备考2019中考数学高频考点剖析
专题十七 平面几何之全等三角形问题
考点扫描☆聚焦中考
全等三角形，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括全等三角形的判定、性质和全等三角形的综合应用两方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。涉及到的综合性问题主要体现在和几何图形的综合考查上。解析题主要以证明为主。结合2017、2018年全国各地中考的实例，我们从三方面进行全等三角形的探讨：
（1）全等三角形的性质；
（2）全等三角形的判定；
（3）涉及到全等三角形的综合应用．
考点剖析☆典型例题
例1如图，△ABC≌△EDF，AF＝20，EC＝8，则AE等于(??? )
A.?6?? B.?8????? C.?10?????D. 12
例2（2018?南充）如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．
求证：∠C=∠E．
例3如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，点E在AD上，且DE=DC．
（1）求证：△BDE≌△ADC；
（2）若BC=8.4，tanC=，求DE的长．
例4如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论：①DE=DF; ②DE+DF=AD; ③DM平分∠EDF：④AB+AC=2AE．其中正确的有(? )
A.?1个???????B.?2个???????C.?3个???????D.?4个
考点过关☆专项突破
类型一 全等三角形的性质
1. 如图，△ABC≌△CDA，∠BAC=∠DCA，则BC的对应边是（?? ）
A.?CD? ?? B.?CA?? ? C.?DA???????? D.?AB
2. 如图，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3. 如图，△ABC≌△ADE，已知在△ABC中，AB边最长，BC边最短，则△ADE中三边的大小关系是（?? ）
A.?AD=AE=DE????B.?AD＜AE＜DE????C.?DE＜AE＜AD???D.?无法确定
4. 如图所示，△ABC≌△DEC，则不能得到的结论是（ ）
A．AB=DE B．∠A=∠D C．BC=CD D．∠ACD=∠BCE
5.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，若ABC的面积为18cm2 ， 则图中阴影部分的面积是________cm2.
6. 如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，△ABE≌△ACD，∠C=42°，AB=9，AD=6，G为AB延长线上一点．
（1）求∠EBG的度数．
（2）求CE的长．
类型二 全等三角形的判定
1. （2018?四川成都?3分）如图，已知 ，添加以下条件，不能判定 的是（? ）
A.?? B.? C.???D.?
2．（2018年江苏省南京市?2分）如图，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为（ ）
A．a+c B．b+c C．a﹣b+c D．a+b﹣c
3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE＝CF；③△BDE≌△ADF；④BE＋CF＝EF，其中正确结论是（??? ）
A.?①②④????? B.?②③④???? C.?①②③???? D.?①②③④
4. （2018·台湾）如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（ ）
A．115 B．120 C．125 D．130
5. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A、C为圆心，大于 AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN分别交AC、BC于点D、E，连结AE，若AB＝3，AC＝5，则BE的长为________．
6. （2018·浙江衢州·4分）如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）．
7 . （2018?乐山?9分）如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BC=BD．
8. （2018·江苏镇江·6分）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE=30°，则∠ADC= °．
9. （2018?咸宁）已知：∠AOB．
求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'=∠AOB
（1）如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；
（2）如图2，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径间弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所而的弧交于点D′；
（4）过点D′画射线O′B'，则∠A'O'B'=∠AOB．
根据以上作图步骤，请你证明∠A'O'B′=∠AOB．
10. 如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P
（1）求∠CPD的度数
（2）若AE＝3，CD＝7，求线段AC的长.
11. 如图：
（1）在图1中，已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN．∠ABC＝∠ADC＝90°，则能得如下两个结论：
①DC=BC；②AD+AB=AC.
