2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2单元检测　数系的扩充与复数的引入

阶段质量检测(三)　数系的扩充与复数的引入
[考试时间：120分钟　试卷总分：160分]
题　号
一
二
总　分
15
16
17
18
19
20
得　分
一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)
1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝________.
2．(山东高考改编)若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝________.
3．若复数z满足 (3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为________．
4．已知＝1－ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m＋ni等于________．
5．定义运算＝ad－bc，则满足条件＝4＋2i的复数z为________．
6．在复平面内，复数对应的点位于第________象限．
7.＝________.
8．设a是实数，且＋是实数，则a等于________．
9．复数z满足方程＝4，那么复数z的对应点P组成图形为________．
10．已知集合M＝{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝________.
11．若复数z满足|z|－＝，则z＝________.
12．若＝3i＋4，＝－1－i，i是虚数单位，则＝________.(用复数代数形式表示)
13．复数z满足|z＋1|＋|z－1|＝2，则|z＋i＋1|的最小值是________．
14．已知关于x的方程x2＋(1＋2i)x－(3m－1)＝0有实根，则纯虚数m的值是________．
二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)计算：
(1)；(2).
16．(本小题满分14分)求实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．
17．(本小题满分14分)已知复数z满足|z|＝1＋3i－z，求的值．
18．(本小题满分16分)已知ω＝－＋i.
(1)求ω2及ω2＋ω＋1的值；
(2)若等比数列{an}的首项为a1＝1，公比q＝ω，求数列{an}的前n项和Sn.
19.(本小题满分16分)已知z＝(a∈R且a＞0)，复数ω＝z(z＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数ω的模．
20．(本小题满分16分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
答 案
1.解析：∵z1＝2＋i复平面内对应点(2,1)，又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，
则z2的对应点为(－2,1)，则z2＝－2＋i，
∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.
答案：－5
2．解析：根据已知得a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.
答案：3＋4i
3．解析：∵(3－4i)z＝|4＋3i|，
∴z＝＝＝＝＋i，
∴z的虚部是.
答案：
4．解析：＝1－ni，所以m＝(1＋n)＋(1－n)i，因为m，n∈R，
所以所以
即m＋ni＝2＋i.
答案：2＋i
5．解析：＝zi＋z，
设z＝x＋yi，
∴zi＋z＝xi－y＋x＋yi＝x－y＋(x＋y)i＝4＋2i，
∴∴
∴z＝3－i.
答案：3－i
6．解析：＝＝＝－i，
对应的点位于第四象限．
答案：四
7．解析：＝＝＝1－38i.
答案：1－38i
8．解析：∵＋＝＋＝＋i是实数，
∴＝0，即a＝1.
答案：1
9．解析：＝|z＋(1－i)|＝|z－(－1＋i)|＝4.
设－1＋i对应的点为C(－1,1)，则|PC|＝4，因此动点P的轨迹是以C(－1,1)为圆心，4为半径的圆．
答案：以(－1,1)为圆心，以4为半径的圆
10．解析：由M∩N＝{4}，知4∈M，
故zi＝4，∴z＝＝－4i.
答案：－4i
11．解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴|z|－＝－(a－bi)＝－a＋bi，
＝＝＝2＋4i，
∴解得
∴z＝3＋4i.
答案：3＋4i
12．解析：由于＝3i＋4，＝－1－i，i是虚数单位，
所以＝－＝(－1－i)－(3i＋4)＝－5－4i.
答案：－5－4i
13．解析：由|z＋1|＋|z－1|＝2，根据复数减法的几何意义可知，复数z对应的点到两点(－1,0)和(1,0)的距离和为2，说明该点在线段y＝0(x∈[－1,1])上，而|z＋i＋1|为该点到点(－1，－1)的距离，其最小值为1.
答案：1
14．解析：方程有实根，不妨设其一根为x0，设m＝ai代入方程得x＋(1＋2i)x0－(3ai－1)i＝0，
化简得，(2x0＋1)i＋x＋x0＋3a＝0，
∴解得a＝，∴m＝i.
答案：i
15．解：(1)＝＝＝2.
(2)＝
＝＝＝
＝－＋i.
16．解：由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.
(1)当k2－5k－6＝0时，z∈R，
∴k＝6或k＝－1.
(2)当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1.
(3)当时，z是纯虚数，
∴k＝4.
(4)当时，z＝0，解得k＝－1.
综上，当k＝6或k＝－1时，z∈R.
当k≠6且k≠－1时，z是虚数．
当k＝4时，z是纯虚数，当k＝－1时，z＝0.
17．解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，由|z|＝1＋3i－z，
得－1－3i＋a＋bi＝0，
则所以
所以z＝－4＋3i.
则＝＝＝3＋4i.
18．解：(1)ω2＝2＝－i－＝－－i.
ω2＋ω＋1＝＋＋1＝0.
(2)由于ω2＋ω＋1＝0，
∴ωk＋2＋ωk＋1＋ωk＝ωk(ω2＋ω＋1)＝0，k∈Z.
∴Sn＝1＋ω＋ω2＋…＋ωn－1＝
∴Sn ＝
19．解：把z＝(a＞0)代入ω中，
得ω＝
＝＋i.
由－＝，得a2＝4.
又a＞0，所以a＝2.
所以|ω|＝|＋3i|＝.
20．解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由已知条件得：a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，
所以2ab＝2.
所以a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i，所以点A(1,1)，B(0,2)，
C(1，－1)，所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1；
当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i.
所以点A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1.
即△ABC的面积为1.