中考数学二轮复习·专项训练
专项四 规律与猜想问题
重 点 知 识 讲 解
类型一 数式的规律
通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律．一般思路是先写出数式的基本结构，然后通过横比(比较同一等式中不同部分的关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征，改写成要求的格式．
经典例题1 如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是( )
A．2 B． C．5 D.
【解析】 由图形可知，第n行最后一个数为＝，∴第8行最后一个数为＝＝6，则第9行从左至右第5个数是＝，故选B．
【答案】 B
类型二 点坐标规律
点坐标变化探究题有两种考查形式：一种是点坐标变换在同一象限的递推变化；另一种是点坐标变换在坐标轴上或象限内循环递推变化，解决这类问题的方法如下：
(1)根据图形中点坐标的变换特点判断出属于哪一类；
(2)根据图形的变换规律分别求出第1个点、第2个点、第3个点、第4个点…的坐标，归纳出后一个点与前一个点坐标之间存在倍分等关系．
经典例题2 如图，正方形AOBO2的顶点A的坐标为A(0，2)，O1为正方形AOBO2的中心；以正方形AOBO2的对角线AB为边，在AB的右侧作正方形ABO3A1，O2为正方形ABO3A1的中心；再以正方形ABO3A1的对角线A1B为边，在A1B的右侧作正方形A1BB1O4，O3为正方形A1BB1O4的中心；再以正方形A1BB1O4的对角线A1B1为边，在A1B1的右侧作正方形A1B1O5A2，O4为正方形A1B1O5A2的中心；…；按照此规律继续下去，则点O2018的坐标为 ．
【解析】 由题意O1(1，1)，O2(2，2)，O3(4，2)，O4(6，4)，O5(10，4)，O6(14，8)…观察可知，下标为偶数的点的纵坐标为，下标为偶数的点在直线y＝x＋1上，∵点O2018的纵坐标为21009，∴21009＝x＋1，∴x＝21010－2，∴点O2018的坐标为(21010－2，21009)．
【答案】 (21010－2，21009)．
类型三 图形中的规律探究
图形规律问题主要是观察图形的组成、拆分等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的式子描述图形的变化所反映的规律．
经典例题3 某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品，将这些作品排成一个矩形(作品不完全重合)．现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉(例如，用9枚图钉将4张作品钉在墙上，如图)．若有34枚图钉可供选用，则最多可以展示绘画作品( )
A．16张 B．18张 C．20张 D．21张
【解析】 ①如果所有的画展示成一行，34÷(1＋1)－1＝16(张)，∴34枚图钉最多可以展示16张画；②如果所有的画展示成两行，34÷(2＋1)＝11……1(枚)，11－1＝10(张)，2×10＝20(张)，∴34枚图钉最多可以展示20张画；③如果所有的画展示成三行，34÷(3＋1)＝8……2(枚)，8－1＝7(张)，3×7＝21(张)，∴34枚图钉最多可以展示21张画；④如果所有的画展示成
四行，34÷(4＋1)＝6……4(枚)，6－1＝5(张)，4×5＝20(张)，∴34枚图钉最多可以展示20张画；⑤如果所有的画展示成五行，34÷(5＋1)＝5……4(枚)，5－1＝4(张)，5×4＝20(张)，∴34枚图钉最多可以展示20张画．综上所述：34枚图钉最多可以展示21张画.
【答案】 D
备 考 演 练
1. 一列自然数0，1，2，3，…，100.依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数，则下列结论正确的是( )
A．原数与对应新数的差不可能等于零
B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大
C．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30
D．当原数取50时，原数与对应新数的差最大
2. 按一定规律排列的一列数依次为2，3，10，15，26，35，…，按此规律排列下去，则这列数中的第100个数是( )
A．9999 B．10000 C．10001 D．10002
3. 1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则a，b，c的值分别为( )
A．a＝1，b＝6，c＝15 B．a＝6，b＝15，c＝20
C．a＝15，b＝20，c＝15 D．a＝20，b＝15，c＝6
4. 将全体正奇数排成一个三角形数阵：
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
21 23 25 27 29
…
按照以上排列的规律，第25行第20个数是( )
A．639 B．637 C．635 D．633
5. 在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m.其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An，则△OA2A2018的面积是( )
A．504m2 B．m2 C.m2 D．1009m2
6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，Rt△OA4C4…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1＝∠A2OC2＝∠A3OC3＝∠A4OC4…＝30°.若点A1的坐标为(3，0)，OA1＝OC2，OA2＝OC3，OA3＝OC4…，则依此规律，点A2018的纵坐标为( )
A．0 B．－3×()2017 C．(2)2018 D．3×()2017
