备考2019中考数学高频考点剖析
专题十六 平面几何之三角形边角问题
考点扫描☆聚焦中考
三角形边角问题，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括三角形三边关系、三角形中的中点线段、三角形内角和和三角形外角性质等四方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要以涉及到三角形内角和计算为主。结合近几年全国各地中考的实例及其2019年名校中考模拟试题，我们从四方面进行三角形边角问题的探讨：
（1）三角形三边关系；
（2）三角形中点线段；
（3）三角形内角和．
（4）三角形外角性质．
考点剖析☆典型例题
例1已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．8 D．11
例2如图，AA′，BB′分别是∠EAB，∠DBC的平分线．若AA′=BB′=AB，则∠BAE的度数为（ ）
A．150° B．168° C．135° D．160°
例3如图，在四边形纸片ABCD中，∠B＝120°，∠D＝50°，现将其右下角向内折出三角形PC′R，使C′P∥AB，RC′∥AD，则∠C的度数是(??? )
A.?90°? B.?95°?????C.?100°????? D.?105°
例4（2018?湖北黄冈?3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为
A.50° B.70° C.75° D.80°
（第4题图）
【点评】本题考查了垂直平分线的性质，三角形的内角和定理。熟练掌握性质和定理是解题的关键。
例5如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠BDC＝135°，过点D作DE∥AC交BC于点E，则DE＝ ．
考点过关☆专项突破
类型一 三角形重点线段与角的计算
1. （2018?福建）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（ ）
A．1，1，2 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，3，5
2. (2018四川省眉山市2分 ) 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（??? ）。
A.45° B.60° C.75° D.85°
3.如图，在证明“△ABC内角和等于180°”时，延长BC至D，过点C作CE∥AB，得到∠ABC=∠ECD，∠BAC=∠ACE，由于∠BCD=180°，可得到∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，这个证明方法体现的数学思想是（?? ）
A、数形结合 B、特殊到一般 C、一般到特殊 D、转化
4. （2018?湖北黄石?3分）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
5. （2018年江苏省泰州市?3分）已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为 ．
6.（2017江苏徐州）△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，DE=7，则BC= ．
7. 如图，在△BCD中，BC=4，BD=5，
（1）求CD的取值范围；
（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数．
8．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
9.（2018?山东淄博?5分）已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
10. 已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．
11. 如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°，求∠C的度数．
类型二 三角形外角性质
1.将一副直角三角尺如图所示放置，使含30°角的三角尺的一条直角边和含45°角的三角尺的一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为(??? )
A.?75°????B.?65°?????C.?45°??????D.?30°
2. 如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1=40°，∠2=30°，则∠3的度数是(?? )
A.?50°????????B.?55°???????C.?60°???????D.?70°
3. 如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分∠ACD，F为CA延长线上的一点，FG∥CE，交AB于点G，若∠1=70°，∠2=30°，则∠3=（?? ）
A.?30°??????B.?40°??????C.?45°????D.?70°
4. 如图，AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝30°，则∠AEC的度数为(??? )
A.?20°????? B.?50°????? C.?80°?????? D.?100°
5. 如图，∠1=________．
6. 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为________．
7. 一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A．108° B．90° C．72° D．60°
8.如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
9. （2018·云南省昆明·4分）在△AOC中，OB交AC于点D，量角器的摆放如图所示，则∠CDO的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．120°
10. （2018·浙江省台州·4分）如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（ ）
A．△ADF≌△CGE B．△B′FG的周长是一个定值
C．四边形FOEC的面积是一个定值 D．四边形OGB'F的面积是一个定值
11. 如图，在△ABC中，∠A=50°，O是△ABC内一点，且∠ABO=20°，∠ACO=30°，求∠BOC的度数．
备考2019中考数学高频考点剖析
专题十六 平面几何之三角形边角问题
考点扫描☆聚焦中考
