课件18张PPT。3.1.1 直线的倾斜角与斜率P.Q规定:当直线和x轴平行或重合时,它的倾斜角为0°倾斜角的取值范围是坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角；而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向.倾斜角直观地表示直线对x轴正方向的倾斜程度.日常生活中表示倾斜程度的量？结论：坡度越大，楼梯越陡．(2)(4)(3)直线的斜率计算公式：如何用两点的坐标表示直线的斜率(α为锐角)xyOP2（x2，y2）P1（x1，y1）直线的斜率计算公式：如何用两点的坐标表示直线的斜率(α为锐角)例2 关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的（ ）
A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；
B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；
C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；
D.两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等；
E.两直线的倾斜角相等，它们的斜率相等；
F.直线斜率的范围是(－∞，＋∞).例1 直线l的倾斜角为45°，则斜率k为直线l的倾斜角为120°，则斜率k为例3 如图，直线l1 的倾斜角α1=300，直
线l2⊥l1，求l1，l2 的斜率.解：例4 求过A（-2，0），B（-5，3）两点的直线的倾斜角和斜率.例5 直线 l1、 l２、 l３的斜率分别是k1、 k２、
k３， 试比较斜率的大小.判断正误 2. 直线的斜率为tanβ,则它的倾斜角为β ( ) 3. 因为所有直线都有倾斜角,所以直线都有斜率
( )1. 直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α ( ) 4. 因为平行于y轴的直线的斜率不存在,所以平
行于y轴的直线的倾斜角不存在 ( )5.直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大 ( ) 6. 倾斜角为90°时,直线不存在 ( ) 1. 直线的倾斜角和斜率的概念
2. 根据倾斜角和斜率的概念解决相关问题
3. 利用斜率公式解决问题
4. 数形结合思想，函数思想再 见课时跟踪检测（十五） 倾斜角与斜率
层级一 学业水平达标
1．直线x＝1的倾斜角和斜率分别是( )
A．45°，1 B．135°，－1
C．90°，不存在 D．180°，不存在
解析：选C 作出图象，故C正确．
2．给出下列说法：
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中说法正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 显然①②③正确，④错误．
3．已知直线经过点A(－2,0)，B(－5,3)，则该直线的倾斜角为( )
A．150° B．135°
C．75° D．45°
解析：选B ∵直线经过点A(－2,0)，B(－5,3)，
∴其斜率k＝＝－1.
设其倾斜角为θ(0°≤θ＜180°)，
则tan θ＝－1，∴θ＝135°.
4．过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y＝( )
A．－ B.
C．－1 D．1
解析：选C tan 45°＝kAB＝，即＝1，所以y＝－1.
5．已知直线l经过点A(1,2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A．(－1,0] B．[0,1]
C．[1,2] D．[0,2]
解析：选D 由图，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.故选D.
6.如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为________．
解析：因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，所以l3的倾斜角为×(90°－30°)＝30°.
答案：30°
7．已知a>0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________.
解析：由题意知kAB＝kBC，
则＝，整理得a3－2a2－a＝0，
又a>0，故有a2－2a－1＝0，
解得a＝1＋或a＝1－(舍去)．
答案：1＋
8．已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为________．
解析：设x轴上点P(m,0)或y轴上点P(0，n)．由kPA＝1，得＝＝1，得m＝3，n＝－3.故点P的坐标为(3,0)或(0，－3)．
答案：(3,0)或(0，－3)
9．已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值．
解：由题意直线AC的斜率存在，即m≠－1.
∴kAC＝，kBC＝.
∴＝3·.
整理得：－m－1＝(m－5)(m＋1)，
即(m＋1)(m－4)＝0，
∴m＝4或m＝－1(舍去)．
∴m＝4.
10．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
解：∵直线l与线段AB有公共点，∴直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间．当l的倾斜角小于90°时，k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，k≤kPA.
∵kPA＝＝－1，kPB＝＝3，∴直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
层级二 应试能力达标
1．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的BC边所在直线的斜率是0，则AC，AB边所在直线的斜率之和为( )
A．－2 B．0
C. D．2
解析：选B 由BC边所在直线的斜率是0，知直线BC与x轴平行，所以直线AC，AB的倾斜角互为补角，根据直线斜率的定义，知直线AC，AB的斜率之和为0.故选B.
2．已知经过点P(3，m)和点Q(m，－2)的直线的斜率等于2，则m的值为( )
A．－1 B．1
C．2 D.
解析：选D 由直线的斜率公式，得＝2，∴m＝.
3.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
解析：选D 直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0＜k3＜k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1＜0，所以k1＜k3＜k2.
