山东省青岛市四中2018-2019年下学期九年级第一次月考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 山东省青岛市四中2018-2019年下学期九年级第一次月考数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 542.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 青岛版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-22 22:03:37 | ||
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文档简介
山东省青岛市四中2018-2019年下学期九年级数学第一次月考
数学试题
一．选择题（满分24分，每小题3分）
1．由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．两个人的影子在两个相反的方向，这说明（ ）
A．他们站在阳光下 B．他们站在路灯下
C．他们站在路灯的两侧 D．他们站在月光下
3．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为（ ）
A．105° B．115° C．125° D．135°
4．反比例函数与一次函数y＝2x的交点在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
5．为满足消费者需要，红星厂一月份生产手提电脑200台，计划二、三月份共生产2500台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A．200（1+x）2＝2500
B．200（1+x）+200（1+x）2＝2500
C．200（1﹣x）2＝2500
D．200+200（1+x）+2000（1+x）2＝250
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC的中点，则tan∠DBC的值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于（﹣1，0），（3，0）两点，则下列说法：①abc＜0；②a﹣b+c＝0；③2a+b＝0；④2a+c＞0；⑤若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）为抛物线上三点，且﹣1＜x1＜x2＜1，x3＞3，则y2＜y1＜y3，其中正确的结论是（ ）
A．①⑤ B．②④ C．②③④ D．②③⑤
8．如图，矩形ABCD，AB＝8，AD＝14，点M，N分别为边AD和边BC上的两点，且MN∥AB，点E是点A关于MN所在的直线的对称点，取CD的中点F，连接EF，NF，分别将△EDF沿着EF所在的直线折叠，将△CNF沿着NF所在的直线折叠，点D和点C恰好重合于EN上的点G．以下结论中：
①EF⊥NF；②∠MNE＝∠CNE；③△MNE∽△DEF；④四边形MNCD是正方形；⑤AM＝5．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①④ C．①③⑤ D．①④⑤
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下实验估计口袋中白球的个数：从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程．实验中总共摸了200次，其中有50次摸到红球．则白球有 个．
10．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给 个人．
11．如图，将矩形ABCD沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，BE，若△ABE为等边三角形，且S△CDE＝，则CD的长为 ．
12．在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米，当球飞行至球门时的高度是 米．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s速度移动．若P，Q分别同时从A，B出发，设运动时间为t，当四边形APQB的面积是16cm2时，则t的值为 ．
14．对下列现象中蕴含的数学原理阐述正确的是 （填序号）
①如图（1），剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成一个平行四边形．其依据是两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
②如图（2），工人师傅在做矩形门窗时，不仅测量出两组对边的长度是否相等，还要测量出两条条对角线的长度相等，以确保图形是矩形．其依据是对角线相等的四边形是矩形．
③如图（3），将两张等宽的纸条放在一起，重合部分构成的四边形ABCD一定是菱形．其依据是一组邻边相等的平行四边形是菱形．
④如图（4），把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形．其依据是一组邻边相等的矩形是正方形．
三．解答题（共1小题，满分4分，每小题4分）
15．（4分）如图所示，在8×11的网格图内，建立如图平面直角坐标系，格点三角形的三个顶点为：A（﹣3，﹣1），B（1，1），C（﹣3，1）．以坐标原点O为位似中心，将△ABC按相似比2：1放大，A、B、C的对应点分别为A'、B'、C'，（对应点在网格图内）．