请你证明结论②。
（2）在图2中，把（1）中的条件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改为∠ABC＋∠ADC＝180°，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
类型三 全等三角形和其它几何图形的综合应用
1．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=2，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是为 ________
2. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，3)，点B(9，0)，且∠ACB=90°，CA=CB，则点C的坐标为________。
3. 在如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3=________°．
4. 已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
（1）求证：BE=AD；
（2）求∠BPQ的度数；
（3）若PQ=3，PE=1，求AD的长．
5. （2016广西南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；
（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；
（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．
备考2019中考数学高频考点剖析
专题十七 平面几何之全等三角形问题
考点扫描☆聚焦中考
全等三角形，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括全等三角形的判定、性质和全等三角形的综合应用两方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。涉及到的综合性问题主要体现在和几何图形的综合考查上。解析题主要以证明为主。结合2017、2018年全国各地中考的实例，我们从三方面进行全等三角形的探讨：
（1）全等三角形的性质；
（2）全等三角形的判定；
（3）涉及到全等三角形的综合应用．
考点剖析☆典型例题
例1（如图，△ABC≌△EDF，AF＝20，EC＝8，则AE等于(??? )
A.?6???B.?8??????C.?10?????D.?12
【考点】全等三角形的性质
【分析】根据全等三角形的性质得AC＝EF，从而可得AE＝CF，根据AF=AE+EC+CF，计算即可得出答案.
【解答】解：∵△ABC≌△EDF，
∴AC＝EF，
∴AC-EC=EF-EC，
即AE＝CF，
∵AF＝20，EC＝8，
∴AF=AE+EC+CF=20，
即2AE+8=20，
∴AE＝6.
故答案为：A.
例2（2018?南充）如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．
求证：∠C=∠E．
【分析】由∠BAE=∠DAC可得到∠BAC=∠DAE，再根据“SAS”可判断△BAC≌△DAE，根据全等的性质即可得到∠C=∠E．
【解答】解：∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE﹣∠CAE=∠DAC﹣∠CAE，即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
∵，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠C=∠E．
例3如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，点E在AD上，且DE=DC．
（1）求证：△BDE≌△ADC；
（2）若BC=8.4，tanC=，求DE的长．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．
【分析】（1）由AD⊥BC可得∠ADB=∠ADC=90°，又∠ABC=45°易得∠ABC=∠BAD，可得AD=BD，由SAS定理可得△BDE≌△ADC；
（2）设DE=x，因为tanC=可得AD=2.5x，可得BC=3.5x，由BC=8.4，可解得x，可得DE．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°，
∴∠ABC=∠BAD，
∴AD=BD，
在△BDE和△ADC中，
，
∴△BDE≌△ADC（SAS）；
（2）解：设DE=x，
∵DE=DC，
∴DC=x，
∵tanC=，
∴AD=2.5x，
∵AD=BD，
∴BD=2.5x，
∴BC=BD+CD=3.5x，
∵BC=8.4，
∴x=2.4，
DE=2.4．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，利用方程思想是解答此题的关键．
例4如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论：①DE=DF; ②DE+DF=AD; ③DM平分∠EDF：④AB+AC=2AE．其中正确的有(????? )
A.?1个???????B.?2个???????C.?3个???????D.?4个
【考点】全等三角形的性质，直角三角形全等的判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形
【分析】连接DB、DC，根据角平分线、线段中垂线的性质定理可知DE=DF、DB=DC，故①正确；利用HL可得两对全等三角形，从而有AE=AF、BE=CF，据此可判断④正确；又由∠DAE=∠DAF=30°，利用含30°直角三角形的性质可得DE=DF= ， 进而又得②正确。
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴①正确； 又∵∠BAC=60°，∴∠DAE=∠DAF=30°，∴DE=DF= ， ∴DE+DF=AD，②正确； 连接DB、DC，∵DM垂直平分BC，∴DB=DC，∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)，∴BE=CF， 同理Rt△ADE≌Rt△ADF，∴AE=AF，∴AB+AC=AE-BE+AF+FC=AE+AF=2AE，∴④正确。 故答案为：C 考点过关☆专项突破
