中考数学二轮复习·专项训练
专项三 几何图形的最值问题
重 点 知 识 讲 解
类型一 线段(周长)最值问题
1．在求几何图形中的周长或线段长度最值时，解决此类问题的方法一般是先将要求的线段(要求的量)用未知数x表示出来，建立函数模型(一般所表示的式子为一次函数解析式或二次函数解析式)，常用勾股定理或三角形相似求得函数关系式，再用函数的增减性或最值来求解即可．
2．利用对称的性质求两条线段之和最小值的问题，解决此类问题的方法为：如图，要求直线l上一动点P到点A，B距离之和的最小值，先作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P点，根据对称性可知此时A′B的长即为PA＋PB的最小值，求出A′B的值即可．
经典例题1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE＋EF的最小值为 ．
【解析】如图所示，在AB上取点C′，使AC′＝AC，过点C′作C′F⊥AC.垂足为F，交AD于点E.在Rt△ABC中，依据勾股定理可知BA＝10.∵AC＝AC′，∠CAD＝∠C′AD，AE＝AE，∴△AEC≌△AEC′，∴CE＝EC′.∴CE＋EF＝C′E＋EF＝FC′，此时CE＋EF取最小值．∵C′F⊥AC，BC⊥AC，∴C′F∥BC，∴△AFC′∽△ACB．∴＝，即＝，解得FC′＝.
【答案】
类型二 面积最值问题(拓展)
经典例题2 如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A，B两点，MN是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是( )
A．2 B．4 C．4 D．8
【解析】过点O作OC⊥AB于点C，交⊙O于D，E两点，连接OA，OB，DA，DB，EA，EB，如图，∵∠AMB＝45°，∴∠AOB＝2∠AMB＝90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴AB＝OA＝2，∵S四边形MANB＝S△MAB＋S△NAB，∴当M点到AB的距离最大时，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点．此时四边形MANB面积的最大值＝S四边形DAEB＝S△DAB＋S△EAB＝AB·CD＋AB·CE＝AB(CD＋CE)＝AB·DE＝×2×4＝4.
【答案】 C
备 考 演 练
1. 在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2＋PG2的最小值为( )
A． B． C．34 D．10
2. 如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE＋PM的最小值是( )
A．6 B．3 C．2 D．4.5
3. 如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠D＝120°，E是对角线AC上的任意一点，则BE＋CE的最小值为( )
A． B．2 C.＋1 D.＋1
4. 如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP＝，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是( )
A． B． C．6 D．3
5. 如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ的最小值为( )
A. 2 B. 2 C. 3－1 D. 3
6. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有?ADCE中，DE的最小值是( )
A. 3 B. 2 C. 4 D. 5
7. 如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D并交EC的延长线于点F.则线段EF的最小值为( )
A. 4 B. 2 C. 12 D. 2
8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP＋EP最小值的是( )
A. BC B. CE C. AD D. AC
9. 如图，A，B是半圆O上的两点，MN是直径，OB⊥MN.若AB＝4，OB＝5，P是MN上的一动点，则PA＋PB的最小值为( )
A. B. 10 C. 2 D. 无法确定
10. 如图所示，正方形ABCD的面积为18，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为( )
A. 3 B. 9 C. 6 D. 3
11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
12. 如图，在边长为2的正三角形ABC中，E，F，G分别为AB，AC，BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP，GP，则△BPG周长的最小值是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 4
13. 如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是( )
A． B． C． D．
14. 如图，在半圆O中，AB是直径，CD是一条弦．若AB＝10，则△COD面积的最大值是( )
A. 12.5 B. 5 C. 10 D. 无法确定
15. 如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧．若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是( )
A. 2 B. 4 C. 2 D. 4
16. 如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，E，F分别是BC，DC上的点，∠EAF＝60°，连接EF，则△AEF的面积最小值是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D.
17. 如图，点E为边长为4的等边△ABC的BC边上一动点(点E不与B，C重合)，以AE为边作等边△AEF，则△AEF面积的最小值是( )
A. 2 B. 4 C. D. 3
18. 如图，正方形ABCD的边长为1，点M，N分别在BC，CD上，且△CMN的周长为2，则△MAN面积的最小值为( )
A. －1 B. 2－2 C. 2 D. 2－1
19. 如图，⊙O的半径为5，△ABC为⊙O的内接三角形，且AC＝BC，AB＝8，点P在劣弧BC上运动(不与点C，B重合)，连接PB并延长，在PB的延长线上取一点E，使得∠PAE＝∠CAB，则S△APE最大值是( )
A. 20 B. 40 C. 20 D. 10
20. 如图，正方形ABCD的长为8cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH，则四边形EFGH面积的最小值是 cm2.