（1）画出△A'B'C'；
（2）若△ABC的外接圆的圆心为P，⊙P以每秒1个单位的速度沿x轴正方向移动，t秒时，⊙P与A'C'第一次相切，求此时的t值．
四．解答题（共9小题，满分74分）
16．（8分）如果抛物线y＝x2+2x+2k﹣4与x轴有两个不同的公共点．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k为正整数，且该抛物线与x轴的公共点的横坐标都是整数，求k的值．
17．（6分）在△ABC中，∠C＝90°．
（1）已知：c＝8，∠A＝60°，求∠B及a，b的值；
（2）已知：a＝3，c＝6，求∠A，∠B及b的值．
18．（6分）某电脑公司现有A、B、C三种型号的甲品牌电脑和D、E两种型号的乙品牌电脑．某中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．
（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）；
（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，求A型号电脑被选中的概率．
19．（6分）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知AB⊥BC于点B，底座BC的长为1米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC，EF⊥EH于点E，已知AH长米，HF长米，HE长1米．
（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．
（2）求篮板底部点E到地面的距离．（结果保留根号）
20．（8分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝（k≠0）图象交于A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，其中A点坐标为（﹣2，3）．
（1）求一次函数和反比例函数解析式．
（2）若将点C沿y轴向下平移4个单位长度至点F，连接AF、BF，求△ABF的面积．
（3）根据图象，直接写出不等式﹣x+b＞的解集．
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且OE＝OF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）当线段OE与BO相等时，四边形BEDF为 形，并说明理由．
22．（10分）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面
的最大距离是5m．
（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是 （填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是 ，求出你所选方案中的抛物线的表达式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．
23．（10分）【几何模型】
如图（1），△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC．即： AB?r1+AC?r2＝AB?h，∴r1+r2＝h（定值）．
【模型应用（1）】：
如图（2），在边长为3的正方形ABCD中，点E为对角线BD上的一点，且BE＝BC，F为CE上一点，FM⊥BC于M，FN⊥BD于N，试利用上述结论求出FM+FN的长．
【模型应用（2）】：
如图（3），如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3＝h（定值）．
【模型应用（3）】：
若正n边形A1、A2…An内部任意一点P到各边的距离为r1，r2，…，rn，请问是r1+r2+…+rn是否为定值？如果是，请直接写出这个定值．如果不是，请说明理由．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点C（m，3）为过点A（3，0）、B（0，）的直线AB上一点，过点C的直线与x轴交于点D、与y轴交于点E，且满足∠ACE＝∠COD．
（1）求点C的坐标；
（2）求直线DE的函数关系式；
（3）若直线DE上存在点M，平面内存在点N，使得A、C、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出所有可能符合条件的菱形的面积．
参考答案
一．选择题
1．解：从左边看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：D．
2．解：根据两个人的影子在两个相反的方向，则一定是中心投影；且两人同在光源两侧．故选C．
3．解：∵△ABC∽△EDF，∴∠BAC＝∠DEF，又∠DEF＝90°+45°＝135°，所以∠BAC＝135°，故选D．
4．解：∵一次函数y＝2x的图象经过第一、三象限，反比例函数的图象经过第一、三象限，
∴反比例函数与一次函数y＝2x的交点在第一、三象限．
故选：B．
5．解：由题意可得，
200（1+x）+200（1+x）2＝2500，
故选：B．
6．解：如图所示，
∵∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴tan∠ABC＝＝．
∵D是AC边的中点，
∴CD＝AC，
∴tan∠DBC＝＝＝?＝．
故选：A．
7．解：①abc＜0，由图象知c＜0，a、b异号，所以，①错误；
