课件18张PPT。2.3.3直线与平面垂直的性质1. 直线和平面垂直的定义如何？ 如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂直,则称这条直线和这个平面垂直.其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足. 2. 直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 例1 在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，求证：AC⊥BD. 线面垂直的判定定理解决线面垂
直的条件；反之，在直线与平面垂直的
条件下，能得到哪些结论？直线和平面垂直的性质 1. 设a、b为直线，α为平面，若a⊥α，b∥α，则a与b的位置关系如何？为什么？c 2. 设a、b为直线,α为平面,若a⊥α,
a∥ b ,则b与α的位置关系如何？
为什么？如何用文字语言表述这个结论？ 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面 例2 求证:如果两条平行直线中的一条
垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个
平面. 定义方法判定 3. 设a、b为直线，α为平面，
若a⊥α，b⊥α ，则直线a、b的位置
关系如何？为什么？如何用文字语言表述
这个结论？垂直于同一平面的两直线平行. 4. 设l为直线，α、β为平面,
若l⊥α ,α ∥β ，则l与β的位置关系
如何？为什么？如何用文字语言表述这个结论？ 如果一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线也垂直于另一个平面. 5. 设l为直线，α,β为平面,若l⊥α,
l⊥ β ，则α、β的位置关系如何？
为什么？如何用文字语言表述这个结论？垂直于同一条直线的两个平面平行1. 设a、b为两相交直线，已知a⊥α,
a⊥b，b在平面α外，求证：b∥α.c2. 在四面体ABCD中，E、F分别是
BC、AC的中点，已知AB ，AC、AD两两
互相垂直，求证：EF⊥平面ACD.3. 如图，AB∥α，AD⊥α，BC⊥α，
垂足为D、C，PA⊥AB，
求证：CD⊥平面PAD. P71 练习 1，2. △ABC中，∠ABC＝90O PA⊥平面ABC，垂足为A， AN⊥PB于N
(1)求证: AN⊥平面PBC ；
(2)若AM⊥PC于M，求证：PC⊥平面AMN.
2．3.3&2.3.4 直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质
预习课本P70～72，思考并完成以下问题
1．直线与平面垂直的性质定理是什么？
2．面面垂直的性质定理是什么？
1．直线与平面垂直的性质定理
(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．
(2)图形语言：
(3)符号语言：?a∥b.
(4)作用：
①线面垂直?线线平行；
②作平行线．
[点睛] (1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．
(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．
2．平面与平面垂直的性质定理
(1)文字语言：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
(2)图形语言：
(3)符号语言：
?a⊥β.
(4)作用：
①面面垂直?线面垂直；
②作面的垂线．
[点睛] 对面面垂直的性质定理的理解
(1)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．
(2)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．
1．若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为 ( )
①a⊥ α，b∥α?a⊥b；②a⊥α，a⊥b?b∥α；③a∥α，a⊥b?b⊥α；④a⊥α，b⊥α?a∥b.
A．1 B．2 C．3 D．0
解析：选B 由线面垂直的性质知①、④正确．②中b可能满足b?α，故②错误；③中b可能与α相交(不垂直)，也可能平行，故③不正确．
2．两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面( )
A．垂直 B．平行
C．斜交 D．以上都有可能
答案：D
3．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．
解析：由题意知n⊥α，而m⊥α，∴m∥n.
答案：平行
线面垂直性质定理的应用
[典例] 如图，已知正方体A1C.
(1)求证：A1C⊥B1D1.
(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C.
[证明] (1)如图，连接A1C1.
∵CC1⊥平面A1B1C1D1，
B1D1?平面A1B1C1D1，
∴CC1⊥B1D1.
∵四边形A1B1C1D1是正方形，
∴A1C1⊥B1D1.
又∵CC1∩A1C1＝C1，
∴B1D1⊥平面A1C1C.
又∵A1C?平面A1C1C，∴B1D1⊥A1C.
(2)如图，连接B1A，AD1.
∵B1C1綊AD，
∴四边形ADC1B1为平行四边形，
∴C1D∥AB1.
∵MN⊥C1D，∴MN⊥AB1.