三角形边角问题，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括三角形三边关系、三角形中的中点线段、三角形内角和和三角形外角性质等四方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要以涉及到三角形内角和计算为主。结合近几年全国各地中考的实例及其2019年名校中考模拟试题，我们从四方面进行三角形边角问题的探讨：
（1）三角形三边关系；
（2）三角形中点线段；
（3）三角形内角和．
（4）三角形外角性质．
考点剖析☆典型例题
例1已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．8 D．11
【分析】根据三角形的三边关系可得7﹣3＜x＜7+3，再解即可．
【解答】解：设三角形第三边的长为x，由题意得：7﹣3＜x＜7+3，
4＜x＜10，
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．
例2如图，AA′，BB′分别是∠EAB，∠DBC的平分线．若AA′=BB′=AB，则∠BAE的度数为（ ）
A．150° B．168° C．135° D．160°
【考点】三角形的外角性质；三角形的角平分线、中线和高．
【分析】从已知条件结合图形，根据等腰三角形的外角和内角的关系以及三角形内角和定理求解．
【解答】解：设∠BAC=x，
∵BB′=AB，
∴∠B′BD=2∠BAC=2x，
又∵BB′是∠DBC的平分线，
∴∠DBC=2∠B′BD=4x，
∵AA′=AB，
∴∠A′=∠A′BA=∠DBC=4x，
∵AA′是∠EAB的平分线，
∴∠A′AB=，
在△AA′B中，根据内角和定理：4x+4x+=180°，解得x=12°，即∠BAC=12°．
∴∠BAE=180°﹣12°=168°．
故选B．
例3如图，在四边形纸片ABCD中，∠B＝120°，∠D＝50°，现将其右下角向内折出三角形PC′R，使C′P∥AB，RC′∥AD，则∠C的度数是(??? )
A.?90°?????B.?95°??? ??C.?100°? ???D.?105°
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理，翻折变换（折叠问题）
【分析】根据二直线平行同位角相等得出∠C′PC＝∠B＝120°，∠C′RC＝∠D＝50°.根据折叠的性质得出∠CPR＝∠C′PC＝60°，∠CRP＝∠C′RC＝25°.然后根据三角形的内角和即可算出∠C的度数。
【解析】【解答】∵C′P∥AB，
∴∠C′PC＝∠B＝120°.
∵RC′∥AD，
∴∠C′RC＝∠D＝50°.
∵三角形PC′R是由三角形PCR沿PR折叠得到的，
∴∠CPR＝∠C′PC＝60°，
∠CRP＝∠C′RC＝25°.
∵∠CRP＋∠CPR＋∠C＝180°，
∴∠C＝180°－∠CPR－∠CRP＝95°.
故答案为：B
例4（2018?湖北黄冈?3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为
A.50° B.70° C.75° D.80°
（第4题图）
【考点】垂直平分线的性质，三角形的内角和定理。
【分析】由三角形的内角和定理，得∠BAC的度数，又由垂直平分线的性质，知∠C＝∠DAC=25°，从而得出∠BAD的度数。
【解答】解：由三角形的内角和定理，得∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-25°=95°。
又由垂直平分线的性质，知∠C＝∠DAC=25°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+∠C=∠BAD+25°=9
∴∠BAD=95°-25°=70°.
故选B.
【点评】本题考查了垂直平分线的性质，三角形的内角和定理。熟练掌握性质和定理是解题的关键。
例5如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠BDC＝135°，过点D作DE∥AC交BC于点E，则DE＝ ．
【分析】根据三角形的内角和和角平分线的定义得到∠A＝90°，过D作DF⊥BC于F，DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，推出四边形AHDG是正方形，连接AD，根据三角形的面积列方程得到DF＝2，得到CH＝4，根据勾股定理得到CD＝＝2，CF＝＝4，根据等腰三角形的性质得到CE＝DE，设CE＝DE＝x，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：∵∠BDC＝135°，
∴∠DCB+∠DBC＝45°，
∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ACB+∠ABC＝2∠DCB+2∠DBC＝90°，
∴∠A＝90°，
∵AB＝8，BC＝10，
∴AC＝＝6，
过D作DF⊥BC于F，DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，
∴DH＝DF＝DG，
∴四边形AHDG是正方形，
连接AD，
∵S△ABC＝S△ADC+S△BCD+S△ABD＝（AC+BC+AB）?DF＝AC?AB，
∴DF＝2，
∴AH＝AG＝2，
∴CH＝4，
∴CD＝＝2，
∴CF＝＝4，
∵DE∥AC，
∴∠ACD＝∠CDE，
∴∠DCE＝∠CDE，
∴CE＝DE，
设CE＝DE＝x，
∴EF＝4﹣x，
∵DE2＝EF2+DF2，
∴x2＝（4﹣x）2+22，
解得：x＝，
∴DE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了角平分线的性质，勾股定理等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
考点过关☆专项突破
类型一 三角形重点线段与角的计算
1. （2018?福建）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（ ）
A．1，1，2 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，3，5
【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：A、1+1=2，不满足三边关系，故错误；
B、1+2＜4，不满足三边关系，故错误；
C、2+3＞4，满足三边关系，故正确；
D、2+3=5，不满足三边关系，故错误．
故选：C．
2. (2018四川省眉山市2分 ) 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（??? ）。
A.45° B.60° C.75° D.85°
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质 [来%^~&源#:中教网]
【分析】根据三角形内角和得∠ABC=45°，由对顶角相等得∠DBE=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，由此即可得出答案.