②a﹣b+c＝0，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，正确；
③2a+b＝0，函数对称轴x＝﹣＝1，故正确；
④2a+c＞0，由②、③知：3a+c＝0，而﹣a＜0，∴2a+c＜0，故错误；
⑤若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）为抛物线上三点，且﹣1＜x1＜x2＜1，x3＞3，则y2＜y1＜y3，把A、B、C坐标大致在图上标出，可知正确；
故选：D．
8．解：∵由折叠的性质得，∠DFE＝∠GFE，∠GFN＝∠CFN，
∵∠DFE+∠GFE+∠GFN+∠CFN＝180°，
∴∠GFN+∠CFN＝90°，
∴∠NFE＝90°，
∴EF⊥NF；故①正确；
连接AN，
∵点E是点A关于MN所在的直线的对称点，
∴∠ANM＝∠ENM，
∴∠ANB＝∠CNE，
而四边形ABNM不是正方形，
∴∠ANB≠∠ANM，
∴∠MNE≠∠CNE；故②错误；
∵∠NEF≠90°，∠DFE+∠DEF＝90°，∠DEF+∠MEN≠90°，
∴∠DFE≠∠NEM，
∴△MNE∽△DEF错误，故③错误；
设DE＝x，
∴BN＝AM＝，
∴CN＝14﹣BN＝，
∵∠EFD+∠CFN＝∠EFD+∠DEF＝90°，
∴∠DEF＝∠CFN，
∵∠D＝∠C＝90°，
∴△DEF∽△CFN，
∴＝，
∵F是CD的在中点，
∴CF＝DF＝4，
∴＝，
∴x＝2，x＝﹣16（不合题意舍去），
∴DE＝2，CN＝8，
∴CD＝CN，
∴四边形MNCD是正方形；故④正确；
∵CN＝DM＝8，
∴AM＝6，故⑤错误，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．解：设口袋中有x个白球，
由题意，得＝，
解得x＝30．
把x＝30代入10+x得，10+30＝40≠0，故x＝30是原方程的解．
答：口袋中约有30个白球．
故答案为：30．
10．解：设每轮传染中平均一个人传染给x个人，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝64，
解得：x1＝7，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染给7个人．
故答案为：7．
11．解：如图，过E作EM⊥AB于M，交DC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB，DC∥AB，∠ABC＝90°，
∴MN＝BC，EN⊥DC，
∵延AC折叠B和E重合，△AEB是等边三角形，
∴∠EAC＝∠BAC＝30°，
设AB＝AE＝BE＝2a，则BC＝a，即MN＝a，
∵△ABE是等边三角形，EM⊥AB，
∴AM＝a，由勾股定理得：EM＝a，
∴△DCE的面积是×DC×EN＝×2a×（a﹣a）＝，
又∵S△CDE＝，
∴＝，
解得a＝，（负值已舍去）
∴CD＝2a＝2，
故答案为：2．
12．解：球飞行的路线为抛物线，顶点（6，3），起点（0，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+3，
∴0＝a（0﹣6）2+3．
解得a＝﹣．
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣6）2+3，
当x＝10时，y＝，故球飞行至球门时的高度是： m．
故答案为：．
13．解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，
∴BC＝＝6cm．
当运动时间为t秒时，AP＝2tcm，PC＝（8﹣2t）cm，BQ＝tcm，CQ＝（6﹣t）cm，
根据题意得：×6×8﹣（8﹣2t）（6﹣t）＝16，
整理得：t2﹣10t+16＝0，
解得：t1＝2，t2＝8．
∵8﹣2t≥0，
∴t≤4，
∴t＝2．
故答案为：2．
14．解：①由题意得：AB∥CD，AD∥BC，
∵两组对边分别平行，
∴四边形ABCD是平行四边形，故正确；
②∵两组对边的长度相等，
∴四边形是平行四边形，
∵对角线相等，
∴此平行四边形是矩形，故错误；
③∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；
过点D分别作AB，BC边上的高为DE，DF．如图所示：
则DE＝DF（两纸条相同，纸条宽度相同）；
∵平行四边形ABCD的面积＝AB×DE＝BC×DF，
∴AB＝BC．
∴平行四边形ABCD为菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），故正确；
④根据折叠原理，对折后可得：
所得的四边形有三个直角，且一组邻边相等，
所以可以裁出正方形纸片，故正确．
故答案为①③④．
三．解答题（共1小题，满分4分，每小题4分）
15．解：（1）如图，△A'B'C'为所作；
（2）如图，D点为AB的中点，⊙P与A'C'相切于E，DB＝AB＝＝，
∵△ABC为直角三角形，
∴D点为△ABC的外接圆的圆心，半径为，
∵DE＝7，PE＝，
∴DP＝7﹣，
∴t＝＝7﹣，
即此时t的值为7﹣．
四．解答题（共9小题，满分74分）
16．解：（1）根据题意得△＝22﹣4（2k﹣4）＞0，
解得k＜；
（2）∵k＜，
∴正整数k的值为1，2，
当k＝1时，抛物线解析式为y＝x2+2x﹣2，当y＝0时，x2+2x﹣2＝0，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，该抛物线与x轴的公共点的横坐标不是整数；