4．若点P(x，y)在以A(－3,1)，B(－1,0)，C(－2,0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界)，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 根据已知的条件，可知点P(x，y)是点A，B，C围成的△ABC内一动点，那么所求的几何意义是过动点P(x，y)与定点M(1,2)的直线的斜率．由已知，得kAM＝，kBM＝1，kCM＝.利用图象，可得的取值范围是.故选D.
5．若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则＋的值为________．
解析：∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，即＝.
∴2(a＋b)＝ab，∴＝，∴＋＝.
答案：
6．若三点A(3,1)，B(－2，k)，C(8,1)能构成三角形，则实数k的取值范围为________．
解析：kAB＝＝，kAC＝＝＝0.
要使A，B，C三点能构成三角形，需三点不共线，
即kAB≠kAC，∴≠0.∴k≠1.
答案(－∞，1)∪(1，＋∞)
7．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是函数y＝x3的图象上任意三个不同的点．求证：若A，B，C三点共线，则x1＋x2＋x3＝0.
证明：∵A，B，C是三个不同的点，
∴x1，x2，x3互不相等．
∵A，B，C三点共线，
∴kAB＝kAC，即＝，
∴＝，
整理，得x＋x1x2＋x＝x＋x1x3＋x，
即(x2－x3)(x1＋x2＋x3)＝0.
∵x2≠x3，
∴x1＋x2＋x3＝0.
8．已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求的最大值和最小值．
解：如图，可知表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k.
由已知条件，可得A(1,1)，B(－1,5)．
易知kPA≤k≤kPB.
由斜率公式得kPA＝，kPB＝8，
所以≤k≤8.
故的最大值是8，最小值是.
3．1.1 倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角的定义是什么？
2．直线的倾斜角的范围是什么？
3．直线的斜率的计算公式是怎样的？
1．直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义：
当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.
(2)倾斜角的范围：
直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
[点睛] (1)倾斜角定义中含有三个条件：
①x轴正方向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．
(2)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．
2．直线的斜率
(1)斜率的定义：
一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tan_α.
(2)斜率公式：
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．
(3)斜率的作用：
用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．
[点睛] 直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率( )
(2)倾斜角为135°的直线的斜率为1( )
(3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α( )
(4)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．若直线l经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角是( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．－45°
解析：选B 作出直线l，如图所示，由图易知，应选B.
3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为( )
A. B.
C．1 D.
解析：选A 由题意可知，直线l的斜率k＝tan 30°＝.
直线的倾斜角
[典例] 设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为( )
A．α＋45° B．α－135°
C．135°－α D．α＋45°或α－135°
[解析] 由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°(0°≤α＜180°)，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°(如图)．
[答案] D
求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
[活学活用]
已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A．0°≤α＜90° B．90°≤α＜180°
C．90°＜α＜180° D．0°＜α＜180°
解析：选C 直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜180°.
直线的斜率
[典例] 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.
(1)A(2,3)，B(4,5)；
(2)C(－2,3)，D(2，－1)；
(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．
[解] (1)存在．直线AB的斜率kAB＝＝1，即tan α＝1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝45°.
(2)存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1，即tan α＝－1，又 0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝135°.
(3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.
[活学活用]
1．直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选C 斜率k＝＝－.
2．已知坐标平面内△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－1,1)，B(1,1)，C(1，－1)，求直线AB，BC，AC的斜率．
解：已知点的坐标，可代入过两点的直线的斜率公式求斜率，但应先验证两点的横坐标是否相等．kAB＝＝0，kAC＝＝－1.
∵B，C两点的横坐标相等，∴直线BC的斜率不存在.
直线的倾斜角、斜率的应用
题点一：三点共线问题
1．如果A，B(4，－1)，C(－4，－m)三点在同一条直线上，试确定常数m的值．
解：由于A，B，C三点所在直线不可能垂直于x轴，因此可设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC.
由斜率公式，得kAB＝＝，
kBC＝＝.
∵点A，B，C在同一条直线上，∴kAB＝kBC.
∴＝，即m2－3m－12＝0，
解得m1＝，m2＝.
∴m的值是或.
用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x轴．当任意两点的连线垂直于x轴，且过同一点时，三点共线．否则，直线的斜率存在，只要证明过同一点的两直线的斜率相等即可．
题点二：求参数的值或范围
2．若经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－1，＋∞)
C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选C ∵直线l的倾斜角为锐角，
∴斜率k＝>0，∴－13．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，则实数a的值为________．
解析：∵A，B，C三点共线，
∴kAB＝kBC，即＝，
解得a＝2或.
