2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2模块综合检测

阶段质量检测(四)　模块综合检测
[考试时间：120分钟　试卷总分：160分]
题　号
一
二
总　分
15
16
17
18
19
20
得　分
一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)
1．(四川高考)复数＝________.
2．函数y＝的导数是________．
3．已知函数f(x)＝xex＋c有两个零点，则c的取值范围是________．
4．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a、b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为________________．
5．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)时，从“k到k＋1”左边需乘的代数式是________．
6．已知定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)＜f′(x)，且f(0)＝2，则不等式＞2的解集为________．
7．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.
8．函数y＝sin2x的图像在点A处的切线的斜率是________．
9．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 014个梯形数为a2 014 ，则a2 014 ＝________.
10．复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1(3－i)＝z2(1＋3i)，|z1|＝，则z1＝________.
11．对于等差数列{an}有如下命题：“若{an}是等差数列，a1＝0，s、t是互不相等的正整数，则有(s－1)at－(t－1)as＝0”．类比此命题，给出等比数列{bn}相应的一个正确命题是：____________________________________.
12．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值为________，极小值为________．
13．类比平面几何中的定理：△ABC中，若DE是△ABC的中位线，则有S△ADE∶S△ABC＝1∶4；若三棱锥A－BCD有中截面EFG∥平面BCD，则截得三棱锥的体积与原三棱锥体积之间的关系式为__________________________．
14.(辽宁高考)正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．
二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)设复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求.
16．(本小题满分14分)设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图像在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.
(1)求a，b，c的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．
17．(本小题满分14分)(浙江高考)已知a∈R，函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax.
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)若|a|>1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．
18．(本小题满分16分)已知数列，，…，，…，Sn为该数列的前n项和，计算得S1＝，S2＝，S3＝，S4＝.
观察上述结果，推测出Sn(n∈N*)，并用数学归纳法加以证明．
19.(本小题满分16分)(安徽高考)设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.
(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；
(2)当x∈[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．
20．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝ln x.
(1)若直线y＝x＋m与函数f(x)的图像相切，求实数m的值．
(2)证明曲线y＝f(x)与曲线y＝x－有唯一的公共点；
(3)设0＜a答 案
1．解析：＝＝(1－i)2＝－2i.
答案：－2i
2．解析：y′＝＝.
答案：y′＝
3．解析：∵f′(x)＝ex(x＋1)，∴易知f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，且f(x)min＝f(－1)＝c－e－1，
由题意得c－e－1＜0，得c＜e－1.
答案：
4．解析：“a，b中至少有一个能被5整除”的否定是“a、b都不能被5整除”．
答案：a，b都不能被5整除
5．解析：当n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(k＋k＋1)(k＋1＋k＋1)，
∴增加了＝2(2k＋1)．
答案：2(2k＋1)
6．解析：令g(x)＝，∴g′(x)＝′＝＞0，∴g(x)为增函数．
由＞2得＞，所以g(x)＞g(0)，∴x＞0.
答案：(0，＋∞)
7．解析：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R.z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
∵z1·z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.
答案：4＋2i
8．解析：y′＝(sin2x)′＝sin 2x，∴函数y＝sin2x的图像在点A处的切线的斜率k＝sin＝.
答案：
9．解析：5＝2＋3＝a1,9＝2＋3＋4＝a2,14＝2＋3＋4＋5＝a3，…，an＝2＋3＋…＋(n＋2)＝＝×(n＋1)(n＋4)，由此可得a2 014＝2＋3＋4＋…＋2 016＝×2 015×2 018＝2 015×1 009.
答案：2 015×1 009
10．解析：设z1＝a＋bi，则z2＝－a＋bi，∵z1(3－i)＝z2(1＋3i)，且|z1|＝，∴
解得或∴z1＝1－i或z1＝－1＋i.