类型一 全等三角形的性质
1. 如图，△ABC≌△CDA，∠BAC=∠DCA，则BC的对应边是（?? ）
A.?CD? ???B.?CA????C.?DA??????????D.?AB
【考点】全等三角形的性质
【分析】由已知条件易得∠BAC与∠DCA是对应角，则对应角所对的边是对应边，找出∠ACD的对应边即可。
【解析】【解答】解：∵ABC≌△CDA，∠BAC=∠DCA，
∴∠BAC与∠DCA是对应角，
∴BC与DA是对应边（对应角对的边是对应边）．
故答案为：C．
2. 如图，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等；B、面积相等的两个三角形全等，说法错误；C、完全重合的两个三角形全等，说法正确；D、所有的等边三角形全等，说法错误；
故选：C
3. 如图，△ABC≌△ADE，已知在△ABC中，AB边最长，BC边最短，则△ADE中三边的大小关系是（?? ）
A.?AD=AE=DE????B.?AD＜AE＜DE????C.?DE＜AE＜AD???D.?无法确定
【考点】全等三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB边最长，BC边最短，AB的对应边是AD，BC的对应边是DE，
∴△ADE中三边的大小关系是DE＜AE＜AD
故答案为：C
【分析】由全等三角形的对应边相等可得AB=AD，AC=AE，BC=DE，再结合已知条件即可求判断解。
4. 如图所示，△ABC≌△DEC，则不能得到的结论是（ ）
A．AB=DE B．∠A=∠D C．BC=CD D．∠ACD=∠BCE
解析：因为△ABC≌△DEC，可得：AB=DE，∠A=∠D，BC=EC，∠ACD=∠BCE，
故选C
5.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，若ABC的面积为18cm2 ， 则图中阴影部分的面积是________cm2.
【考点】全等三角形的性质
【分析】根据全等三角形的判定定理以及性质可求出阴影部分的面积。
【解析】【解答】解：根据题意，可判断出△ABE≌△AEC，△EFB≌△EFC，△BFD≌△FDC. ∴阴影部分面积为大三角形的一半=9cm2.
故答案为：9.
6. 如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，△ABE≌△ACD，∠C=42°，AB=9，AD=6，G为AB延长线上一点．
（1）求∠EBG的度数．
（2）求CE的长．
解：（1）∵△ABE≌△ACD，
∴∠EBA=∠C=42°，
∴∠EBG=180°-42°=138°；
（2）∵△ABE≌△ACD，
∴AC=AB=9，AE=AD=6，
∴CE=AC-AE=9-6=3．
类型二 全等三角形的判定
1. （2018?四川成都?3分）如图，已知 ，添加以下条件，不能判定 的是（? ）
A.?? B.? C.???D.?
【考点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=CB∴△ABC≌△DCB，因此A不符合题意；
B、∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB
∴△ABC≌△DCB，因此B不符合题意；
C、 ∵∠ABC=∠DCB，AC=DB，BC=CB，不能判断△ABC≌△DCB，因此C符合题意；
D、 ∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB
∴△ABC≌△DCB，因此D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据全等三角形的判定定理及图中的隐含条件，对各选项逐一判断即可。
2．（2018年江苏省南京市?2分）如图，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为（ ）
A．a+c B．b+c C．a﹣b+c D．a+b﹣c
【分析】只要证明△ABF≌△CDE，可得AF=CE=a，BF=DE=b，推出AD=AF+DF=a+（b﹣c）=a+b﹣c；
【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB=∠CED=90°，∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°，
∴∠A=∠C，∵AB=CD，
∴△ABF≌△CDE，
∴AF=CE=a，BF=DE=b，
∵EF=c，
∴AD=AF+DF=a+（b﹣c）=a+b﹣c，
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE＝CF；③△BDE≌△ADF；④BE＋CF＝EF，其中正确结论是（??? ）
A.?①②④?????B.?②③④?????C.?①②③?????D.?①②③④
【考点】全等三角形的判定与性质，图形的旋转
【分析】由旋转可知∠ADE＝∠CDF，再利用“SAS”定理即可证明△ADE≌△CDF，同理可证明△BDE≌△ADF，即可判断①②③正确。
【解析】【解答】 ∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，?点D为BC中点，
∴∠B=∠C=45°，∠BAD=∠CAD=45°，∠ADC=90°，
∴AD=CD，∠DAM=∠DCF， 又直角∠MDN，
∴∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，AE=CF，
又∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠BDE=ADF，
∴△BDE≌△ADF
故①②③正确。
故答案为：C。
4. （2018·台湾·分）如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（ ）
A．115 B．120 C．125 D．130
【分析】根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等，进而得出∠B=∠E，利用多边形的内角和解答即可．
【解答】解：∵正三角形ACD，
∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，
∵AB=DE，BC=AE，
∴△ABC≌△AED，
∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE，
∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°，
∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°，
故选：C．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等．
5. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A、C为圆心，大于 AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN分别交AC、BC于点D、E，连结AE，若AB＝3，AC＝5，则BE的长为________．
【考点】线段垂直平分线的性质，勾股定理，作图—复杂作图
【分析】首先根据勾股定理算出BC的长，根据作图方法可得EM是AC的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出AE＝EC，设BE＝x，则AE＝4﹣x，根据勾股定理建立方程求解即可得出x的值，从而得出答案。
【解析】【解答】解：∵AB＝3，AC＝5，∠B＝90°，
∴CB＝ ＝4，
根据作图方法可得EM是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
设BE＝x，则AE＝4﹣x，
∵AB2+BE2＝AE2 ，
∴32+x2＝（4﹣x）2 ，
解得：x＝ ，
故答案为： ．
6. （2018·浙江衢州·4分）如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 AB=ED （只需写一个，不添加辅助线）．
【考点】三角形全等的判定方法
【分析】根据等式的性质可得BC=EF，根据平行线的性质可得∠B=∠E，再添加AB=ED可利用SAS判定△ABC≌△DEF．
【解答】解：添加AB=ED．
∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，即BC=EF．
∵AB∥DE，∴∠B=∠E．在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）．
故答案为：AB=ED．
【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7 . （2018?乐山?9分）如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BC=BD．
证明：∵∠ABD+∠3=180°∠ABC+∠4=180°，且∠3=∠4，∴∠ABD=∠ABC
在△ADB和△ACB中，，∴△ADB≌△ACB（ASA），∴BD=CD．
8. （2018·江苏镇江·6分）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE=30°，则∠ADC= 75 °．
【解答】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，∴∠BAE=∠CAF=30°，
∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD，∴∠ADC==75°，故答案为：75．
9. （2018?咸宁）已知：∠AOB．
求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'=∠AOB
（1）如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；
（2）如图2，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径间弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所而的弧交于点D′；
（4）过点D′画射线O′B'，则∠A'O'B'=∠AOB．
根据以上作图步骤，请你证明∠A'O'B′=∠AOB．
【分析】由基本作图得到OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，则根据“SSS“可证明△OCD≌△O′C′D′，然后利用全等三角形的性质可得到∠A'O'B′=∠AOB．
【解答】证明：由作法得OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，
在△OCD和△O′C′D′中
，
∴△OCD≌△O′C′D′，
∴∠COD=∠C′O′D′，
即∠A'O'B′=∠AOB．
10. 如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P
（1）求∠CPD的度数
（2）若AE＝3，CD＝7，求线段AC的长.
【答案】（1）解：如图，在AC上截取AF=AE，连接PF
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△APE和△APF中
?
∴△APE≌△APF（SAS），
∴∠AOE=∠APE，
∵∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，
∴∠APC=120°,
∴∠CPD=60°
（2）解：∵∠APC=120°，∴∠APE=60°，
∴∠APF=∠CPD=60°=∠CPF，
在△CPF和△CPD中，
,
∴△CPF≌△CPD（ASA）
∴CF=CD，
∴AC=AF+CF=AE+CD=3+7=10
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）在AC上截取AF=AE，连接PF，根据已知易证△APE≌△APF，利用全等三角形的性质，就可证得∠APE=∠APF，利用角平分线的定义及三角形内角和定理，再求出∠APC的度数，就可得到∠CPD的度数。 （2）由（1）可知∠APC=120°，∠APE=∠APF，就可证得∠CPD=∠CPF，利用ASA证明△CPF和△CPD全等，利用全等三角形的性质，就可证得CF=CD，然后求出AC的长即可。
11. 如图：
（1）在图1中，已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN．∠ABC＝∠ADC＝90°，则能得如下两个结论：
①DC=BC；②AD+AB=AC.