答案：2或
解与斜率、倾斜角有关的参数问题时应牢记斜率公式．
题点三：数形结合法求倾斜角或斜率范围
4．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率的范围和倾斜角的范围．
解：如图所示．
∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，
∴k∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞)，
∴45°≤α≤120°.
(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．
(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解．
(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．
层级一 学业水平达标
1．直线x＝1的倾斜角和斜率分别是( )
A．45°，1 B．135°，－1
C．90°，不存在 D．180°，不存在
解析：选C 作出图象，故C正确．
2．给出下列说法：
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中说法正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 显然①②③正确，④错误．
3．已知直线经过点A(－2,0)，B(－5,3)，则该直线的倾斜角为( )
A．150° B．135°
C．75° D．45°
解析：选B ∵直线经过点A(－2,0)，B(－5,3)，
∴其斜率k＝＝－1.
设其倾斜角为θ(0°≤θ＜180°)，
则tan θ＝－1，∴θ＝135°.
4．过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y＝( )
A．－ B.
C．－1 D．1
解析：选C tan 45°＝kAB＝，即＝1，所以y＝－1.
5．已知直线l经过点A(1,2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A．(－1,0] B．[0,1]
C．[1,2] D．[0,2]
解析：选D 由图，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.故选D.
6.如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为________．
解析：因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，所以l3的倾斜角为×(90°－30°)＝30°.
答案：30°
7．已知a>0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________.
解析：由题意知kAB＝kBC，
则＝，整理得a3－2a2－a＝0，
又a>0，故有a2－2a－1＝0，
解得a＝1＋或a＝1－(舍去)．
答案：1＋
8．已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为________．
解析：设x轴上点P(m,0)或y轴上点P(0，n)．由kPA＝1，得＝＝1，得m＝3，n＝－3.故点P的坐标为(3,0)或(0，－3)．
答案：(3,0)或(0，－3)
9．已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值．
解：由题意直线AC的斜率存在，即m≠－1.
∴kAC＝，kBC＝.
∴＝3·.
整理得：－m－1＝(m－5)(m＋1)，
即(m＋1)(m－4)＝0，
∴m＝4或m＝－1(舍去)．
∴m＝4.
10．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
解：∵直线l与线段AB有公共点，∴直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间．当l的倾斜角小于90°时，k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，k≤kPA.
∵kPA＝＝－1，kPB＝＝3，∴直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
层级二 应试能力达标
1．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的BC边所在直线的斜率是0，则AC，AB边所在直线的斜率之和为( )
A．－2 B．0
C. D．2
解析：选B 由BC边所在直线的斜率是0，知直线BC与x轴平行，所以直线AC，AB的倾斜角互为补角，根据直线斜率的定义，知直线AC，AB的斜率之和为0.故选B.
2．已知经过点P(3，m)和点Q(m，－2)的直线的斜率等于2，则m的值为( )
A．－1 B．1
C．2 D.
解析：选D 由直线的斜率公式，得＝2，∴m＝.
3.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
解析：选D 直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0＜k3＜k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1＜0，所以k1＜k3＜k2.
4．若点P(x，y)在以A(－3,1)，B(－1,0)，C(－2,0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界)，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 根据已知的条件，可知点P(x，y)是点A，B，C围成的△ABC内一动点，那么所求的几何意义是过动点P(x，y)与定点M(1,2)的直线的斜率．由已知，得kAM＝，kBM＝1，kCM＝.利用图象，可得的取值范围是.故选D.
5．若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则＋的值为________．
解析：∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，即＝.
∴2(a＋b)＝ab，∴＝，∴＋＝.
答案：
6．若三点A(3,1)，B(－2，k)，C(8,1)能构成三角形，则实数k的取值范围为________．
解析：kAB＝＝，kAC＝＝＝0.
要使A，B，C三点能构成三角形，需三点不共线，
即kAB≠kAC，∴≠0.∴k≠1.
答案(－∞，1)∪(1，＋∞)
7．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是函数y＝x3的图象上任意三个不同的点．求证：若A，B，C三点共线，则x1＋x2＋x3＝0.
证明：∵A，B，C是三个不同的点，
∴x1，x2，x3互不相等．
∵A，B，C三点共线，
∴kAB＝kAC，即＝，
∴＝，
整理，得x＋x1x2＋x＝x＋x1x3＋x，
即(x2－x3)(x1＋x2＋x3)＝0.
∵x2≠x3，
∴x1＋x2＋x3＝0.
8．已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求的最大值和最小值．
解：如图，可知表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k.
由已知条件，可得A(1,1)，B(－1,5)．
易知kPA≤k≤kPB.
由斜率公式得kPA＝，kPB＝8，
所以≤k≤8.
故的最大值是8，最小值是.
