19.2.1正比例函数第一课时
数学人教版 八年级下
新知导入
知识回顾
什么叫自变量？什么叫函数？
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
下列关于变量x、y的关系：
（1）3x-2y=0 (2) (3)y= (4)y=
其中y是x的函数的是
(1)（3）
活动一：情境创设
2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318km.设列车平均速度为300km/h.考虑以下问题：
（1）乘京沪高速列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站， 约需要多少小时（结果保留小数点后一位）？
解： 1318÷300≈4.4（h）
（2）京沪高铁列车的行程y（单位：km）与运行时间t（单位：h）之间有何数量关系？
解： y=300t（0≤t≤4.4）
（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后，是否已经过了距始发站1 100 km的南京站？
解：当t=2.5时 y=300×2.5=750（km）,
这趟列车尚未到达距始发站1100km的南京站.
新知导入
活动一：情境创设
思考下列问题：
1. y=300t中，变量和常量分别是什么？其对应关系式是函数
关系吗？谁是自变量，谁是函数？
2. 自变量与常量按什么运算符号连接起来的？
3. 如果从小学学习过的比例观点看，列车在运行过程中，
行程y（单位：km）和运行时间 t（单位：h）是什么关系？
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活动二：问题再现
下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式：
（1）圆的周长l 随半径r的变化而变化．
（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化．
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活动二：问题再现
（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习
本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本
的本数n的变化而变化．
（4）冷冻一个0°C的物体，使它每分钟下降2°C，物体问题T（单位：°C）随冷冻时间
t（单位：min）的变化而变化．
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活动二：问题再现
问题探究：在 、 、 和 中 :
（1）以上对应关系都是函数关系吗？其变量和常量分别是什么？
指出谁是自变量，谁是函数？
（2）认真观察自变量和常量运用什么运算符号连接起来的？
这些常量可以取哪些值？
（3）这4个函数表达式与问题1的函数表达式 y=300t有何共同特征？
请你用语言加以描述．
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活动三：形成概念
1.自变量和常量是用乘法连接起来的，如果我们把这个常数记为k， 你能用函数解析式表达出来吗？
2.对这个常数k有何要求呢？为什么？
3.请你尝试给这类特殊函数下个定义：
形如 y=kx(k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫比例系数
4.这个函数表达式在形式上一个单项式还是多项式？你能指出它的
系数是什么？次数为多少？
kx形式上是一个一次单项式，单项式系数就是比例系数k，次数是1
解：y=kx
解： k≠0
新知讲解
活动四：辨析概念
1.下列式子，哪些表示y是x的正比例函数？如果是，请你指出
正比例系数k的值．
（1）y= -5x （2）y=0.3x
（3）y=4x2 （4）y2=2x
（5）y=-x+3 （6）y=2(x－x2 )+2x2
是正比例函数，
正比例系数为-5
是正比例函数，
正比例系数为0.3
不是正比例函数
不是正比例函数
不是正比例函数
是正比例函数，
正比例系数为2
课堂练习
判定一个函数是否
是正比例函数，要
从化简后来判断！
活动四：辨析概念
2.列式表示下列问题中y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数．
（1）正方形的边长为xcm，周长为ycm.
y=4x 是正比例函数
（2）某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月）的总收入 为y元．
y=12x 是正比例函数
（3）一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为xcm ，体积为ycm3.
y=3x 是正比例函数
课堂练习
3. 下列说法正确的打“√”，错误的打“×”
（1）若y=kx，则y是x的正比例函数（ ）
（2）若y=2x2，则y是x的正比例函数（ ）
（3）若y=2(x-1)+2，则y是x的正比例函数（ ）
（4）若y=2(x-1) ，则y是x-1的正比例函数（ ）
×
×
√
在特定条件下自变量可能不单独就是x了，要注意自变量的变化
√
课堂练习
活动四：辨析概念
活动五：理解概念
4.如果y=(k-1)x，是y关于x的正比例函数，则k满足______
5.如果y=kxk-1，是y关于x的正比例函数，则k=__________.
6.如果y=3x+k-4，是y关于x的正比例函数，则k=_________.
7.若函数 是正比例函数，则m= .
k≠1
2
4
课堂练习
-3
例1：若y关于x成正比例函数，当x=2时，y=-6.
（1）求出y与x的关系式；
（2）当x=9时，求出对应的函数值y.