当k＝2时，抛物线解析式为y＝x2+2x，当y＝0时，x2+2x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣2，该抛物线与x轴的公共点的横坐标为0和﹣2，
∴k的值为2．
17．解：（1）∵∠C＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣60°＝30°，
∵sinA＝，
∴a＝csinA＝8×＝12，
∵tanA＝，
∴b＝＝＝＝4；
（2）在Rt△ABC中，∵sinA＝＝＝，
∴∠A＝45°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣45°＝45°，
∴b＝a＝3．
18．解：（1）画树状图得：
∴有6种选择方案：AD、AE、BD、BE、CD、CE；
（2）∵（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，且A型号电脑被选中的有2种情况，
∴A型号电脑被选中的概率＝＝．
19．解：（1）在Rt△EFH中，cos∠FHE＝＝，
∴∠FHE＝45°，
答：篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；
（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，
则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，
∴GM＝AB，HN＝EG，
在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，
∴AB＝BCtan60°＝1×＝，
∴GM＝AB＝，
在Rt△ANH中，∠FAN＝∠FHE＝45°，
∴HN＝AHsin45°＝×＝，
∴EM＝EG+GM＝+，
答：篮板底部点E到地面的距离是（+）米．
20．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝（k≠0）图象交于A（﹣3，2）、B两点，
∴3＝﹣×（﹣2）+b，k＝﹣2×3＝﹣6
∴b＝，k＝﹣6
∴一次函数解析式y＝﹣x+，反比例函数解析式y＝
（2）根据题意得：
解得：，
∴S△ABF＝×4×（4+2）＝12
（3）由图象可得：x＜﹣2或0＜x＜4
21．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（SAS），
∴BE＝DF．
（2）当线段OE与BO相等时，四边形BEDF为矩形，
理由：连接DE、BF．
∵OE＝OF，OD＝OB，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵OE＝OB，EF＝2OE，BD＝2OB，
∴EF＝BD，
∴四边形BEDF是矩形．
故答案为：矩．
22．解：（1）选择方案二，根据题意知点B的坐标为（10，0），
由题意知，抛物线的顶点坐标为（5，5），且经过点O（0，0），B（10，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+5，
把点（0，0）代入得：
0＝a（0﹣5）2+5，即a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣5）2+5，
故答案为：方案二，（10，0）；
（2）由题意知，当x＝5﹣3＝2时，﹣（x﹣5）2+5＝，
所以水面上涨的高度为米．
23．模型应用（1）：
解：过E点作EH⊥BC，垂足为H，连接BF，如答图（1），
∵BE＝BC＝3，∠EBH＝45°，
∴EH＝，
∵S△BFE+S△BCF＝S△BEC，
∴BE×FN+BC×FM＝BC×EH，
∵BE＝BC，
∴FN+FM＝EH＝．
模型应用（2）：
证明：连接PA，PB，PC，如答图（2），
∵S△PBC+S△PAC+S△PAB＝S△ABC，
∴BC?r1+AC?r2+AB?r3＝BC?h，
∵BC＝AC＝AB，
∴r1+r2+r3＝h．
模型应用（3）：
解：r1+r2+…+rn是定值：
r1+r2+…+rn＝． …
理由参考如下（不要求学生写出）：
如答图（3），
设AB为正多边形的任意一长边为a，其外接圆的半径为R，
∴a（r1+r2+…+rn）＝nS△AOB，
又∵S△AOB＝ah，
∴r1+r2+r3+…+rn＝nh
∵Rt△BOC中，∠BOC＝，
∴cos＝，
∴h＝Rcos＝，
∴r1+r2+r3+…+rn＝（定值）．
24．解：（1）设直线AC解析式y＝kx+b且过点A（3，0）、B（0，）
解得：k＝﹣，b＝
∴直线AC解析式y＝﹣x+
当y＝3时，3＝﹣x+
∴x＝﹣1
∴点C坐标（﹣1，3）
（2）
∵点A（3，0）、点C坐标（﹣1，3）
∴AC＝＝5
∵∠ECO＝∠CDO+∠COD
∴∠ECA+∠ACO＝∠CDO+∠COD，且∠ACE＝∠COD．
∴∠CDO＝∠ACO且∠CAD＝∠CAD
∴△ACO∽△ADC
∴即
∴AD＝
∴DO＝
∴点D（﹣，0）
设DE解析式y＝mx+n过点D（﹣，0），点C坐标（﹣1，3）
∴
解得：m＝，n＝
∴直线DE解析式y＝x+
（3）若以AC，CM为边，如图：过点D作DH⊥AC于点H，过点M作MG⊥AC于点G
∵四边形ACMN是菱形
∴AC＝CM＝5
∵点A（3，0），点B（0，），点C（﹣1，3），点D（﹣，0）
∴AB＝，CD＝
∵sin∠BAO＝＝
∴
∴DH＝5
∵DH⊥AC，MG⊥AC
∴MG∥DH
∴
∴GM＝＝
∴菱形ACMN的面积＝AC×GM＝5×＝
若AC为边，CM为对角线，如图：连接AN，过点C作CH⊥AD
∵四边形ACNM是菱形
∴AN⊥CM
∵S△ACD＝CD×AG＝AD×CH
∴×AG＝
∴AG＝
