课件20张PPT。3.2.2直线的两点式方程 y=kx+b y- y0 =k(x- x0 )k为斜率， P0(x0 ,y0)为经过直线的点 k为斜率，b为截距一、复习、引入1) 直线的点斜式方程：2) 直线的斜截式方程： 解：设直线方程为：y=kx+b例1 已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程．一般做法：所以直线方程为y=x+2方程思想 为什么可以这样做，这样做的根据是什么？得 y=x+2 设P(x,y)为直线上不同于P1 , P2的动点,与P1(1,3)P2(2,4)在同一直线上,根据斜率相等可得二、直线两点式方程的推导 已知两点P1 ( x1 , y1 ),P2(x2 , y2),求通过这两点的直线方程．解：设点P(x,y)是直线上不同于P1 , P2的点．∵ kPP1= kP1P2记忆特点：1.左边全为y，右边全为x2.两边的分母全为常数 3.分子，分母中的减数相同不是! 两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线．注意： 当x1 ＝x2或y1= y2时,直线P1 P2没有两点式程.(因为x1 ＝x2或y1= y2时,两点式的分母为零,没有意义) 那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢?三、两点式方程的适应范围 若点P1 (x1 , y1 ),P2( x2 , y2)中有x1 ＝x2,或y1= y2,此时过这两点的直线方程是什么?当x1 ＝x2 时方程为： x ＝x１当 y1= y2时方程为： y = y１ 例2已知直线 l 与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求直线l 的方程．解:将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式, 得:四、直线的截距式方程②截距可是正数,负数和零 注意：①不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线 直线与 x 轴的交点(0,a)的横坐标 a 叫做直线在 x 轴上的截距是不是任意一条直线都有其截距式方程呢? 直线与 y 轴的交点(b,0)的纵坐标 b 叫做直线在 y 轴上的截距⑴ 过(1,2)并且在两个坐标轴上的 截距相等的直线有几条?解: ⑴ 两条例3那还有一条呢？y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)所以直线方程为x+y-3=0a=3解：三条 (2) 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截
距的绝对值相等的直线有几条? 解得a=b=3或a=-b=-1直线方程为y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x 例4 已知角形的三个顶点是A(－5，0)， B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在的直线 方程，以及该边上中线的直线方程.解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：整理得5x+3y-6=0这就是BC边所在直线的方程.五、直线方程的应用 BC边上的中线是顶点A与BC边中点M
所连线段，由中点坐标公式可得点M的
坐标为：整理得x+13y+5=0
这就是BC边上中线所在的直线的方程.M中点坐标公式： 若P1 ，P2坐标分别为( x1 ，y1 ), (x2 ，y2)
且中点M的坐标为(x, y). 已知直线l :2x+y+3=0,求关于点A(1,2)
对称的直线l 1的方程. 解：当x=0时,y=-3.(0,-3)在直线l上,关于(1,2)的对称点为(2,7). 当x=-2时,y=1. (-2,1)在直线l上,关于(1,2)的对称点为(4,3).
那么,点 (2,7) ,(4,3)在l 1上.化简得 2x + y -11=0还有其它的方法吗？∵ l ∥l 1，所以l 与l 1的斜率相同∴ kl1=-2经计算，l 1过点(4,3)所以直线l 1的点斜式方程为：y-3=-2(x-4)化简得： 2x + y -11=02)两点式直线方程的适应范围课本P97 练习
3．2.2&3.2.3 直线的两点式方程、直线的一般式方程
1．直线的两点式方程的结构形式是什么？截距式呢？各自的适用范围分别是什么？
2．怎样求一般式表示的直线的斜率与截距？
3．直线与二元一次方程之间的关系是怎样的？
1．直线的两点式与截距式方程
两点式
截距式
条件
P1(x1，y1)和P2(x2，y2)
其中x1≠x2，y1≠y2
在x轴上截距a，在y轴上截距b
图形
方程
＝
＋＝1
适用范围
不表示垂直于坐标轴的直线
不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线
[点睛] (1)截距式方程中间以“＋”相连，右边是1.
(2)a叫做直线在x轴上的截距，a∈R，不一定有a>0.
2．直线方程的一般式
(1)直线与二元一次方程的关系
①在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．
②每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．
(2)直线的一般式方程的定义
我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
[点睛] 解题时，若无特殊说明，应把求得的直线方程化为一般式．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示( )
(2)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示( )
答案：(1)× (2)√
2．直线3x－2y＝4的截距式方程是( )
A.－＝1 B.－＝4
C.－＝1 D.＋＝1
解析：选D 求直线方程的截距式，必须把方程化为＋＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式．
3．直线l过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l的方程为________．
解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：＝，整理得x－y＋3＝0.
答案：x－y＋3＝0
利用两点式求直线方程
[典例] 已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．
[解] ∵A(2，－1)，B(2,2)，A，B两点横坐标相同，直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2.
