课件11张PPT。4.1.1圆的标准方程 圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合.定点定长圆心半径 当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了．
因此一个圆最基本的要素是圆心和半径．圆的标准方程xy|MC|= r则P = { M | |MC| = r }圆上所有点的集合 如图，在直角坐标系中，圆心C的位置用坐标 (a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x, y)与圆心C (a,b) 的距离．xyOCM(x,y)圆心C(a,b),半径r若圆心为O（0，0），则圆的方程为：圆的标准方程
圆的标准方程3.已知M(5,-7)和圆 (x – 2 )2+(y + 3 )2=25 ,则点M在( )
A.圆内 B.圆上 C.圆外 D.无法确定 1.圆心为 A(2,-3)，半径长等于5的圆的方程为( )
A. (x – 2 )2+(y – 3 )2=25 B. (x – 2 )2+(y + 3 )2=25
C. (x – 2 )2+(y + 3 )2=5 D. (x + 2 )2+(y – 3 )2=5 B2.圆 (x－2)2+ y2=2的圆心C的坐标及半径r分别为 ( )
A. C（2，0） r = 2 B. C（ – 2，0） r = 2
C. C（0，2） r = D. C（2，0） r = DB 例1 △ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1),
B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，
所以它们的坐标都满足方程（1）．于是待定系数法所求圆的方程为圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点xyOA(5,1)B(7,-3)C(2,-8)DE 例2 已知两点P1(4,9),P2(6,3),求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)在圆上在圆内，还是圆外（可利用计算器）？P121 练习 3
圆心：直径的中点半径：直径的一半解:设点C(a,b)为直径P1P2 的中点,则圆的方程为因此点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内.圆心坐标为（5，6）圆心C(a,b),半径rxyOCABC1.圆的标准方程2.圆心①两条直线的交点
（弦的垂直平分线）②直径的中点3.半径①圆心到圆上一点②圆心到切线的距离P121 练习
习题A组1、2
课时跟踪检测（二十一） 圆的标准方程
层级一 学业水平达标
1．方程|x|－1＝所表示的曲线是( )
A．一个圆 B．两个圆
C．半个圆 D．两个半圆
解析：选D 由题意，得即或故原方程表示两个半圆．
2．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
解析：选A 直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，－6)，可得直径长为2，则半径长为，所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
3．已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29
B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29
C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116
D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116
解析：选B 圆心为线段AB的中点(1，－3)，半径为＝＝，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.故选B.
4．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )
A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
解析：选D 圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)．因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l的方程是y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.故选D.
5．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为( )
A．2 B．1
C. D.
解析：选B x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为14－＝1.
6．若点P(－1，)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝________.
解析：∵P点在圆x2＋y2＝m2上，
∴(－1)2＋()2＝4＝m2，
∴m＝±2.
答案：±2
7．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是__________________．
解析：由可得x＝2，y＝4，即圆心为(2,4)，从而r＝＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.
答案：(x－2)2＋(y－4)2＝20
8．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心且过点P(－1,1)的圆的方程为________________．
解析：因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又r＝＝5，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝25
9．求圆心在x轴上，且过A(1,4)，B(2，－3)两点的圆的方程．
解：设圆心为(a,0)，
则＝，所以a＝－2.
半径r＝＝5，
故所求圆的方程为(x＋2)2＋y2＝25.
10．求过点A(－1,3)，B(4,2)，且在x轴，y轴上的四个截距之和是4的圆的标准方程．
解：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.把点A，B的坐标代入，得消去r2，得b＝5a－5.①
令x＝0，则(y－b)2＝r2－a2，y＝b±，
∴在y轴上的截距之和是2b.
令y＝0，则(x－a)2＝r2－b2，x＝a±，
∴在x轴上的截距之和是2a.
∴2a＋2b＝4，即a＋b＝2.②
①代入②，得a＝，∴b＝.
∴r2＝2＋2＝.
∴圆的标准方程为2＋2＝.
层级二 应试能力达标
1．点P(a,10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆上
C．在圆外 D．不确定
解析：选C ∵(a－1)2＋(10－1)2＝81＋(a－1)2>2，∴点P在圆外．
2．若直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D 由题意，知(－a，－b)为圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心．由直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，得到a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，故圆心位于第四象限．
3．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．6 B．4
C．3 D．2
解析：选B 画出已知圆，利用数形结合的思想求解．如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.因为圆的半径为2，所以所求最短距离为6－2＝4.
4．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1
C．x2＋(y＋1)2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1
解析：选C 由已知圆(x－1)2＋y2＝1得圆心C1(1,0)，半径长r1＝1.设圆心C1(1,0)关于直线y＝－x对称的点为(a，b)，
则解得
所以圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝1.