在Rt△ACG中，CG＝＝
∴菱形ACNM的面积＝4××CG×AG＝15
若AC为对角线，如图：连接MN交AC于点G，过点A作AH⊥CD于点H
∵S△ACD＝CD×AH
∴×AH＝
∴AH＝
∵CH＝
∵四边形AMCN是菱形
∴MN⊥AC，AG＝CG＝
∵tan∠MCA＝
∴＝
∴MG＝
∴菱形ACNM的面积＝4××CG×MG＝
数学试题
一．选择题（满分24分，每小题3分）
1．由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．两个人的影子在两个相反的方向，这说明（ ）
A．他们站在阳光下 B．他们站在路灯下
C．他们站在路灯的两侧 D．他们站在月光下
3．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为（ ）
A．105° B．115° C．125° D．135°
4．反比例函数与一次函数y＝2x的交点在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
5．为满足消费者需要，红星厂一月份生产手提电脑200台，计划二、三月份共生产2500台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A．200（1+x）2＝2500
B．200（1+x）+200（1+x）2＝2500
C．200（1﹣x）2＝2500
D．200+200（1+x）+2000（1+x）2＝250
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC的中点，则tan∠DBC的值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于（﹣1，0），（3，0）两点，则下列说法：①abc＜0；②a﹣b+c＝0；③2a+b＝0；④2a+c＞0；⑤若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）为抛物线上三点，且﹣1＜x1＜x2＜1，x3＞3，则y2＜y1＜y3，其中正确的结论是（ ）
A．①⑤ B．②④ C．②③④ D．②③⑤
8．如图，矩形ABCD，AB＝8，AD＝14，点M，N分别为边AD和边BC上的两点，且MN∥AB，点E是点A关于MN所在的直线的对称点，取CD的中点F，连接EF，NF，分别将△EDF沿着EF所在的直线折叠，将△CNF沿着NF所在的直线折叠，点D和点C恰好重合于EN上的点G．以下结论中：
①EF⊥NF；②∠MNE＝∠CNE；③△MNE∽△DEF；④四边形MNCD是正方形；⑤AM＝5．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①④ C．①③⑤ D．①④⑤
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下实验估计口袋中白球的个数：从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程．实验中总共摸了200次，其中有50次摸到红球．则白球有 个．
10．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给 个人．
11．如图，将矩形ABCD沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，BE，若△ABE为等边三角形，且S△CDE＝，则CD的长为 ．
12．在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米，当球飞行至球门时的高度是 米．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s速度移动．若P，Q分别同时从A，B出发，设运动时间为t，当四边形APQB的面积是16cm2时，则t的值为 ．
14．对下列现象中蕴含的数学原理阐述正确的是 （填序号）
①如图（1），剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成一个平行四边形．其依据是两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
②如图（2），工人师傅在做矩形门窗时，不仅测量出两组对边的长度是否相等，还要测量出两条条对角线的长度相等，以确保图形是矩形．其依据是对角线相等的四边形是矩形．
③如图（3），将两张等宽的纸条放在一起，重合部分构成的四边形ABCD一定是菱形．其依据是一组邻边相等的平行四边形是菱形．
④如图（4），把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形．其依据是一组邻边相等的矩形是正方形．
三．解答题（共1小题，满分4分，每小题4分）
15．（4分）如图所示，在8×11的网格图内，建立如图平面直角坐标系，格点三角形的三个顶点为：A（﹣3，﹣1），B（1，1），C（﹣3，1）．以坐标原点O为位似中心，将△ABC按相似比2：1放大，A、B、C的对应点分别为A'、B'、C'，（对应点在网格图内）．
（1）画出△A'B'C'；
（2）若△ABC的外接圆的圆心为P，⊙P以每秒1个单位的速度沿x轴正方向移动，t秒时，⊙P与A'C'第一次相切，求此时的t值．
四．解答题（共9小题，满分74分）
16．（8分）如果抛物线y＝x2+2x+2k﹣4与x轴有两个不同的公共点．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k为正整数，且该抛物线与x轴的公共点的横坐标都是整数，求k的值．