又∵MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，
∴MN⊥平面AB1D1.
由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.
又∵AB1∩B1D1＝B1，
∴A1C⊥平面AB1D1.
∴A1C∥MN.
(1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行， 可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．
(2)直线与平面垂直的其他性质：
①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直．
②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
③若l⊥α于A，AP⊥l，则AP?α.
④垂直于同一条直线的两个平面平行．
⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．
[活学活用]
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
求证：(1)MN∥AD1；
(2)M是AB的中点．
证明：(1)∵四边形ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D.
又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.
∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.
又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.
(2)连接ON，在△A1DC中，
A1O＝OD，A1N＝NC，
∴ON綊CD綊AB.
∴ON∥AM.
又∵MN∥OA，
∴四边形AMNO为平行四边形．∴ON＝AM.
∵ON＝AB，∴AM＝AB.
∴M是AB的中点.
面面垂直性质定理的应用
[典例] 已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.
[证明] 如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，
∵平面PAC⊥平面PBC，AD?平面PAC，且AD⊥PC，
∴AD⊥平面PBC，
又BC?平面PBC，∴AD⊥BC.
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，
又AC?平面PAC，∴BC⊥AC.
若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．
[活学活用]
如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
证明：(1)如图，在菱形ABCD中，
连接BD，
由已知∠DAB＝60°，
∴△ABD为正三角形，
∵G是AD的中点，∴BG⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴BG⊥平面PAD.
(2)如图，连接PG.
∵△PAD是正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.
又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG.
而PB?平面PBG，∴AD⊥PB.
垂直关系的综合应用
[典例] 如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，
∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0<λ<1)．
(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.
(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?
[解] (1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AB⊥CD.
∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
又∵＝＝λ(0<λ<1)，
∴无论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.
又∵EF?平面BEF，
∴无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.
(2)由(1)知BE⊥EF，
∵平面BEF⊥平面ACD，平面BEF∩平面ACD＝EF，
∴BE⊥平面ACD.
又∵AC?平面ACD，∴BE⊥AC.
∵BC＝CD＝1，∠BCD＝∠ABD＝90°，∠ADB＝60°，
∴BD＝，∴AB＝tan 60°＝，
∴AC＝＝.
由Rt△AEB∽Rt△ABC，得AB2＝AE·AC，
∴AE＝，∴λ＝＝.
故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD.
(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的．它们之间的转化关系如下：
(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．
[活学活用]
如图(1)，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图(2)中△A1BE的位置，得到四棱锥A1-BCDE.
(1)证明：CD⊥平面A1OC；
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1-BCDE的体积为36，求a的值．
解：(1)证明：在图(1)中，因为AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC.
即在图(2)中，BE⊥A1O，BE⊥OC，
从而BE⊥平面A1OC.
又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.
(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，
且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，
又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE.
即A1O是四棱锥A1-BCDE的高．
由图(1)知，A1O＝AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，
从而四棱锥A1-BCDE的体积为
V＝S·A1O＝×a2×a＝a3.
由a3＝36，得a＝6.
层级一 学业水平达标
1．设l是直线，α，β是两个不同的平面( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
解析：选B 对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β；对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交．
2．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β
B．若α∩β＝m，l?α，l⊥m，则l⊥β
C．若α⊥β，l?α，则l⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，则l⊥β
解析：选D 选项A缺少了条件：l?α；选项B缺少了条件：α⊥β；选项C缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全条件．
3．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1( )
A．平行 B．共面
C．垂直 D．不垂直
解析：选C 如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD.∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD?平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1?平面AA1C1C，∴BD⊥CC1，故选C.
4.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )
A．EF⊥平面α
B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE
D．PQ⊥FH
解析：选B 因为EG⊥平面α，PQ?平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ?平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.
5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：
①若α⊥β，α∩β＝m，n?α，n⊥m，则n⊥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α；
④若α⊥β，m∥α，则m⊥β.
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；③中，α⊥β，m⊥β，m?α时，只可能有m∥α，正确；④中，m与β的位置关系可能是m∥β或m?β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B.