解：（1）设正比例函数解析式为y=kx.
把x=2,y=-6代入函数解析式得：
-6=2k
解得k=-3
所以，y与x的关系式是y=-3x
（2）把x=9代入解析式得：y=-3×9=-27
拓展提高
活动六：运用概念
活动七： 变式训练
1.已知正比例函数y=kx，当x=3时，y=-15，求k的值．
2.若y关于x成正比例函数，当x=4时，y=-2.
（1）求出y与x的关系式；
（2）当x=6时，求出对应的函数值y.
k= -5
y= -0.5x
y= -3
课堂练习
3.有一块10公顷的成熟麦田，用一台收割速度为0.5公顷每小时 的小麦收割机来收割.
（1）求收割的面积y（单位：公顷）与收割时间x（单位：时） 之间的函数关系式；
（2）求收割完这块麦田需用的时间.
解：（1）y=0.5x；
（2）把y=10代入y=0.5x中，得10=0.5x.
解得x=20，即收割完这块麦田需要20小时.
活动七： 变式训练
课堂练习
活动八：课堂小结
你如何理解正比例函数的意义？能从哪几个方面去认识正比例函数？
1.从语言描述看：
函数关系式是常量与自变量的乘积．
2.从外形特征看：
（1）一般情况下y=kx(常数k≠0)；
（2）在特定条件下自变量可能不单独是x了，要注意问题中自变量的变化.
3.从结果形式看：
函数表达式要化简后才能确认为正比例函数
课堂总结
课堂总结
4.从函数关系看：
比例系数k一确定，正比例函数就确定；必须知道两个变量x、y的一对对应值即可确定k．
5.从方程角度看：
如果三个量x、y、k中已知其中两个量，则一定可以求出第三个量．
板书设计
19.2.1正比例函数第一课时
形如 y=kx(k≠0)的函数，
叫做正比例函数，
其中k叫比例系数
例1：
正比例函数的概念：
变式训练：
作业布置
1、教科书第87页练习第1 题．
2、补充题:
已知y与（x-1)成正比例，当x=4时，y=-12
（1）写出y与x之间的函数解析式
（2）当x=-2时，求函数值y
（3）当y=20时，求自变量x的值
谢谢
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人教版数学八年级下册19.2.1正比例函数第一课时教学设计
课题 19.2.1正比例函数第一课时 单元 第十九章 学科 数学 年级 八年级下
学习 目标 知识与技能1.理解正比例函数的概念；[来源:学科网ZXXK][来源:Z#xx#k.Com]2.会用待定系数法求正比例函数的解析式；3.能运用解析式已知函数和自变量的值(或取值范围)二者之一求另一者. 过程与方法经历用函数解析式表示函数关系的过程，进一步发展符号意识；经历从一类具体函数中抽象出正比例函数概念的过程，发展数学抽象概括能力． 经历用函数解析式表示函数关系的过程，培养学生建模能力；综合运用正比例函数知识解决简单实际问题，增强应用意识，提高实践能力.情感、态度与价值观让学生体验到数学与生活的紧密联系，积累数学经验．激发他们学习数学的欲望，培养他们主动参与数学学习活动的意识,渗透热爱自然和生活的教育.
重点 正比例函数的概念及其应用．
难点 正比例函数的概念．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 知识回顾：什么叫自变量？什么叫函数？ 活动一：情境创设 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318km.设列车平均速度为300km/h.考虑以下问题： （1）乘京沪高速列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需要多少小时（结果保留小数点后一位）？（2）京沪高铁列车的行程y（单位：km）与运行时间t（单位：h）之间有何数量关系？ （3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后，是否已经过了距始发站1 100 km的南京站？ 活动二：问题再现下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式： （1）圆的周长l 随半径r的变化而变化． （2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化． （3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习 本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本 的本数n的变化而变化． （4）冷冻一个0°C的物体，使它每分钟下降2°C，物体问题T（单位：°C）随冷冻时间 t（单位：min）的变化而变化．（1）以上对应关系都是函数关系吗？其变量和常量分别是什么？指出谁是自变量，谁是函数？ （2）认真观察自变量和常量运用什么运算符号连接起来的？这些常量可以取哪些值？ （3）这4个函数表达式与问题1的函数表达式 y=300t有何共同特征？请你用语言加以描述 教师出示问题，要求学生考虑问题 学生在练习本上独立完成，有困难的小组讨论、交流. 教师总结、全班讲评. 学生独立列出式子，并思考教师出示四个问题，学生自主探究，分组讨论，然后分小组代表回答问题,教师对回答的问题进行评价.