答案：1－i或－1＋i
11．若{bn}是等比数列，b1＝1，s，t是互不相等的正整数，则有＝1
12．解析：f′(x)＝3x2－2px－q，f′(1)＝3－2p－q＝0，即2p＋q＝3. ①
因f(x)过(1,0)点，所以1－p－q＝0，即p＋q＝1.②
由①②，得p＝2，q＝－1，即f(x)＝x3－2x2＋x.f′(x)＝3x2－4x＋1.令3x2－4x＋1＝0，解得x1＝，x2＝1.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
所以当x＝时，f(x)取得极大值；当x＝1时，f(x)取得极小值0.
答案：　0
13．解析：平面几何中的面积类比空间几何体中的体积，∴VA－EFG∶VA－BCD＝1∶8.
答案：VA－EFG∶VA－BCD＝1∶8
14．解析：由几何概型的概率计算公式可知，所求概率P＝＝＝＝.
答案：
15．解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，由|z|＝1得＝1，(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝3a－4b＋(4a＋3b)i是纯虚数，
则3a－4b＝0,4a＋3b≠0，∴解得或∴＝－i或－＋i.
16．解：(1)∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，∴c＝0.则f(x)＝ax3＋bx.∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，∴a＞0，b＝－12，又直线x－6y－7＝0的斜率为，∴f′(1)＝3a＋b＝－6，解得a＝2.∴a＝2，b＝－12，c＝0.
(2)由(1)知f(x)＝2x3－12x.f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，令f′(x)＝0得，x1＝－，x2＝，列表如下：
x
(－∞，－)
－
(－，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴函数f(x)的单调增区间是(－∞，－)和(，＋∞)．∵f(－1)＝10，f()＝－8，f(3)＝18，∴f(x)1,3]上的最大值是18，最小值是－8.
17.解：(1)当a＝1时，f(x)＝2x3－6x2＋6x，则f′(x)＝6x2－12x＋6，所以f′(2)＝6.又因为f(2)＝4，所以切线方程为y＝6x－8.(2)记g(a)为f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)．
令f′(x)＝0，得到x1＝1，x2＝a.当a>1时，列表：
x
0
(0,1)
1
(1，a)
a
(a,2a)
2a
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
0
?
极大值
3a－1
?
极小值
a2(3－a)
?
4a3
比较f(0)＝0和f(a)＝a2(3－a)的大小可得g(a)＝当a<－1时，列表：
x
0
(0,1)
1
(1，－2a)
－2a
f′(x)
－
0
＋
f(x)
0
?
极小值
3a－1
?
－28a3－24a2
得g(a)＝3a－1.综上所述，f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值为g(a)＝
18．解：推测Sn＝(n∈N*)．用数学归纳法证明如下：(1)当n＝1时，S1＝＝，等式成立；(2)假设当n＝k时等式成立，即Sk＝，那么当n＝k＋1时，Sk＋1＝Sk＋＝＋＝＝＝＝＝.也就是说，当n＝k＋1时，等式成立．根据(1)和(2)，可知对一切n∈N*，等式均成立．
19．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2.
令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝，x1所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)．当xx2时，f′(x)<0；当x10.
故f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．
(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0.①当a≥4时，x2≥1.由(1)知，f(x)在[0,1]上单调递增．所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．②当020．解：(1)f′(x)＝，设切点为(x0，y0)，则k＝＝1，∴x0＝1，y0＝ln x0＝ln 1＝0，代入y＝x＋m，得m＝－1.
(2)令h(x)＝f(x)－＝ln x－x＋.则h′(x)＝－1－＝＝＜0，
∴h(x)在(0，＋∞)内单调递减．又h(1)＝ln 1－1＋1＝0，
∴x＝1是函数h(x)唯一的零点，故点(1,0)是两曲线唯一的公共点．
(3)＝＝，要比较与的大小．∵b－a＞0，∴只要比较ln 与的大小．∵ln －＝ln －，构造函数φ(x)＝ln x－，(x＞1)，则φ′(x)＝－＝，显然φ′(x)＞0，∴φ(x)在(1，＋∞)内单调递增．又当x＝1时，φ(1)＝0，∴当x＞1时，φ(x)＞0，即ln x－＞0.则有ln ＞成立，即＞成立．即得＞.∴＞.