6.如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．
解析：∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.
又平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，
∴CO⊥平面ABD.
∵OD?平面ABD，∴CO⊥OD，
∴△COD为直角三角形．
所以图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6个．
答案：6
7.如图，直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．
解析：如图，连接BC，
∵二角面α-l-β为直二面角，
AC?α，且AC⊥l，∴AC⊥β.
又BC?β，∴AC⊥BC，
∴BC2＝AB2－AC2＝3，
又BD⊥CD，
∴CD＝＝.
答案：
8．已知m，n是直线，α，β，γ是平面，给出下列说法
①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；
②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；
③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；
④若α∩β＝m，n∥m且n?α，n?β，则n∥α且n∥β.
其中正确的说法序号是________(注：把你认为正确的说法的序号都填上)．
解析：①错，垂直于交线，不一定垂直平面；②对；③错，凡是平面内垂直于m的射影的直线，m都与它们垂直；④对．
答案：②④
9.如图：三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.
证明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.
又BC?平面ABC，∴PA⊥BC.
又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB?平面PAB，
PA?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB.又BC?平面PBC，
∴平面PAB⊥平面PBC.
10.如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
(2)求直线EC与平面ABE所成角正弦值．
解：(1)证明：∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACDE.
又AM?平面ACDE，∴BC⊥AM.
∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.
又BC∩CE＝C，∴AM⊥平面EBC.
(2)取AB的中点F，连接CF，EF.
∵EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，
∴EA⊥平面ABC，∴EA⊥CF.
又AC＝BC，∴CF⊥AB.
∵EA∩AB＝A，
∴CF⊥平面AEB，
∴∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角．
在Rt△CFE中，CF＝，FE＝，
tan∠CEF＝＝.
层级二 应试能力达标
1．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或平行
解析：选B ∵圆柱的母线垂直于圆柱的底面，所作的垂线也垂直于底面，由线面垂直的性质定理可知，二者平行．
2．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
解析：选D A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m?α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．
3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n
B．若α∥β，m?α，n?β，则m∥n
C．若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
解析：选D A中m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中m，n可能为异面直线；C中m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．
4．在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为( )
A．2 B．2
C．4 D．4
解析：选B 连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝ ，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×＝2，所以PM的最小值为2.
5.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cos α∶cos β＝________.
解析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5,2，所以cos α＝＝，cos β＝，所以cos α∶cos β＝∶2.
答案：∶2
6．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．
解析：设面外的点为A，面内的点为B，过点A作面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B确定唯一平面β满足α⊥β.
答案：1或无数
7.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.
证明：设AC∩BD＝O，
连接EO，则EO∥PC.
∵PC＝CD＝a，PD＝a，
∴PC2＋CD2＝PD2，
∴PC⊥CD.
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，
∴PC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD.
又EO?平面EDB，
故有平面EDB⊥平面ABCD.
8.如图所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，D是BC的中点，侧面BB1C1C⊥底面ABC.
(1)求证：AD⊥CC1；
(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；
(3)若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM＝MA1吗？请叙述你的判断理由．
解：(1)证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.
∵底面ABC⊥平面BB1C1C，底面ABC∩平面BB1C1C＝BC，
∴AD⊥平面BB1C1C.
又CC1?平面BB1C1C，∴AD⊥CC1.
(2)证明：延长B1A1与BM交于点N，连接C1N.
∵AM＝MA1，
∴NA1＝A1B1.
∵A1C1＝A1N＝A1B1，
∴C1N⊥B1C1，
∴C1N⊥侧面BB1C1C.
∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C；
(3)结论正确．证明如下：过M作ME⊥BC1于点E，连接DE.
∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C，
∴ME⊥侧面BB1C1C.
又AD⊥侧面BB1C1C，
∴ME∥AD，∴M，E，D，A四点共面．
∵MA∥侧面BB1C1C，
∴AM∥DE.
∴四边形AMED是平方四边形，
又AM∥CC1，∴DE∥CC1.
∵BD＝CD，∴DE＝CC1，
∴AM＝CC1＝AA1.
∴AM＝MA1.