17．（6分）在△ABC中，∠C＝90°．
（1）已知：c＝8，∠A＝60°，求∠B及a，b的值；
（2）已知：a＝3，c＝6，求∠A，∠B及b的值．
18．（6分）某电脑公司现有A、B、C三种型号的甲品牌电脑和D、E两种型号的乙品牌电脑．某中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．
（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）；
（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，求A型号电脑被选中的概率．
19．（6分）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知AB⊥BC于点B，底座BC的长为1米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC，EF⊥EH于点E，已知AH长米，HF长米，HE长1米．
（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．
（2）求篮板底部点E到地面的距离．（结果保留根号）
20．（8分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝（k≠0）图象交于A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，其中A点坐标为（﹣2，3）．
（1）求一次函数和反比例函数解析式．
（2）若将点C沿y轴向下平移4个单位长度至点F，连接AF、BF，求△ABF的面积．
（3）根据图象，直接写出不等式﹣x+b＞的解集．
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且OE＝OF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）当线段OE与BO相等时，四边形BEDF为 形，并说明理由．
22．（10分）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面
的最大距离是5m．
（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是 （填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是 ，求出你所选方案中的抛物线的表达式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．
23．（10分）【几何模型】
如图（1），△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC．即： AB?r1+AC?r2＝AB?h，∴r1+r2＝h（定值）．
【模型应用（1）】：
如图（2），在边长为3的正方形ABCD中，点E为对角线BD上的一点，且BE＝BC，F为CE上一点，FM⊥BC于M，FN⊥BD于N，试利用上述结论求出FM+FN的长．
【模型应用（2）】：
如图（3），如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3＝h（定值）．
【模型应用（3）】：
若正n边形A1、A2…An内部任意一点P到各边的距离为r1，r2，…，rn，请问是r1+r2+…+rn是否为定值？如果是，请直接写出这个定值．如果不是，请说明理由．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点C（m，3）为过点A（3，0）、B（0，）的直线AB上一点，过点C的直线与x轴交于点D、与y轴交于点E，且满足∠ACE＝∠COD．
（1）求点C的坐标；
（2）求直线DE的函数关系式；
（3）若直线DE上存在点M，平面内存在点N，使得A、C、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出所有可能符合条件的菱形的面积．
参考答案
一．选择题
1．解：从左边看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：D．
2．解：根据两个人的影子在两个相反的方向，则一定是中心投影；且两人同在光源两侧．故选C．
3．解：∵△ABC∽△EDF，∴∠BAC＝∠DEF，又∠DEF＝90°+45°＝135°，所以∠BAC＝135°，故选D．
4．解：∵一次函数y＝2x的图象经过第一、三象限，反比例函数的图象经过第一、三象限，
∴反比例函数与一次函数y＝2x的交点在第一、三象限．
故选：B．
5．解：由题意可得，
200（1+x）+200（1+x）2＝2500，
故选：B．
6．解：如图所示，
∵∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴tan∠ABC＝＝．
∵D是AC边的中点，
∴CD＝AC，
∴tan∠DBC＝＝＝?＝．
故选：A．
7．解：①abc＜0，由图象知c＜0，a、b异号，所以，①错误；
②a﹣b+c＝0，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，正确；
③2a+b＝0，函数对称轴x＝﹣＝1，故正确；
④2a+c＞0，由②、③知：3a+c＝0，而﹣a＜0，∴2a+c＜0，故错误；
⑤若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）为抛物线上三点，且﹣1＜x1＜x2＜1，x3＞3，则y2＜y1＜y3，把A、B、C坐标大致在图上标出，可知正确；