5．若圆C与圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的标准方程是________________．
解析：圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圆心为M(－2,1)，半径r＝1，则点M关于原点的对称点为C(2，－1)，圆C的半径也为1，则圆C的标准方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝1
6．已知圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点M(2,3)到圆上的点的距离的最大值为________．
解析：由题意，知点M在圆O内，MO的延长线与圆O的交点到点M(2,3)的距离最大，最大距离为＋5＝5＋.
答案：5＋
7．已知圆C的圆心为C(x0，x0)，且过定点P(4,2)．
(1)求圆C的标准方程．
(2)当x0为何值时，圆C的面积最小？求出此时圆C的标准方程．
解：(1)设圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝r2(r≠0)．
∵圆C过定点P(4,2)，
∴(4－x0)2＋(2－x0)2＝r2(r≠0)．
∴r2＝2x－12x0＋20.
∴圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x－12x0＋20.
(2)∵(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x－12x0＋20＝2(x0－3)2＋2，
∴当x0＝3时，圆C的半径最小，即面积最小．
此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.
8．已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4，直线l：14x＋8y－31＝0，求圆C1关于直线l对称的圆C2的方程．
解：设圆C2的圆心坐标为(m，n)．
因为直线l的斜率k＝－，圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4的圆心坐标为(－3,1)，半径r＝2，
所以，由对称性知
解得
所以圆C2的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝4.
4．1.1 圆的标准方程
1．确定圆的几何要素有哪些？
2．圆的标准方程是什么？
3．点与圆的位置关系有哪几种？怎样去判断？
1．圆的标准方程
(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
(2)确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．
(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．
2．点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则
位置关系
判断方法
几何法
代数法
点在圆上
│MA│＝r?点M在圆A上
点M(x0，y0)在圆上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内
│MA│点M(x0，y0)在圆内?(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
点在圆外
│MA│>r?点M在圆A外
点M(x0，y0)在圆外?(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆( )
(2)若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此圆的半径一定是a( )
答案：(1)× (2)×
2．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A．在圆外 B．在圆内
C．在圆上 D．不确定
解析：选A ∵m2＋25＞24，
∴点P在圆外．
3．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________________．
解析：圆心是(－2,0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.
答案：(x＋2)2＋y2＝4
求圆的标准方程
[典例] 求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程．
[解] [法一 待定系数法]
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则有解得
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
[法二 几何法]
由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴由得
即圆心坐标为(4，－3)，半径r＝＝5.
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．
[活学活用]
已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．
解：法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
因为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，
于是有
解得
故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
法二：因为A(0,5)，B(1，－2)，所以线段AB的中点的坐标为，直线AB的斜率kAB＝＝－7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y－＝，即x－7y＋10＝0.同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0.
由得圆心的坐标为(－3,1)，
又圆的半径长r＝＝5，
故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
点与圆的位置关系
[典例] 已知圆C的圆心为C(－3，－4)，且过原点O，求圆C的标准方程，并判断点M1(－1,0)，M2(1，－1)，M3(3，－4)与圆C的位置关系．
[解] 因为圆C过原点O，圆心为C(－3，－4) ，所以圆C的半径长r＝|OC|＝＝5，因此圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝25.
因为(－1＋3)2＋(0＋4)2＝20＜25，所以点M1(－1,0)在圆C内；因为(1＋3)2＋(－1＋4)2＝25，所以点M2(1，－1)在圆C上；因为(3＋3)2＋(－4＋4)2＝36＞25，所以点M3(3，－4)在圆C外．
判断点与圆的位置关系的方法
(1)确定圆的方程：化为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)将点的坐标代入代数式(x－a)2＋(y－b)2，比较代数式的值与r2的大小关系．
(3)下结论：若(x－a)2＋(y－b)2＝r2，表示点在圆上；若(x－a)2＋(y－b)2＞r2，表示点在圆外；若(x－a)2＋(y－b)2＜r2，表示点在圆内．
此外，也可以利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d
[活学活用]
已知M(2,0)，N(10,0)，P(11,3)，Q(6,1)四点，试判断它们是否共圆，并说明理由．
解：设M，N，P三点确定的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴解得
∴过点M，N，P的圆的方程为(x－6)2＋(y－3)2＝25.
将点Q的坐标(6,1)代入方程左端，得(6－6)2＋(1－3)2＝4＜25，
∴点Q不在圆(x－6)2＋(y－3)2＝25上，
∴M，N，P，Q四点不共圆.