【解析】【解答】解：如图，
∵∠A=45°,∠D=30°,∠ACB=90°,[
∴∠ABC=∠DBE=45°,
∴∠α=∠D+∠DBE=30°+45°=75°,
故答案为:C.
3.如图，在证明“△ABC内角和等于180°”时，延长BC至D，过点C作CE∥AB，得到∠ABC=∠ECD，∠BAC=∠ACE，由于∠BCD=180°，可得到∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，这个证明方法体现的数学思想是（?? ）
A、数形结合 B、特殊到一般 C、一般到特殊 D、转化
【考点】平行线的判定，三角形内角和定理
【解析】【解答】证明：∵∠ABC=∠ECD，∠BAC=∠ACE，∠BCD=∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°， ∴∠BCA+∠BAC+∠ABC=180°．
此方法中用到了替换，体现了转化的思想．
故选D．
【分析】根据三角形内角和定理的证明过程，可寻找到转化的解题思想，此题得解．
4. （2018?湖北黄石?3分）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
【分析】依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°．
【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=25°，
∴∠DAE=30°﹣25°=5°，
∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，
∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．
5. （2018年江苏省泰州市?3分）已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为 ．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步根据第三边是整数求解．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
第三边＞4，而＜6．
又第三条边长为整数，
则第三边是5．
【点评】此题主要是考查了三角形的三边关系，同时注意整数这一条件．
6.（2017江苏徐州）△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，DE=7，则BC= ．
【考点】KX：三角形中位线定理．
【分析】根据三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半可知，BC=2DE，进而由DE的值求得BC．
【解答】解：∵D，E分别是△ABC的边AC和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵DE=7，
∴BC=2DE=14．
故答案是：14．
7. 如图，在△BCD中，BC=4，BD=5，
（1）求CD的取值范围；
（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数．
【考点】三角形三边关系；平行线的性质．
【分析】（1）利用三角形三边关系得出DC的取值范围即可；
（2）利用平行线的性质得出∠AEC的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：（1）∵在△BCD中，BC=4，BD=5，
∴1＜DC＜9；
（2）∵AE∥BD，∠BDE=125°，
∴∠AEC=55°，
又∵∠A=55°，
∴∠C=70°．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及平行线的性质，得出∠AEC的度数是解题关键．
8．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．
【解答】解：∵∠A=50°，∠C=60°
∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°，
又∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°，
∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAF=5°，
∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，
∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，
∴∠DAC=30°，∠BOA=120°．
故∠DAE=5°，∠BOA=120°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出∠EAF、∠CBF，再运用三角形外角性质求出∠AFB．
9.（2018?山东淄博?5分）已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
【考点】K7：三角形内角和定理．
【分析】过点A作EF∥BC，利用EF∥BC，可得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠1+∠2+∠BAC=180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°．
【解答】证明：过点A作EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°，
即∠A+∠B+∠C=180°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理的证明，作辅助线把三角形的三个内角转化到一个平角上是解题的关键．
10. 已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【专题】证明题．
【分析】题目中有两对直角，可得两对角互余，由角平分线及对顶角可得两对角相等，然后利用等量代换可得答案．
【解答】证明：
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠2+∠4=90°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∵∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
即∠CFE=∠CEF．
【点评】本题考查了三角形角平分线、中线和高的有关知识；正确利用角的等量代换是解答本题的关键．
11. 如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°，求∠C的度数．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠AED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAE，然后根据角平分线的定义求出∠BAC，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠EAD=5°，
∴∠AED=85°，
∵∠B=50°，
∴∠BAE=∠AED﹣∠B=85°﹣50°=35°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC=2∠BAE=70°，
∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣70°=60°．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，主要利用了直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
类型四 三角形外角性质
1.将一副直角三角尺如图所示放置，使含30°角的三角尺的一条直角边和含45°角的三角尺的一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为(??? )
,
A.?75°????B.?65°????C.?45°??????D.?30°
【考点】平行线的判定与性质，三角形的外角性质
【分析】根据三角尺的各个内角的度数可知：∠ACB＝∠DFE＝90°，然后根据同旁内角互补，两直线平行得出AC∥DF，根据二直线平行，内错角相等得出∠2＝∠A＝45°，根据三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和即可由∠1＝∠2＋∠D算出答案。
【解析】【解答】∵∠ACB＝∠DFE＝90°，
∴∠ACB＋∠DFE＝180°，
∴AC∥DF，
∴∠2＝∠A＝45°.