21. 如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，点F在边BC上，且BF＝3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为 ．
22. 如图，在?ABCD中，AD＝7，AB＝2，∠B＝60°.E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为 ．
23. 如图，在△APB中，AB＝2，∠APB＝90°，在AB的同侧作等边三角形ABD、等边三角形APE和等边三角形BPC，则四边形PCDE面积的最大值是 ．
参考答案
备考演练
1. D 【解析】 设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．∵DE＝4，四边形DEFG为矩形，∴GF＝DE，MN＝EF，∴MP＝FN＝DE＝2，∴NP＝MN－MP＝EF－MP＝1，∴PF2＋PG2＝2PN2＋2FN2＝2×12＋2×22＝10.故选D.
2. C 【解析】 作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，则点P，M即可使PE＋PM取得最小值，其PE＋PM＝PE′＋PM＝E′M，∵四边形ABCD是菱形，∴点E′在CD上，∵AC＝6，BD＝6，∴AB＝＝3，由S菱形ABCD＝AC·BD＝AB·E′M得×6×6＝3·E′M，解得E′M＝2，即PE＋PM的最小值是2，故选C.
3. A 【解析】 过点B作BF⊥DC，垂足为F，BF交AC与点E.∵菱形ABCD中，AB＝2，∠D＝120°，∴BC＝2，∠FBC＝30°，∠DCA＝30°.∴EF＝EC.∴BF＝BE＋EF＝BE＋EC.由垂线段最短可知：当BF⊥DC时，FB有最小值，即BE＋EC有最小值．∴BE＋EC的最小值＝BF＝BC＝×2＝.故选A．
4. D 【解析】 作P点分别关于OA，OB的对称点C，D，连接CD分别交OA，OB于M，N，如图，则MP＝MC，NP＝ND，OP＝OD＝OC＝，∠BOP＝∠BOD，∠AOP＝AOC，∴PN＋PM＋MN＝ND＋MN＋MC＝DC，∠COD＝∠BOP＋∠BOD＋∠AOP＋∠AOC＝2∠AOB＝120°.∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于点H，则CH＝DH，∵∠OCH＝30°，∴OH＝OC＝，CH＝OH＝，∴CD＝2CH＝3.故选D.
5. A 【解析】连接OP，OQ.∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理可知PQ2＝OP2－OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，∴AB＝OA＝6，∴OP＝＝3，∴PQ＝＝2.
6. A 【解析】∵在Rt△ABC中，∠B＝90°， ∴BC⊥AB. ∵四边形ADCE是平行四边形， ∴OD＝OE，OA＝OC. ∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC. ∴OD∥AB. 又∵点O是AC的中点， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD＝AB＝1.5， ∴ED＝2OD＝3.
7. A 【解析】∵点E与点D关于AC对称，∴∠E＝∠CDE，又∵DF⊥DE，∴∠E＋∠F＝90°，∠CDE＋∠CDF＝90°， ∴∠F＝∠CDF， ∴CD＝CF＝CE， ∴EF＝2CD，当CD最小时，EF最小，这时CD⊥AB， ∵AB＝8， ∠CBA＝30°，∴AC＝4，BC＝4，用面积法得CD＝＝＝2，∴EF的最小值为EF＝2CD＝4.
8. B 【解析】连接PC，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴PB＝PC，∴PB＋PE＝PC＋PE，∵PE＋PC≥CE，∴P，C，E共线时，PB＋PE的值最小，最小值为CE的长度．
9. C 【解析】如图，将⊙O补全，延长BO交⊙O于点C，连接AC交MO于点P，连接BP，∵BC⊥MN，∴BP＝CP，∴BP＋AP＝AC，根据两点之间线段最短可知所作点P即为所求．∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝10，∴AC＝＝＝＝2.
10. D 【解析】设BE与AC交于点P′，连接BD，P′D. ∵点B与D关于AC对称，∴P′D＝P′B，∴P′D＋P′E＝P′B＋P′E＝BE最小．∵正方形ABCD的面积为18，∴AB＝3.又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝3.故所求最小值为3.
11. B 【解析】∵在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，∴AB＝4，根据旋转的性质，得A′B′＝4，连接CP，∵P是A′B′的中点，∴CP＝2，又∵M是BC的中点，∴CM＝1，由三角形的三边关系，得CM＋CP＞PM，∴当M、C、P三点共线时，PM最大，此时，PM＝MC＋CP＝1＋2＝3.
12. A 【解析】要使△PBG的周长最小，而BG＝1一定，所以只要使BP＋PG最短即可，连接AG交EF于M， ∵等边△ABC，E，F，G分别为AB，AC，BC的中点， ∴AG⊥BC，EF∥BC， ∴AG⊥EF，AM＝MG， ∴A，G关于EF对称， 即当P和E重合时，此时BP＋PG最小，即△PBG的周长最小， AP＝PG，BP＝BE， 最小值是PB＋PG＋BG＝AE＋BE＋BG＝AB＋BG＝2＋1＝3.
13. D 【解析】 连OA，OB，作△ABC的外接圆D，如图1，∵OA＝OB＝1，AB＝1，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵AC⊥AP，∴∠C＝60°，∵AB＝1，要使△ABC的面积最大，则点C到AB的距离最大，∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，∴∠ADB＝120°.如图2，当点C为优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝，∴△ABC的最大面积为.故选D.