与圆有关的最值问题
[典例] 已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求的最大值和最小值．
[解] 原方程表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆，设＝k，即y＝kx，
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时＝，解得k＝±.
故的最大值为，最小值为－.
[一题多变]
1．[变设问]在本例条件下，求y－x的最大值和最小值．
解：设y－x＝b，即y＝x＋b，
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，
即b＝－2±.
故y－x的最大值为－2＋，
最小值为－2－.
2．[变设问]在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值．
解：x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，
(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.
与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
(1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值 问题．
(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
层级一 学业水平达标
1．方程|x|－1＝所表示的曲线是( )
A．一个圆 B．两个圆
C．半个圆 D．两个半圆
解析：选D 由题意，得即或故原方程表示两个半圆．
2．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
解析：选A 直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，－6)，可得直径长为2，则半径长为，所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
3．已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29
B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29
C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116
D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116
解析：选B 圆心为线段AB的中点(1，－3)，半径为＝＝，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.故选B.
4．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )
A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
解析：选D 圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)．因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l的方程是y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.故选D.
5．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为( )
A．2 B．1
C. D.
解析：选B x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为14－＝1.
6．若点P(－1，)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝________.
解析：∵P点在圆x2＋y2＝m2上，
∴(－1)2＋()2＝4＝m2，
∴m＝±2.
答案：±2
7．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是__________________．
解析：由可得x＝2，y＝4，即圆心为(2,4)，从而r＝＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.
答案：(x－2)2＋(y－4)2＝20
8．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心且过点P(－1,1)的圆的方程为________________．
解析：因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又r＝＝5，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝25
9．求圆心在x轴上，且过A(1,4)，B(2，－3)两点的圆的方程．
解：设圆心为(a,0)，
则＝，所以a＝－2.
半径r＝＝5，
故所求圆的方程为(x＋2)2＋y2＝25.
10．求过点A(－1,3)，B(4,2)，且在x轴，y轴上的四个截距之和是4的圆的标准方程．
解：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.把点A，B的坐标代入，得消去r2，得b＝5a－5.①
令x＝0，则(y－b)2＝r2－a2，y＝b±，
∴在y轴上的截距之和是2b.
令y＝0，则(x－a)2＝r2－b2，x＝a±，
∴在x轴上的截距之和是2a.
∴2a＋2b＝4，即a＋b＝2.②
①代入②，得a＝，∴b＝.
∴r2＝2＋2＝.
∴圆的标准方程为2＋2＝.
层级二 应试能力达标
1．点P(a,10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆上
C．在圆外 D．不确定
解析：选C ∵(a－1)2＋(10－1)2＝81＋(a－1)2>2，∴点P在圆外．
2．若直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D 由题意，知(－a，－b)为圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心．由直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，得到a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，故圆心位于第四象限．
3．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．6 B．4
C．3 D．2
解析：选B 画出已知圆，利用数形结合的思想求解．如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.因为圆的半径为2，所以所求最短距离为6－2＝4.
4．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1
C．x2＋(y＋1)2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1
解析：选C 由已知圆(x－1)2＋y2＝1得圆心C1(1,0)，半径长r1＝1.设圆心C1(1,0)关于直线y＝－x对称的点为(a，b)，
则解得
所以圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝1.
5．若圆C与圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的标准方程是________________．
解析：圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圆心为M(－2,1)，半径r＝1，则点M关于原点的对称点为C(2，－1)，圆C的半径也为1，则圆C的标准方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝1
6．已知圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点M(2,3)到圆上的点的距离的最大值为________．
解析：由题意，知点M在圆O内，MO的延长线与圆O的交点到点M(2,3)的距离最大，最大距离为＋5＝5＋.
答案：5＋
7．已知圆C的圆心为C(x0，x0)，且过定点P(4,2)．
(1)求圆C的标准方程．
(2)当x0为何值时，圆C的面积最小？求出此时圆C的标准方程．
解：(1)设圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝r2(r≠0)．
∵圆C过定点P(4,2)，
∴(4－x0)2＋(2－x0)2＝r2(r≠0)．
∴r2＝2x－12x0＋20.
∴圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x－12x0＋20.
(2)∵(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x－12x0＋20＝2(x0－3)2＋2，
∴当x0＝3时，圆C的半径最小，即面积最小．
此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.
8．已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4，直线l：14x＋8y－31＝0，求圆C1关于直线l对称的圆C2的方程．
解：设圆C2的圆心坐标为(m，n)．
因为直线l的斜率k＝－，圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4的圆心坐标为(－3,1)，半径r＝2，
所以，由对称性知
解得
所以圆C2的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝4.