∵A(2，－1)，C(4,1)，由直线方程的两点式可得AC的方程为＝，即x－y－3＝0.
同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为
＝，即x＋2y－6＝0.
∴三边AB，AC，BC所在的直线方程分别为
x＝2，x－y－3＝0，x＋2y－6＝0.
当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．
[活学活用]
已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程．
解：由直线经过点A(1,0)，B(m,1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在．
(1)当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；
(2)当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝，即x－(m－1)y－1＝0.
综上可得：当m＝1时，直线方程为x＝1；当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.
直线的截距式方程
[典例] 求过点A(5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．
[解] 法一：(1)当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0；
(2)当直线l在坐标轴上的截距不为0时，
可设方程为＋＝1，即x－y＝a，
又∵l过点A(5,2)，∴5－2＝a，a＝3，
∴l的方程为x－y－3＝0，
综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0，或x－y－3＝0.
法二：由题意知直线的斜率一定存在．
设直线的点斜式方程为y－2＝k(x－5)，
x＝0时，y＝2－5k，y＝0时，x＝5－.
根据题意得2－5k＝－，解方程得k＝或1.
当k＝时，直线方程为y－2＝(x－5)，即2x－5y＝0；
当k＝1时，直线方程为y－2＝1×(x－5)，即x－y－3＝0.
[一题多变]
1．[变条件]若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为：“在x轴上的截距是y轴上截距的2倍”，其它条件不变，如何求解？
解：(1)当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0适合题意．
(2)当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为＋＝1，
又l过点(5,2)，∴＋＝1，解得a＝.
∴l的方程为x＋2y－9＝0.
2．[变条件]若将本例中的条件“在两坐标轴上的截距互为相反数”变为“与两坐标轴围成的三角形的面积是”，其它条件不变，如何求解？
解：由题意，直线不过原点，且在两坐标轴上的截距都存在，设其方程为＋＝1.
∴
②可化为ab＝±9，
解无解，
解得得或
∴l的方程为4x－25y＋30＝0或x－y－3＝0.
(1)如果问题中涉及直线与两坐标轴相交，则可考虑选用直线的截距式方程，用待定系数法确定其系数即可．
(2)选用直线的截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．
由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直
[典例] 已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(a＋1)y－a＝0，求满足下列条件的a的值．
(1)l1∥l2；
(2)l1⊥l2.
[解] 法一：直线l1可化为y＝－x＋.
(1)当a＝－1时，l2：x＝－与l1不平行；
当a≠－1时，直线l2：y＝－x＋，
∵l1∥l2，∴－＝－且≠，
解得a＝2.
(2)当a＝－1时，l2：x＝－与l1不垂直；
当a≠－1时，l2：y＝－x＋，
∵l1⊥l2，∴－·＝－1，
解得a＝－.
法二：由题可知A1＝a，B1＝2，C1＝－3，
A2＝3，B2＝a＋1，C2＝－a.
(1)当l1∥l2时，
解得a＝2.
(2)当l1⊥l2时，A1A2＋B1B2＝0，
即3a＋2(a＋1)＝0，解得a＝－.
(1)对于由直线的位置关系求参数的问题，有下列结论：设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2?
l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
(2)一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，垂直的直线可设为Bx－Ay＋n＝0.
[活学活用]
已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
(1)过点(－1,3)，且与l平行；
(2)过点(－1,3)，且与l垂直．
解：法一：l的方程可化为y＝－x＋3，
∴l的斜率为－.
(1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－.
又∵l′过点(－1,3)，
由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，
即3x＋4y－9＝0.
(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为，
又l′过点(－1,3)，
由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)，
即4x－3y＋13＝0.
法二：(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－12)．
将点(－1,3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.
将(－1,3)代入上式得n＝13.
∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.
层级一 学业水平达标
1．在x轴和y轴上的截距分别为－2,3的直线方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选C 由直线的截距式方程可得＋＝1.
2．直线＋＝1，化成一般式方程为( )
A．y＝－x＋4 B．y＝－(x－3)
C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12
解析：选C 直线＋＝1化成一般式方程为4x＋3y－12＝0.
3．直线＋＝1过第一、三、四象限，则( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
解析：选B 因为直线过第一、三、四象限，所以它在x轴上的截距为正，在y轴上的截距为负，所以a>0，b<0.
4．已知M，A(1,2)，B(3,1)，则过点M和线段AB的中点的直线的斜率为( )
A．－2 B．2
C. D．－
解析：选B AB的中点坐标为，即，又点M，故所求直线的斜率k＝＝2.
5．已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋2＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则实数a的值为( )
A．－1或2 B．0或2
C．2 D．－1
解析：选D 由a·a－(a＋2)＝0，得a2－a－2＝0，解得a＝2或a＝－1.