14. A 【解析】假设C，D是⊙O上的两个动点，△COD的面积等于OC与它上的高的乘积的一半，又因为OC等于半径，始终不变，因此只需△COD中OC边上的高最大，即OD⊥OC时，△COD的面积最大，即S△COD＝×5×5＝12.5.
15. D 【解析】连接OA，OB，MN，∵∠AMB＝45°，∴∠AOB＝90°，∴△AOB为直角三角形，∵⊙O的半径是2，∴AB＝＝2，∵S四边形MANB＝S△AMB＋S△ANB，∴要使四边形MANB面积最大，则需两个三角形的高的和最大．当MN为直径时，高最大，由垂径定理可知MN⊥AB时，四边形MANB面积有最大值，∴S四边形MANB的最大值＝·AB·MN＝×2×4＝4.
16. B 【解析】当AE⊥BC时， ∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝60°，∴∠B＝∠ACF＝60°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EAD＝∠EAF＋∠FAD＝60°＋∠FAD，∠AFC＝∠D＋∠FAD＝60°＋∠FAD，∴∠AEB＝∠AFC，在△ABE和△ACF中，∠B＝∠ACF，∠AEB＝∠AFC，AB＝AC，∴△ABE≌△ACF(AAS)，∴AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∵当AE⊥BC时，AB＝4，∴AE＝2，∴△AEF的面积最小值＝×××2＝3.
17. D 【解析】当AE⊥BC时，AE最短，△AEF面积最小；∵△ABC是等边三角形，AE⊥BC，AB＝4，∴∠B＝60°，AE＝AB·sin60°＝4×＝2，∴S△ABC＝×4×2＝4，∵△AEF是等边三角形，∴△AEF∽△ABC，∴＝()2＝()2＝，即＝，∴S△AEF＝3；即△AEF的最小值为3.
18. A 【解析】如图，延长CB至L，使BL＝DN，则Rt△ABL≌Rt△ADN，故AL＝AN，∴△AMN≌△AML，∴∠MAN＝∠MAL＝45°，设CM＝x，CN＝y，MN＝z，x2＋y2＝z2，∵x＋y＋z＝2，则x＝2－y－z，∴(2－y－z)2＋y2＝z2，整理得2y2＋(2z－4)y＋(4－4z)＝0，∴Δ＝4(z－2)2－32(1－z)≥0，即(z＋2＋2)·(z＋2－2)≥0，又∵z＞0，∴z≥2－2，当且仅当x＝y＝2－时等号成立，此时S△AMN＝S△AML＝ML·AB＝z，因此，当z＝2－2，x＝y＝2－时，S△AMN取最小值为－1.
19. B 【解析】∵∠C＝∠P，∠PAE＝∠CAB，∴∠E＝∠ABC，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠ABC，∴∠PAE＝∠E，∴PE＝AP，要使△APE面积最大，则PE与PE边上的高最大即可，当AP为直径时PE＝AP最大，且PE边上的高最大，最大值为AB.∵AP为⊙O的直径，⊙O的半径为5，∴AB⊥PE，AP＝10，∴S△APE最大＝·AB·PE＝×8×10＝40.
20. 32 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，∵AE＝BF＝CG＝DH.∴AH＝BE＝CF＝DG，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，∴四边形EFGH是菱形，∵∠BEF＋∠BFE＝90°，∴∠BEF＋∠AEH＝90°，∴∠HEF＝90°，∴四边形EFGH是正方形．设四边形EFGH面积为S，BE＝xcm，则BF＝(8－x)cm，根据勾股定理得EF2＝BE2＋BF2＝x2＋(8－x)2，∴S＝x2＋(8－x)2＝2(x－4)2＋32，当x＝4时．S取最小值32，∴四边形EFGH面积的最小值为32cm2.
21. 18 【解析】作AH⊥BC于H，连接AD.∵EG垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴DF＋DC＝AD＋DF，∴当A，D，F共线时，DF＋DC的值最小，最小值就是线段AF的长，∵·BC·AH＝120，∴AH＝12，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝10，∵BF＝3FC，∴CF＝FH＝5，∴AF＝＝＝13，∴DF＋DC的最小值为13.∴△CDF周长的最小值为13＋5＝18.
22. 20 【解析】 当AE⊥BC时，四边形 AEFD的周长最小，∵AE⊥BC，∴AB＝2，∠B＝60°.∴AE＝3，BE＝，∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，∴EF＝BC＝AD＝7，∴四边形AEFD周长的最小值为14＋6＝20.
23. 2 【解析】 ∵△ABD，△APE和△BPC都是等边三角形，∴AP＝PE＝AE，PB＝PC＝BC，AB＝AD＝BD，∠EAP＝∠DAB＝60°，∴∠EAD＝∠PAB．又∵AP＝AE，AD＝AB，∴△EAD≌△PAB，∴ED＝PB．又∵PB＝PC，∴ED＝PC，同理EP＝DC，∴四边形PCDE是平行四边形．延长EP交
