，MB?平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN，
所以BFNM是平行四边形，
所以MN∥BF，MN＝BF＝1.
而EC∥FB，EC＝2FB＝2，
所以MN∥EC，MN＝EC＝1，
故MN是△ACE的中位线．
所以M是AC的中点时，MB∥平面AEF.