7. 如图在平面直角坐标系中，若干个半径为2个单位长度，圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，点在直线上的速度为每秒2个单位长度，点在弧线上的速度为每秒个单位长度，则2018秒时，点P的坐标是( )
A．(2017，0) B．(2017，)
C．(2018，0) D．(2019，－)
8. 把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为( )
A．12 B．14 C．16 D．18
9. 下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为( )
A．11 B．13 C．15 D．17
10. 已知a＞0，S1＝，S2＝－S1－1，S3＝，S4＝－S3－1，S5＝，…(即当n为大于1的奇数时，Sn＝；当n为大于1的偶数时，Sn＝－Sn－1－1)，按此规律，S2018＝ ．
11. 按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，，，，…，则这个数列前2018个数的和为 ．
12. 将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是 ．
13. 观察“田”字中各数之间的关系：
则c的值为 ．
14. 将一些圆按照如图方式摆放，从上向下有无数行，其中第一行有2个圆，第二行有4个圆，第三行有6个圆…按此规律排列下去，则前50行共有圆 个．
15. 如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第n个图案中白正方形比黑色正方形多 个．(用含n的代数式表示)
16. 如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有 个，第n幅图中共有 个．
17. 观察下列图形：
它们是按一定的规律排列，依照此规律第n个图形共有 个．
18. 如图，是用三角形摆成的图案，摆第一层图需要1个三角形，摆第二层图案需要3个三角形，摆第三层图需要7个三角形，摆第四层图案需要13个三角形，摆第五层图需要21个三角形，…，摆第n层图需要 个三角形．
19. 在平面直角坐标系中，点A(， 1)在射线OM上，点B(，3)在射线ON上，以AB为直角边作Rt△ABA1，以BA1为直角边作第二个Rt△BA1B1，以A1B1为直角边作第三个Rt△A1B1A2，…，依此规律，得到Rt△B2017A2018B2018，则点B2018的纵坐标为 ．
20. 如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝30°，点A坐标为(2，0)，过A作AA1⊥OB，垂足为点A1；过点A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2；再过点A2作A2A3⊥OB，垂足为点A3；再过点A3作A3A4⊥x轴，垂足为点A4…；这样一直作下去，则A2018的纵坐标为 ．
21. (1)根据下列算式的规律填空：
－＝，
－＝，
－＝，
－＝ ，
第n个算式为 ；
(2)利用上述规律计算：＋＋…＋＝ ．
22. 观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
(1)认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式．
①1＝1 ②1＋2＝＝3 ③1＋2＋3＝＝6 ④ …
(2)结合(1)观察下列点阵图，并在⑤后面的横线上写出相应的等式．
①1＝12 ②1＋3＝22 ③3＋6＝32 ④6＋10＝42 ⑤ /
(3)通过猜想，写出(2)中与第n个点阵相对应的等式 ．
23. 观察下列等式：
①1＋2＝3；
②4＋5＋6＝7＋8；
③9＋10＋11＋12＝13＋14＋15；
④16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24；
…
(1)试写出第五个等式．
(2)根据你的发现，试说明145是第几行的第几个数？
参考答案
备考演练
1. D 【解析】设原数为x，则新数为x2，设新数与原数的差为y，则y＝x－x2＝－x2＋x，易得，当x＝0时，y＝0时，故A错误；∵－＜0，∴当x＝－＝－＝50时，y有最大值，故B错误，D正确；当y＝21时，－x2＋x＝21，解得x1＝30，x2＝70，故C错误．故选D.
2. A 【解析】∵第奇数个数2＝12＋1，10＝32＋1，26＝52＋1，…，第偶数个数3＝22－1，15＝42－1，35＝62－1，…，∴第100个数是1002－1＝9999，故选A．
3. B 【解析】 根据图形得，每个数字等于上一行的左右两个数字之和，∴a＝1＋5＝6，b＝5＋10＝15，c＝10＋10＝20，故选B．
4. A 【解析】 根据三角数阵可知，第n行奇数的个数为n个，则前n－1行奇数有总个数为1＋2＋3＋…＋(n－1)＝个，则第n行(n≥3)从左向右的第m数为第＋m奇数，即1＋2[＋m－1]＝n2－n＋2m－1.n＝25，m＝20，这个数为639，故选A．
5. A 【解析】 由题意知OA4n＝2n，∵2018÷4＝504……2，∴OA2017＝＋1＝1009，∴A2A2018＝1009－1＝1008，则△OA2A2018的面积是×1×1008＝504m2，故选A．
6. D 【解析】 ∵∠A2OC2＝30°，OA1＝OC2＝3，∴OA2＝OC2＝3×；OA3＝OC3＝3×()2；OA4＝OC4＝3×()3，∴OA2018＝3×()2017，∵点A2018与A2位置相同，在y轴的正半轴上，∴点A2018(0，3×()2017)，故选D.
7. C 【解析】 设第n秒运动到Pn(n为自然数)点，观察题图，发现规律：P1(1，)，P2(2，0)，P3(3，－)，P4(4，0)，P5(5，)，…，∴P4n＋1(4n＋1，)，P4n＋2(4n＋2，0)，P4n＋3(4n＋3，－)，P4n＋4(4n＋4，0)．∵2018＝4×504＋2，∴P2018为(2018，0)，故选C.