故选：D．
8．解：∵由折叠的性质得，∠DFE＝∠GFE，∠GFN＝∠CFN，
∵∠DFE+∠GFE+∠GFN+∠CFN＝180°，
∴∠GFN+∠CFN＝90°，
∴∠NFE＝90°，
∴EF⊥NF；故①正确；
连接AN，
∵点E是点A关于MN所在的直线的对称点，
∴∠ANM＝∠ENM，
∴∠ANB＝∠CNE，
而四边形ABNM不是正方形，
∴∠ANB≠∠ANM，
∴∠MNE≠∠CNE；故②错误；
∵∠NEF≠90°，∠DFE+∠DEF＝90°，∠DEF+∠MEN≠90°，
∴∠DFE≠∠NEM，
∴△MNE∽△DEF错误，故③错误；
设DE＝x，
∴BN＝AM＝，
∴CN＝14﹣BN＝，
∵∠EFD+∠CFN＝∠EFD+∠DEF＝90°，
∴∠DEF＝∠CFN，
∵∠D＝∠C＝90°，
∴△DEF∽△CFN，
∴＝，
∵F是CD的在中点，
∴CF＝DF＝4，
∴＝，
∴x＝2，x＝﹣16（不合题意舍去），
∴DE＝2，CN＝8，
∴CD＝CN，
∴四边形MNCD是正方形；故④正确；
∵CN＝DM＝8，
∴AM＝6，故⑤错误，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．解：设口袋中有x个白球，
由题意，得＝，
解得x＝30．
把x＝30代入10+x得，10+30＝40≠0，故x＝30是原方程的解．
答：口袋中约有30个白球．
故答案为：30．
10．解：设每轮传染中平均一个人传染给x个人，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝64，
解得：x1＝7，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染给7个人．
故答案为：7．
11．解：如图，过E作EM⊥AB于M，交DC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB，DC∥AB，∠ABC＝90°，
∴MN＝BC，EN⊥DC，
∵延AC折叠B和E重合，△AEB是等边三角形，
∴∠EAC＝∠BAC＝30°，
设AB＝AE＝BE＝2a，则BC＝a，即MN＝a，
∵△ABE是等边三角形，EM⊥AB，
∴AM＝a，由勾股定理得：EM＝a，
∴△DCE的面积是×DC×EN＝×2a×（a﹣a）＝，
又∵S△CDE＝，
∴＝，
解得a＝，（负值已舍去）
∴CD＝2a＝2，
故答案为：2．
12．解：球飞行的路线为抛物线，顶点（6，3），起点（0，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+3，
∴0＝a（0﹣6）2+3．
解得a＝﹣．
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣6）2+3，
当x＝10时，y＝，故球飞行至球门时的高度是： m．
故答案为：．
13．解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，
∴BC＝＝6cm．
当运动时间为t秒时，AP＝2tcm，PC＝（8﹣2t）cm，BQ＝tcm，CQ＝（6﹣t）cm，
根据题意得：×6×8﹣（8﹣2t）（6﹣t）＝16，
整理得：t2﹣10t+16＝0，
解得：t1＝2，t2＝8．
∵8﹣2t≥0，
∴t≤4，
∴t＝2．
故答案为：2．
14．解：①由题意得：AB∥CD，AD∥BC，
∵两组对边分别平行，
∴四边形ABCD是平行四边形，故正确；
②∵两组对边的长度相等，
∴四边形是平行四边形，
∵对角线相等，
∴此平行四边形是矩形，故错误；
③∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；
过点D分别作AB，BC边上的高为DE，DF．如图所示：
则DE＝DF（两纸条相同，纸条宽度相同）；
∵平行四边形ABCD的面积＝AB×DE＝BC×DF，
∴AB＝BC．
∴平行四边形ABCD为菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），故正确；
④根据折叠原理，对折后可得：
所得的四边形有三个直角，且一组邻边相等，
所以可以裁出正方形纸片，故正确．
故答案为①③④．
三．解答题（共1小题，满分4分，每小题4分）
15．解：（1）如图，△A'B'C'为所作；
（2）如图，D点为AB的中点，⊙P与A'C'相切于E，DB＝AB＝＝，
∵△ABC为直角三角形，
∴D点为△ABC的外接圆的圆心，半径为，
∵DE＝7，PE＝，
∴DP＝7﹣，
∴t＝＝7﹣，
即此时t的值为7﹣．
四．解答题（共9小题，满分74分）
16．解：（1）根据题意得△＝22﹣4（2k﹣4）＞0，
解得k＜；
（2）∵k＜，
∴正整数k的值为1，2，
当k＝1时，抛物线解析式为y＝x2+2x﹣2，当y＝0时，x2+2x﹣2＝0，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，该抛物线与x轴的公共点的横坐标不是整数；
当k＝2时，抛物线解析式为y＝x2+2x，当y＝0时，x2+2x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣2，该抛物线与x轴的公共点的横坐标为0和﹣2，
∴k的值为2．
17．解：（1）∵∠C＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣60°＝30°，
∵sinA＝，
∴a＝csinA＝8×＝12，
∵tanA＝，
∴b＝＝＝＝4；
（2）在Rt△ABC中，∵sinA＝＝＝，