∴∠1＝∠2＋∠D＝45°＋30°＝75°.
故答案为：A
2. 如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1=40°，∠2=30°，则∠3的度数是(?? )
A.?50°?????B.?55°???????C.?60°?????D.?70°
【考点】平行线的性质，三角形的外角性质
【分析】先根据平行线的性质可得∠C的度数，再利用三角形外角的性质解答即可。
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠1=40°，
∴∠C=∠1=40°，
又∵∠2=30°，
∴∠3=∠C+∠2=40°+30°=70°。
故答案为：D
3. 如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分∠ACD，F为CA延长线上的一点，FG∥CE，交AB于点G，若∠1=70°，∠2=30°，则∠3=（?? ）
A.?30°??????B.?40°??????C.?45°??????D.?70°
【考点】平行线的性质，三角形的外角性质
【解析】【解答】解： ∵CE平分∠ACD，
∴∠1=∠ECF，
∵FG∥CE，
∴∠F=∠ECF，
∵∠FCD=∠3+∠BAC，∠BAC=∠2+∠F，
∴∠FCD=∠3+∠2+∠F，
∴∠1+∠ECF=∠3+∠2+∠F，
∴∠2+∠3=∠1，
又∵∠1=70°，∠2=30°，
∴∠3=70°﹣30°=40°，
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的定义得到∠1=∠ECF，根据平行线的性质得到∠F=∠ECF，根据三角形的外角的性质可得∠FCD=∠3+∠BAC，∠BAC=∠2+∠F，从而计算即可.
4. 如图，AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝30°，则∠AEC的度数为(??? )
A.?20°????B.?50°??????C.?80°??????D.?100°
【考点】平行线的性质，三角形的外角性质
【分析】根据二直线平行，内错角相等得出∠B=∠C=30°，再根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和即可算出答案。
【解析】【解答】解：∵ AB∥CD ， ∠C＝30°，
∴∠B=∠C=30°，
∵ ∠AEC 是△ABE的一个外角，
又 ∠A＝50° ，
∴ ∠AEC=∠A＋∠B=80°；
故答案为：C
5. 如图，∠1=________．
【答案】 120°．
【考点】对顶角、邻补角，三角形的外角性质
【分析】根据邻补角定义求出其中一个内角，再根据三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角和求出 ∠1。
【解析】【解答】解： ∠1=（180°﹣140°）+80°=120°．
6. 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为________．
【考点】平行线的性质，三角形的外角性质，含30度角的直角三角形
【分析】过点P作PE⊥OB于点E，根据两直线平行，内错角相等即可求得∠AOP=∠CPO，根据三角形外角的性质即可得到∠PCE和∠AOB的度数，根据30°角的直角三角形的性质求出答案即可。
【解析】【解答】解：过P作PE⊥OB，交OB与点E，
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE，
∵PC∥OA，
∴∠CPO＝∠POD，
又∠AOP＝∠BOP＝15°，
∴∠CPO＝∠BOP＝15°，
又∠ECP为△OCP的外角，
∴∠ECP＝∠COP+∠CPO＝30°，
在直角三角形CEP中，∠ECP＝30°，PC＝4，
∴PE＝ PC＝2，
则PD＝PE＝2．
故答案为：2．
7. 一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A．108° B．90° C．72° D．60°
【考点】多边形内角与外角．
【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
【解答】解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n﹣2）=540，
解得：n=5，
故这个正多边形的每一个外角等于： =72°．
故选C．
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n﹣2）?180°，外角和等于360°．
8.如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【考点】多边形内角与外角．
【分析】延长BC交OD与点M，根据多边形的外角和为360°可得出∠OBC+∠MCD+∠CDM=140°，再根据四边形的内角和为360°即可得出结论．
【解答】解：延长BC交OD与点M，如图所示．
∵多边形的外角和为360°，
∴∠OBC+∠MCD+∠CDM=360°﹣220°=140°．
∵四边形的内角和为360°，
∴∠BOD+∠OBC+180°+∠MCD+∠CDM=360°，
∴∠BOD=40°．
