19.1.2 矩形的判定 试卷
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19.1.2矩形的判定 同步练习
时间：30分钟，总分：100分 班级：_____________ 姓名：_____________
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．下列结论正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．对角线互相垂直且平分的四边形是矩形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
2．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB=CD B．AC=BD C．AB=BC D．AD=BC
3．已知平行四边形ABCD，对角线交于点O，下列条件中不一定能确定为矩形的是（ ）
A．∠ABC=90° B．OA=OB C．AB=BC D．AC=BD
4．在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，如果添加一个条件，即可推出该四边形是矩形，那么这个条件可以是（ ）
A．∠D=90° B．OA=4 C．AD=BC D．AB=CD
5．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD．则不能使四边形ABCD成为矩形的是（ ）
A．①②③
B．②③④
C．②⑤⑥
D．④⑤⑥
6．已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：
对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
二．填空题（每小题5分，共30分）
7．木工师傅做了一张桌面，要求为长方形，现量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为66cm，这个桌面___________（填“合格”或“不合格”）．
8．四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，如果再添加一个条件，可以得到四边形ABCD是矩形，那么可以添加的条件是_____________．（不再添加线或字母，写出一种情况即可）
9．对于四边形ABCD，下面给出对角线的三种特征：①AC、BD互相平分；②AC⊥BD；③AC=BD．当具备上述条件中的________，就能得到“四边形ABCD是矩形”。
10．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，有下列条件：①AO=CO，BO=DO；②AO=BO=CO=DO．其中能判断ABCD是矩形的条件是__________（填序号）．
11． 如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE、BF．当∠ACB为__________ 度时，四边形ABFE为矩形．
12．如图，AB∥CD，PM、PN、QM、QN分别为角平分线，则四边形PMQN是________．
三、解答题（共40分）
13．（本题满分12分）在?ABCD中，M为AD的中点，BM=CM，求证：四边形ABCD是矩形．
14．（本题满分14分）如图，在?ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）求证：四边形BFDE为矩形．
15．（本题满分14分）已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．
参考答案
一、选择题：
1．【答案】D．
【解析】A、对角线相等的四边形还可能是等腰梯形，故错误；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，错误；C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故错误；D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故正确，故选D．
2．【答案】B．
【解析】可添加AC=BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形．故选B．
3．【答案】C．
【解析】∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故A不正确；∵OA=OB，∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故B，D不正确；∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形，故C正确．故选C．
4．【答案】A．
【解析】∵四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴当有一个角是直角时该四边形是矩形，故选A．
5．【答案】C．
【解析】A、①AB∥DC；②AB=DC可判定四边形是平行四边形，再加上③AC=BD可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判定，故此选项不合题意；
B、②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°，可根据题意判断出全等三角形，进而得出四边形是矩形进行判定，故此选项不合题意；
C、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB=DC也不能判定是矩形，故此选项符合题意；
D、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加④∠ABC=90°可根据有一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定，故此选项不符合题意；故选C．
6．【答案】A．
【解析】由甲同学的作业可知，CD=AB，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴?ABCD是矩形．所以甲的作业正确；
由乙同学的作业可知，CM=AM，MD=MB，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴?ABCD是矩形．所以乙的作业正确；故选A．
二、填空题：
7．【答案】不合格．
【解析】∵=68cm≠66cm，∴这个桌面不合格，故答案为不合格．
8．【答案】AD=BC．
【解析】添加AD=BC，∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为AD=BC．
9．【答案】①③．
【解析】当具备①③两个条件，能得到四边形ABCD是矩形．理由：∵对角线AC、BD互相平分，∴四边形ABCD为平行四边形．又∵AC=BD，∴四边形ABCD为矩形．故答案为①③．
10．【答案】②．
【解析】能判定四边形ABCD是矩形的条件为②．理由如下：AO=BO=CO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴?ABCD是矩形．故答案为②．
11．【答案】60．
【解析】如果四边形ABFE为矩形，根据矩形的性质，那么AF=BE，AC=BC，又因为AC=AB，那么三角形ABC是等边三角形，所以∠ACB=60°．故答案为60．
12．【答案】矩形．
【解析】四边形PMQN是矩形，∵PM、PN分别平分∠APQ，∠BPQ，∴∠MPQ=∠APQ，∠NPQ=∠BPQ，∵∠APQ+∠BPQ=180°，∴∠MPQ+∠NPQ=90°，∵AB∥CD，∴∠APQ=∠PQD，∵QN平分∠PQD，∴∠PQN=∠PQD，∴∠MPQ=∠NQP，∴PM∥QN，同理QM∥PN，∴四边形PMQN是平行四边形，∴四边形PMQN是矩形．故答案为矩形．
三、解答题：
13．【答案】见解析．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，在△ABM和△DCM中，∵，∴△ABM≌△DCM（SSS），∴∠A=∠D=90°，即可得出平行四边形ABCD是矩形．
14．【答案】见解析
【解析】证明：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED=∠CFB=90°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，∵，∴△ADE≌△CBF（AAS）；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CDE+∠DEB=180°，∵∠DEB=90°，∴∠CDE=90°，∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°，则四边形BFDE为矩形．
15．【答案】见解析．
【解析】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵AE是∠BAC的外角平分线，∴∠FAE=∠EAC，∵∠B+∠ACB=∠FAE+∠EAC，∴∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC，∴AE∥CD，又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE平行且等于BD，又∵BD=DC，∴AE平行且等于DC，故四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC=90°，∴平行四边形ADCE是矩形．即四边形ADCE是矩形．
