江苏省溧水高级中学2018-2019学年高二下学期期中考试 数学

高二期中考试数学试卷
试卷满分:160分 考试时间:120分钟
一.填空题（每题5分，共70分）
1.设复数（为虚数单位），则复数的模为 ▲ .
2．若集合A={﹣1，0，1}，B={x|0＜x＜2}，则A∩B=　▲　．
3．某中学共有学生1800人，其中高一年级600人，高二年级550人，高三年级650人，现采用分层抽样的方法，抽取180人进行体育达标检测，则抽取的高二年级学生人数为 ▲ .
4．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天
在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校
平均开销在[40，60]元的学生人数为 ▲ ．
5．执行如图所示的伪代码，若，则输出的的值为 ▲ .
6．将一质地均匀的正四面体玩具(四个面分别写有数字1,2,3,4)先后抛掷两次，观察向下一面的数字,则两次向下数字不同的概率为 ▲ .
7．已知一个边长为2的正六边形及其外接圆.现随机地向圆内丢一粒豆子，则豆子落入正六边形内的概率为 ▲ .
8.“”是“”成立的 ▲ 条件(用“充分不必要”或
“必要不充分条件”或 “充要条件”或“既不充分也不必要条件”之一填写)
9．执行如图所示的程序框图，输出的值为 ▲ .
10.某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则
剩下个数的方差为 ▲ .
11.设曲线在点处的切线与直线平行，则实数= ▲ .
12.已知定义在R上的函数,若 ,则实数取值范围为 ▲ .
13.已知函数，当时，的取值范围
为，则实数m的取值范围是 ▲ .
14.已知椭圆的左、右焦点为、，是椭圆上异于顶点的一点，在上，且满足，，为坐标原点.则椭圆离心率的取值范围▲.
二．解答题（共六大题，满分90分）
15.(本题满分14分)某老师从参加高二年级一次考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均
为整数）分成六段，，…后画出如下部分频率分布直方
图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）该老师不小心洒了一个墨点在直方图的矩形区域内，求恰好落在第二组的小矩形内的概率（不计墨点大小）；
（3）若80分及以上为优秀，估计从高二年级优秀的学生中抽取一位学生分数不低于90分的概率．
16. (本题满分14分)已知，用数学归纳法证明能被8整除．
17. (本题满分14分)已知函数,
(1)当时，求关于的不等式的解集;(2) 试解关于的不等式:.
18. （本题满分16分）
已知椭圆：的右焦点为，过作直线（不过原点）交椭圆于两点，若的中点为，直线交椭圆的右准线于
（1）若直线垂直轴时，，求椭圆的离心率；
（2）若椭圆的离心率，当直线斜率存在时设为，直线的斜率设为，试求的值。
19.（本题满分16分）
南京市溧水区计划在无想山建一个竖直长度为20米的人工瀑布,同时在瀑布正前方修建一座观光电梯。如图所示，瀑布底部距离水平地面的高度为60米，电梯上设有一个安全拍照口，上升的最大高度为60米。设距离水平地面的高度为米，处拍瀑布的视角为。摄影爱好者发现，要使照片清晰，视角不能小于。
（1）当米时，视角恰好为，求电梯和山脚的水平距离。
（2）要使电梯拍照口的高度在米及以上时，拍出的照片均清晰，试求出电梯和山脚的水平距离的取值范围。
20. （本题满分16分）
已知函数,令，其中是函数的导函数.
(Ⅰ)当时，求的极值；
(Ⅱ)当时，若存在,使得:恒成立，求实数的取值范围.
参考答案高二期中数学 (理)
一：填空（70分）
1． 2. 3 . 55 4 . 330
5 . 6 . 7. 8. 充分不必要
9 . 10. 14 11. 12.
13. 14.
二：解答题
15．解：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：
， ………………2分
直方图如右所示； ………4分
（2）记 “墨点恰好落在第二组的小矩
形内”为事件A，洒墨点是随机的，所
以认为落入每个矩形内的机会是均等的，
于是事件A的概率等于第二个矩形面积
与所有矩形的面积之比，即
故墨点恰好落在第二组的小矩形内的概率为0.15； ………………9分
（3）由图可得，80及以上的分数所在的第五、六组，频率和为，所以其中优秀的学生有人，而不低于90分所在的为第六组，频率，则不低于90分的学生有人，在优秀的学生中抽取一位学生是等可能的，有18种可能，记“优秀的18学生中抽取一位学生分数不低于90分”为事件B，则事件B包含其中的3个基本事件，所以事件B的概率为， ………………13分
利用抽样学生的成绩，故可估计从高二年级优秀的学生中抽取一位学生分数不低于90分的概率为． …………………14分
16.证明．.
(1)当n＝1时，，显然能被8整除；……………… 2分
(2)假设n＝k(时，能被8整除，…3分
则当时，有:
因为均为奇数，它们的和必为偶数，所以能被8整除，又由假设知能被8整除，所以能被8整除，所以当时命题也成立.
综上（1）（2）可知，能被8整除. ……………14分
17.解:(1)时
,即:
令得:或 …………………2分
或 …………………5分
的解集为:……………6分
(2)
……………8分
(ⅰ)当时:
(ⅱ) 当时:
(ⅲ) 当时:
………………………………………14分
(每种情况2分)
18．解：（1），……………………………4分
由得：…………………………………………………6分
（2）得
联立得：……………8分
，…………………9分
………………………………………………………11分
直线方程为：………………………………13分
所以，即………………………………………16分
（其它解法参照给分）
19.解：（1）设，过作，垂足为。
，,…………………………………………2分
…………………………4分
解得：………………………………………………6分
解法二：用余弦定理求解给分。
（2），
……………………………8分
由题知在上恒成立…………………………………10分
在上恒成立…………………12分
解得…………………15分
答：CD的取值范围……………………………16分
解法二：利用P点轨迹方程是圆的一部分给分
20.(Ⅰ)函数定义域为：（
当时， (2分)
令解得；
当时，，当时，
所以的单调递减区间为(0,)，单调递增区间为(,+∞)（4分）
所以时取得极小值，无极大值.（6分）
(Ⅱ)
当即时，恒有成立，
所以在[1,3]上是单调递减.
所以
所以，（9分）
因为存在,使得恒成立，
所以整理得
又<0，所以（12分）
令=－，则∈(2,8)，构造函数,
所以，
当时，，当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，
所以m的取值范围为(,+∞). （16分）
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