故选A．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角以及角的计算，解题的关键是能够熟练的运用多边形的外角和为360°来解决问题．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用多边形的外角和与内角和定理，通过角的计算求出角的角度即可．
9. （2018·云南省昆明·4分）在△AOC中，OB交AC于点D，量角器的摆放如图所示，则∠CDO的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．120°
【分析】依据CO=AO，∠AOC=130°，即可得到∠CAO=25°，再根据∠AOB=70°，即可得出∠CDO=∠CAO+∠AOB=25°+70°=95°．
【解答】解：∵CO=AO，∠AOC=130°，
∴∠CAO=25°，
又∵∠AOB=70°，
∴∠CDO=∠CAO+∠AOB=25°+70°=95°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形内角和等于180°．
10. （2018·浙江省台州·4分）如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（ ）
A．△ADF≌△CGE B．△B′FG的周长是一个定值
C．四边形FOEC的面积是一个定值 D．四边形OGB'F的面积是一个定值
【分析】A.根据等边三角形ABC的外心的性质可知：AO平分∠BAC，根据角平分线的定理和逆定理得：FO平分∠DFG，由外角的性质可证明∠DOF=60°，同理可得∠EOG=60°，∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG，可证明△DOF≌△GOF≌△GOE，△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，可得AD=CG，AF=CE，从而得△ADF≌△CGE；
B.根据△DOF≌△GOF≌△GOE，得DF=GF=GE，所以△ADF≌△B'GF≌△CGE，可得结论；
C.根据S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE，依次换成面积相等的三角形，可得结论为：S△AOC=（定值），可作判断；
D.方法同C，将S四边形OGB'F=S△OAC﹣S△OFG，根据S△OFG=?FG?OH，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，可作判断．
【解答】解：A.连接OA.OC，
∵点O是等边三角形ABC的外心，
∴AO平分∠BAC，
∴点O到AB.AC的距离相等，
由折叠得：DO平分∠BDB'，
∴点O到AB.DB'的距离相等，
∴点O到DB'、AC的距离相等，
∴FO平分∠DFG，
∠DFO=∠OFG=（∠FAD+∠ADF），
由折叠得：∠BDE=∠ODF=（∠DAF+∠AFD），
∴∠OFD+∠ODF=（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）=120°，
∴∠DOF=60°，
同理可得∠EOG=60°，
∴∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG，
∴△DOF≌△GOF≌△GOE，
∴OD=OG，OE=OF，
∠OGF=∠ODF=∠ODB，∠OFG=∠OEG=∠OEB，
∴△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，
∴AD=CG，AF=CE，
∴△ADF≌△CGE，
故选项A正确；
B.∵△DOF≌△GOF≌△GOE，
∴DF=GF=GE，
∴△ADF≌△B'GF≌△CGE，
∴B'G=AD，
∴△B'FG的周长=FG+B'F+B'G=FG+AF+CG=AC（定值），
故选项B正确；
C.S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE=S△OCF+S△OAF=S△AOC=（定值），
故选项C正确；
D.S四边形OGB'F=S△OFG+S△B'GF=S△OFD+△ADF=S四边形OFAD=S△OAD+S△OAF=S△OCG+S△OAF=S△OAC﹣S△OFG，
过O作OH⊥AC于H，
∴S△OFG=?FG?OH，
由于OH是定值，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，
故选项D不一定正确；
故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、角平分线的性质和判定、三角形和四边形面积及周长的确定以及折叠的性质，有难度，本题全等的三角形比较多，要注意利用数形结合，并熟练掌握三角形全等的判定，还要熟练掌握角平分线的逆定理的运用，证明FO平分∠DFG是本题的关键，
11. 如图，在△ABC中，∠A=50°，O是△ABC内一点，且∠ABO=20°，∠ACO=30°，求∠BOC的度数．
【考点】三角形的外角性质．
【分析】延长BO交AC于E，根据三角形内角与外角的性质可得∠1=∠A+∠ABO，∠BOC=∠ACO+∠1，再代入相应数值进行计算即可．
【解答】解：延长BO交AC于E，
∵∠A=50°，∠ABO=20°，
∴∠1=50°+20°=70°，
∵∠ACO=30°，
∴∠BOC=∠1+∠ACO=70°+30°=100°
【点评】此题主要考查了三角形内角与外角的关系，关键是掌握三角形内角与外角的关系定理．