时间：30分钟，总分：100分 班级：_____________ 姓名：_____________
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．下列结论正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．对角线互相垂直且平分的四边形是矩形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
2．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB=CD B．AC=BD C．AB=BC D．AD=BC
3．已知平行四边形ABCD，对角线交于点O，下列条件中不一定能确定为矩形的是（ ）
A．∠ABC=90° B．OA=OB C．AB=BC D．AC=BD
4．在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，如果添加一个条件，即可推出该四边形是矩形，那么这个条件可以是（ ）
A．∠D=90° B．OA=4 C．AD=BC D．AB=CD
5．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD．则不能使四边形ABCD成为矩形的是（ ）
A．①②③
B．②③④
C．②⑤⑥
D．④⑤⑥
6．已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：
对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
二．填空题（每小题5分，共30分）
7．木工师傅做了一张桌面，要求为长方形，现量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为66cm，这个桌面___________（填“合格”或“不合格”）．
8．四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，如果再添加一个条件，可以得到四边形ABCD是矩形，那么可以添加的条件是_____________．（不再添加线或字母，写出一种情况即可）
9．对于四边形ABCD，下面给出对角线的三种特征：①AC、BD互相平分；②AC⊥BD；③AC=BD．当具备上述条件中的________，就能得到“四边形ABCD是矩形”。
10．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，有下列条件：①AO=CO，BO=DO；②AO=BO=CO=DO．其中能判断ABCD是矩形的条件是__________（填序号）．
11． 如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE、BF．当∠ACB为__________ 度时，四边形ABFE为矩形．
12．如图，AB∥CD，PM、PN、QM、QN分别为角平分线，则四边形PMQN是________．
三、解答题（共40分）
13．（本题满分12分）在?ABCD中，M为AD的中点，BM=CM，求证：四边形ABCD是矩形．
14．（本题满分14分）如图，在?ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）求证：四边形BFDE为矩形．
15．（本题满分14分）已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．
参考答案
一、选择题：
1．【答案】D．
【解析】A、对角线相等的四边形还可能是等腰梯形，故错误；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，错误；C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故错误；D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故正确，故选D．
2．【答案】B．
【解析】可添加AC=BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形．故选B．
3．【答案】C．
【解析】∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故A不正确；∵OA=OB，∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故B，D不正确；∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形，故C正确．故选C．
4．【答案】A．
【解析】∵四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴当有一个角是直角时该四边形是矩形，故选A．
5．【答案】C．
【解析】A、①AB∥DC；②AB=DC可判定四边形是平行四边形，再加上③AC=BD可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判定，故此选项不合题意；
B、②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°，可根据题意判断出全等三角形，进而得出四边形是矩形进行判定，故此选项不合题意；
C、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB=DC也不能判定是矩形，故此选项符合题意；
D、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加④∠ABC=90°可根据有一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定，故此选项不符合题意；故选C．
6．【答案】A．
【解析】由甲同学的作业可知，CD=AB，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴?ABCD是矩形．所以甲的作业正确；
由乙同学的作业可知，CM=AM，MD=MB，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴?ABCD是矩形．所以乙的作业正确；故选A．
二、填空题：
7．【答案】不合格．
【解析】∵=68cm≠66cm，∴这个桌面不合格，故答案为不合格．
8．【答案】AD=BC．
【解析】添加AD=BC，∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为AD=BC．
9．【答案】①③．
【解析】当具备①③两个条件，能得到四边形ABCD是矩形．理由：∵对角线AC、BD互相平分，∴四边形ABCD为平行四边形．又∵AC=BD，∴四边形ABCD为矩形．故答案为①③．
10．【答案】②．
【解析】能判定四边形ABCD是矩形的条件为②．理由如下：AO=BO=CO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴?ABCD是矩形．故答案为②．
11．【答案】60．
【解析】如果四边形ABFE为矩形，根据矩形的性质，那么AF=BE，AC=BC，又因为AC=AB，那么三角形ABC是等边三角形，所以∠ACB=60°．故答案为60．
12．【答案】矩形．
【解析】四边形PMQN是矩形，∵PM、PN分别平分∠APQ，∠BPQ，∴∠MPQ=∠APQ，∠NPQ=∠BPQ，∵∠APQ+∠BPQ=180°，∴∠MPQ+∠NPQ=90°，∵AB∥CD，∴∠APQ=∠PQD，∵QN平分∠PQD，∴∠PQN=∠PQD，∴∠MPQ=∠NQP，∴PM∥QN，同理QM∥PN，∴四边形PMQN是平行四边形，∴四边形PMQN是矩形．故答案为矩形．
三、解答题：
13．【答案】见解析．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，在△ABM和△DCM中，∵，∴△ABM≌△DCM（SSS），∴∠A=∠D=90°，即可得出平行四边形ABCD是矩形．
14．【答案】见解析
【解析】证明：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED=∠CFB=90°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，∵，∴△ADE≌△CBF（AAS）；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CDE+∠DEB=180°，∵∠DEB=90°，∴∠CDE=90°，∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°，则四边形BFDE为矩形．
15．【答案】见解析．
【解析】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵AE是∠BAC的外角平分线，∴∠FAE=∠EAC，∵∠B+∠ACB=∠FAE+∠EAC，∴∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC，∴AE∥CD，又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE平行且等于BD，又∵BD=DC，∴AE平行且等于DC，故四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC=90°，∴平行四边形ADCE是矩形．即四边形ADCE是矩形．