经过验证，可得a＝2时两条直线重合，舍去．
∴a＝－1.故选 D.
6．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为________________．
解析：由直线点斜式方程可得
y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
7．过点(－2,3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为________________．
解析：(1)过原点时，设为y＝kx，则k＝－，
∴y＝－x；
(2)不过原点时，设为＋＝1，
∴将点(－2,3)代入得a＝－5，
∴所求直线方程为3x＋2y＝0或x－y＋5＝0.
答案：3x＋2y＝0或x－y＋5＝0
8．已知直线mx－2y－3m＝0(m≠0)在x轴上的截距是它在y轴上截距的4倍，则m＝________.
解析：直线方程可化为＋＝1，
∴－×4＝3，解得m＝－.
答案：－
9．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0.
(1)若这两条直线垂直，求k的值；
(2)若这两条直线平行，求k的值．
解：(1)根据题意，得(k－3)×2(k－3)＋(4－k)×(－2)＝0，解得k＝.
∴若这两条直线垂直，则k＝.
(2)根据题意，得(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0，
解得k＝3或k＝5.经检验，均符合题意．
∴若这两条直线平行，则k＝3或k＝5.
10．求经过点A(－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．
解：设直线在x轴、y轴上的截距分别是a，b，
则有S＝|a·b|＝1.
∴ab＝±2.设直线的方程是＋＝1.
∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得＋＝1，
即b＝.
∴ab＝＝±2.
当＝－2时，
化简得a2＋a＋2＝0，方程无解；
当＝2时，化简得a2－a－2＝0，
解得或
∴直线方程是＋＝1或＋＝1，
即2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.
层级二 应试能力达标
1．经过点A(1,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
解析：选B 当直线过原点时1条，不过原点时有两条，故B正确．
2．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程是( )
A．y＝－3x－4 B．y＝3x－4
C．y＝3x＋4 D．y＝－3x＋4
解析：选A 因为A(1,3)，B(－5,1)，所以线段AB的中点坐标为(－2,2)，直线AB的斜率为＝，所以线段AB的中垂线的斜率为－3，所以以A，B为端点的线段的垂直平分线的方程是y－2＝－3(x＋2)，即y＝－3x－4，选A.
3．已知点M(1，－2)，N(m,2)，若线段MN的垂直平分线的方程是＋y＝1，则实数m的值是( )
A．－2 B．－7
C．3 D．1
解析：选C 由中点坐标公式，得线段MN的中点是.又点在线段MN的垂直平分线上，所以＋0＝1，所以m＝3，选C.
4．已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2,1)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是( )
A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．2x＋y－1＝0 D．x＋2y＋1＝0
解析：选A ∵点A(2,1)在直线a1x＋b1y＋1＝0上，∴2a1＋b1＋1＝0.由此可知点P1(a1，b1)在直线2x＋y＋1＝0上．∵点A(2,1)在直线a2x＋b2y＋1＝0上，∴2a2＋b2＋1＝0.由此可知点P2(a2，b2)也在直线2x＋y＋1＝0上．∴过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是2x＋y＋1＝0.
5．若直线(2t－3)x＋y＋6＝0不经过第一象限，则t的取值范围为________．
解析：方程可化为y＝(3－2t)x－6，∵直线不经过第一象限，∴3－2t≤0，得t≥.
答案：
6．已知点A(0,1)，点B在直线l：x＋y＝0上运动，则当线段AB最短时，直线AB的一般式方程为________．
解析：当线段AB最短时，AB⊥l，所以kAB＝1.由直线的斜截式，得直线AB的方程为y＝x＋1，故直线AB的一般式方程为x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
7．已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．
(1)求边AC和AB所在直线的方程；
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；
(3)求AC边上的中垂线的方程．
解：(1)由截距式，得边AC所在直线的方程为＋＝1，即x－2y＋8＝0.
由两点式，得边AB所在直线的方程为＝，
即x＋y－4＝0.
(2)由题意，得点D的坐标为(－4,2)，
由两点式，得BD所在直线的方程为＝，
即2x－y＋10＝0.
(3)由kAC＝，得AC边上的中垂线的斜率为－2.
又AC的中点坐标为(－4,2)，
由点斜式，得AC边上的中垂线的方程为y－2＝－2(x＋4)，即2x＋y＋6＝0.
8．已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程．
解：根据题意，设直线l的方程为＋＝1，
由题意，知a>2，b>1，
∵l过点M(2,1)，∴＋＝1，解得b＝，
∴△AOB的面积S＝ab＝a·，
化简，得a2－2aS＋4S＝0. ①
∴Δ＝4S2－16S≥0，解得S≥4或S≤0(舍去)．
∴S的最小值为4，
将S＝4代入①式，得a2－8a＋16＝0，解得a＝4，
∴b＝＝2.
∴直线l的方程为x＋2y－4＝0.