8. C 【解析】 ∵第①个图案中三角形个数4＝2＋2×1，第②个图案中三角形个数6＝2＋2×2，第③个图案中三角形个数8＝2＋2×3，…∴第⑦个图案中三角形的个数为2＋2×7＝16.故选C.
9. B 【解析】 观察图形知：第一个图形有3＝3＋2×(1－1)个正方形，第二个图形有5＝3＋2×(2－1)个，第三个图形有7＝3＋2×(3－1)个，…故第⑥个图形有3＋2×(6－1)＝13(个)．故选B．
10. － 【解析】 S1＝，S2＝－S1－1＝－－1＝－，S3＝＝－，S4＝－S3－1＝－1＝－，S5＝＝－(a＋1)，S6＝－S5－1＝(a＋1)－1＝a，S7＝＝，…，∴Sn的值每6个一循环．∵2018＝336×6＋2，∴S2018＝S2＝－.
11. 【解析】 由数列知第n个数为，则前2018个数的和为＋＋＋＋…＋＝＋＋＋＋…＋＝1－＋－＋－＋－＋…＋－＝1－＝.
12. 2018 【解析】 观察图表可知：第n行第一个数是n2，∴第45行第一个数是2025，∴第45行、第8个列的数是2025－7＝2018.
13. 270或28＋14 【解析】 经过观察每个“田”左上角数字依此是1，3，5，7等奇数，此位置数为15时，恰好是第8个奇数，即此“田”字为第8个，观察每个“田”字左下角数据，可以发现，规律是2，22，23，24等，则第8数为28，观察左下和右上角，每个“田”字的右上角数字依次比左下角大0，2，4，6等，到第8个图多14，则c＝28＋14＝270.
14. 2550 【解析】 ∵第一行有2个圆，第二行有4个圆，第三行有6个圆，…∴第n行有2n个圆，∴前50行共有圆：2＋4＋6＋8＋…＋2×50＝2＋4＋6＋8＋…＋100＝2550个．
15. 4n＋3 【解析】 第1个图形黑、白两色正方形共3×3个，其中黑色1个，白色3×3－1个；第2个图形黑、白两色正方形共3×5个，其中黑色2个，白色3×5－2个；第3个图形黑、白两色正方形共3×7个，其中黑色3个，白色3×7－3个，依此类推，第n个图形黑、白两色正方形共3×(2n＋1)个，其中黑色n个，白色3×(2n＋1)－n个，即：白色正方形5n＋3个，黑色正方形n个，故第n个图案中白色正方形比黑色正方形多4n＋3个．
16. 7 2n－1 【解析】 根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2－1＝3个．第3幅图中有2×3－1＝5个．第4幅图中有2×4－1＝7个．…可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有(2n－1)个．
17. 3n＋1 【解析】 根据规律可知：第一个图形中有1＋1×3＝3个☆，第二个图形中有1＋2×3＝7个☆，第三个图形中有1＋3×3＝10个☆，…第n个图形共有1＋3n个☆.
18. n2－n＋1 【解析】 观察可得，第一层三角形的个数为1，第二层三角形的个数为22－2＋1＝3，第三层三角形的个数为32－3＋1＝7，第四层图需要42－4＋1＝13个三角形，摆第五层图需要52－5＋1＝21.依此可知，摆第n层图需要n2－n＋1个三角形．
19. 32019 【解析】 由已知可知点A，A1，A2，A3，…，A2018各点在正比例函数y＝x的图象上，点B，B1，B2，B3，…，B2018各点在正比例函数y＝x的图象上，两个函数相减得到横坐标不变的情况下两个函数图象上点的纵坐标的差为x ①，由已知，Rt△A1B1A2，…，到Rt△B2017A2018B2018都有一个锐角为30°.∴当A(B)点横坐标为时，由①AB＝2，则BA1＝2，则点A1横坐标为＋2＝3，B1点纵坐标为9＝32.当A1(B1)点横坐标为3时，由①A1B1＝6，则B1A2＝6，则点A2横坐标为3＋6＝9，B2点纵标为27＝33.当A2(B2)点横坐标为9时，由①A2B2＝18，则B2A3＝18，则点A3横坐标为9＋18＝27，B3点纵坐标为81＝34.依此类推，点B2018的纵坐标为32019.
20. 0 【解析】 由题图可知：A2，A4均位于x轴上，依据规律可知A2018也位于x轴上，所以A2018的纵坐标为0.
21. 解：(1) (2)
【解析】 (1)∵第1个算式为－＝＝，第2个算式为－＝＝，第3个算式为－＝＝，∴第4个算式为－＝＝，…∴第n个算式为－＝.
(2)由(1)可知－＝，∴＝－.∴＋＋…＋＝(＋＋…＋)＝(－＋－＋…＋－)＝(－)＝.
22. 解：(1)1＋2＋3＋4＝＝10 (2)10＋15＝52 (3)＋＝n2
23. 解：(1)根据题意知，第五个等式为25＋26＋27＋28＋29＋30＝31＋32＋33＋34＋35.
(2)根据已知等式知第n行的第1个数为n2，∵122＝144，∴145是第12行的第2个数．