使学生认识到数学总是与现实问题密不可分的，人们的需要产生数学。 路程与速度、时间之间的关系,学生较为熟悉当速度一定时，路程是时间的函数.由这些简单的实例不断体会从现实世界中抽象出数学模型,建立数学关系的方法. 通过这些实际问题使学生逐步加深对函数概念的理解,也为导出正比例函数的概念作铺垫.
讲授新课 活动三：形成概念 1.自变量和常量是用乘法连接起来的，如果我们把这个常数记为k， 你能用函数解析式表达出来吗？ 2.对这个常数k有何要求呢？为什么？ 3.请你尝试给这类特殊函数下个定义： 4.这个函数表达式在形式上一个单项式还是多项式？你能指出它的系数是什么？次数为多少？ 活动四：辨析概念 1.下列式子，哪些表示y是x的正比例函数？如果是，请你指出正比例系数k的值． （1）y= -5x （2）y=0.3x（3）y=4x （4）y=2x （5）y=-x+3 （6）y=2(x－x )+2x 2.列式表示下列问题中y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数． （1）正方形的边长为xcm，周长为ycm. （2）某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月）的总收入 为y元． （3）一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为xcm ，体积为ycm3. 3. 下列说法正确的打“√”，错误的打“×” （1）若y=kx，则y是x的正比例函数（ ） （2）若y=2x2，则y是x的正比例函数（ ） （3）若y=2(x-1)+2，则y是x的正比例函数（ ） （4）若y=2(x-1) ，则y是x-1的正比例函数（ ） 活动五：理解概念 4.如果y=(k-1)x，是y关于x的正比例函数，则k满足______ 5.如果y=kxk-1，是y关于x的正比例函数，则k=__________. 6.如果y=3x+k-4，是y关于x的正比例函数，则k=_________. 7.若函数 是正比例函数，则m= ________ . 活动六：运用概念 例1：若y关于x成正比例函数，当x=2时，y=-6. （1）求出y与x的关系式； （2）当x=9时，求出对应的函数值y. 活动七： 变式训练 1.已知正比例函数y=kx，当x=3时，y=-15，求k的值． 2.若y关于x成正比例函数，当x=4时，y=-2. （1）求出y与x的关系式； （2）当x=6时，求出对应的函数值y. 3.有一块10公顷的成熟麦田，用一台收割速度为0.5公顷每小时 的小麦收割机来收割. （1）求收割的面积y（单位：公顷）与收割时间x（单位：时） 之间的函数关系式； （2）求收割完这块麦田需用的时间. 引导学生观察、分析上面5个函数的解析式的共性:都是常数与自变量乘积的形式.
教师口述并板书正比例函数的概念. 认真读题，理解题意，积极思考，写出答案。 通过归纳、分析,使学生明确正比例函数的特征，理解其解析式的特征. 通过活动四，活动五，加深学生对正比例函数概念的理解. 通过具体的实例问题进行分析，既能深化学生对正比例函数的理解,又能为学生运用正比例函数解决问题打下基础.
课堂小结 活动八：课堂小结 你如何理解正比例函数的意义？能从哪几个方面去认识正比例函数？ 1.从语言描述看：函数关系式是常量与自变量的乘积． 2.从外形特征看：（1）一般情况下y=kx(常数k≠0)；（2）在特定条件下自变量可能不单独是x了，要注意问题中自变量的变化. 3.从结果形式看：函数表达式要化简后才能确认为正比例函数 4.从函数关系看：比例系数k一确定，正比例函数就确定；必须知道两个变量x、y的一对对应值即可确定k． 5.从方程角度看：如果三个量x、y、k中已知其中两个量，则一定可以求出第三个量．
板书 19.2.1正比例函数第一课时 正比例函数的概念： 例1： 变式训练：形如 y=kx(k≠0)的函数， 叫做正比例函数，其中k叫比例系数作业布置：1、教科书第87页练习第1 题． 2、补充题:已知y与（x-1)成正比例，当x=4时，y=-12（1）写出y与x之间的函数解析式（2）当x=-2时，求函数值y（3）当y=20时，求自变量x的值
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