∴∠A＝45°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣45°＝45°，
∴b＝a＝3．
18．解：（1）画树状图得：
∴有6种选择方案：AD、AE、BD、BE、CD、CE；
（2）∵（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，且A型号电脑被选中的有2种情况，
∴A型号电脑被选中的概率＝＝．
19．解：（1）在Rt△EFH中，cos∠FHE＝＝，
∴∠FHE＝45°，
答：篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；
（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，
则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，
∴GM＝AB，HN＝EG，
在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，
∴AB＝BCtan60°＝1×＝，
∴GM＝AB＝，
在Rt△ANH中，∠FAN＝∠FHE＝45°，
∴HN＝AHsin45°＝×＝，
∴EM＝EG+GM＝+，
答：篮板底部点E到地面的距离是（+）米．
20．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝（k≠0）图象交于A（﹣3，2）、B两点，
∴3＝﹣×（﹣2）+b，k＝﹣2×3＝﹣6
∴b＝，k＝﹣6
∴一次函数解析式y＝﹣x+，反比例函数解析式y＝
（2）根据题意得：
解得：，
∴S△ABF＝×4×（4+2）＝12
（3）由图象可得：x＜﹣2或0＜x＜4
21．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（SAS），
∴BE＝DF．
（2）当线段OE与BO相等时，四边形BEDF为矩形，
理由：连接DE、BF．
∵OE＝OF，OD＝OB，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵OE＝OB，EF＝2OE，BD＝2OB，
∴EF＝BD，
∴四边形BEDF是矩形．
故答案为：矩．
22．解：（1）选择方案二，根据题意知点B的坐标为（10，0），
由题意知，抛物线的顶点坐标为（5，5），且经过点O（0，0），B（10，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+5，
把点（0，0）代入得：
0＝a（0﹣5）2+5，即a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣5）2+5，
故答案为：方案二，（10，0）；
（2）由题意知，当x＝5﹣3＝2时，﹣（x﹣5）2+5＝，
所以水面上涨的高度为米．
23．模型应用（1）：
解：过E点作EH⊥BC，垂足为H，连接BF，如答图（1），
∵BE＝BC＝3，∠EBH＝45°，
∴EH＝，
∵S△BFE+S△BCF＝S△BEC，
∴BE×FN+BC×FM＝BC×EH，
∵BE＝BC，
∴FN+FM＝EH＝．
模型应用（2）：
证明：连接PA，PB，PC，如答图（2），
∵S△PBC+S△PAC+S△PAB＝S△ABC，
∴BC?r1+AC?r2+AB?r3＝BC?h，
∵BC＝AC＝AB，
∴r1+r2+r3＝h．
模型应用（3）：
解：r1+r2+…+rn是定值：
r1+r2+…+rn＝． …
理由参考如下（不要求学生写出）：
如答图（3），
设AB为正多边形的任意一长边为a，其外接圆的半径为R，
∴a（r1+r2+…+rn）＝nS△AOB，
又∵S△AOB＝ah，
∴r1+r2+r3+…+rn＝nh
∵Rt△BOC中，∠BOC＝，
∴cos＝，
∴h＝Rcos＝，
∴r1+r2+r3+…+rn＝（定值）．
24．解：（1）设直线AC解析式y＝kx+b且过点A（3，0）、B（0，）
解得：k＝﹣，b＝
∴直线AC解析式y＝﹣x+
当y＝3时，3＝﹣x+
∴x＝﹣1
∴点C坐标（﹣1，3）
（2）
∵点A（3，0）、点C坐标（﹣1，3）
∴AC＝＝5
∵∠ECO＝∠CDO+∠COD
∴∠ECA+∠ACO＝∠CDO+∠COD，且∠ACE＝∠COD．
∴∠CDO＝∠ACO且∠CAD＝∠CAD
∴△ACO∽△ADC
∴即
∴AD＝
∴DO＝
∴点D（﹣，0）
设DE解析式y＝mx+n过点D（﹣，0），点C坐标（﹣1，3）
∴
解得：m＝，n＝
∴直线DE解析式y＝x+
（3）若以AC，CM为边，如图：过点D作DH⊥AC于点H，过点M作MG⊥AC于点G
∵四边形ACMN是菱形
∴AC＝CM＝5
∵点A（3，0），点B（0，），点C（﹣1，3），点D（﹣，0）
∴AB＝，CD＝
∵sin∠BAO＝＝
∴
∴DH＝5
∵DH⊥AC，MG⊥AC
∴MG∥DH
∴
∴GM＝＝
∴菱形ACMN的面积＝AC×GM＝5×＝
若AC为边，CM为对角线，如图：连接AN，过点C作CH⊥AD
∵四边形ACNM是菱形
∴AN⊥CM
∵S△ACD＝CD×AG＝AD×CH
∴×AG＝
∴AG＝
在Rt△ACG中，CG＝＝
∴菱形ACNM的面积＝4××CG×AG＝15
若AC为对角线，如图：连接MN交AC于点G，过点A作AH⊥CD于点H
∵S△ACD＝CD×AH
∴×AH＝
∴AH＝
∵CH＝
∵四边形AMCN是菱形
∴MN⊥AC，AG＝CG＝
∵tan∠MCA＝
∴＝
∴MG＝
∴菱形ACNM的面积＝4××CG×MG＝
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