请你证明结论②。
（2）在图2中，把（1）中的条件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改为∠ABC＋∠ADC＝180°，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【答案】 （1）解：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN
∴ ∠DAC=∠BAC=60°
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠DCA=∠BCA=30°
在Rt△ACD中，∠DCA=30°，在Rt△ACB中，∠BCA=30°
∴AC=2AD，AC=2AB，
∴2AD=2AB
∴AD=AB
∴AD+AB=AC
（2）解：（1）中的结论①DC=BC；②AD+AB=AC都成立，
理由：如图2，在AN上截取AE=AC，连结CE
∵∠BAC=60°，
∴△CAE为等边三角形
∴AC=CE，∠AEC =60°
∵∠DAC =60°，
∴∠DAC =∠AEC
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EBC=180°
∴∠ADC =∠EBC，
∴
∴DC=BC，DA=BE
∴AD+AB=AB+BE=AE，
∴AD+AB=AC.
【考点】角的平分线，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质，结合直角三角形的性质即可证明两个结论。 （2）根据已知条件，在AN上截取线段AE=AC，根据三角形全等的判定定理证明△ADC≌△EBC，得到DC=BC，做出结论即可。
类型三 全等三角形和其它几何图形的综合应用
1．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=2，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是为 ________
【答案】
【考点】全等三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：连接EC，∵ △ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90° ， ∴∠ABC=ACB=45°，∠BAD=∠CAE， 又∵AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE， ∴∠ACE=∠ABD=45°，
∴∠BCE=45°+45°=90°， ∴点E在过C点且与直线BC垂直的直线CE上运动， 由垂线段最短可知，当OE⊥EC时，OE最小=OC×sin∠ACE= 。
故答案为：
【分析】由条件利用SAS可得△ABD≌△ACE，从而有EC⊥BC，由此可知点E运动的路径，而点O是定点，进而根据垂线段最短即可解答。
2. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，3)，点B(9，0)，且∠ACB=90°，CA=CB，则点C的坐标为________。
【答案】 (6，6)
【考点】坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥OB于D，CE⊥OA于E，
∵∠AOB=90°，
∴四边形CDOE是矩形，
∴∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
∵AC=BC，
∴△ACE≌△BCD，
∴BD=AE，CD=CE，
∴矩形CDOE是正方形，
∴EO=OD=CD，
∵OA=3，OB=9，
∴9-OD=3+OE，
∴OD=OE=6。
故答案为：(6，6)
【分析】过点C作CD⊥OB于D，CE⊥OA于E，易得四边形CDOE是矩形，从而根据AAS可得△ACE≌△BCD，进而又得矩形CDOE是正方形，再利用正方形的性质结合A、B坐标即可解答。
3. 在如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3=________°．
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
在△ABC和△DEA中， ，
∴△ABC≌△DEA（SAS），
∴∠3=∠BAC，
在Rt△ABC中，∠BAC+∠1=90°，
∴∠1+∠3=90°，
由图可知，△ABF是等腰直角三角形，
∴∠2=45°，
∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°．
故答案为：135．
【分析】由图知，用边角边可证得△ABC≌△DEA，于是∠1与∠3的余角相等，所以∠1+∠3=90°，再根据正方形的性质可得∠2=45°．则 ∠1+∠2+∠3 的度数可求解。
4. 已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
（1）求证：BE=AD；
（2）求∠BPQ的度数；
（3）若PQ=3，PE=1，求AD的长．
【考点】三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可知AB=AC、 ∠BAC=∠C ，结合AE=AD，利用SAS即可证明； （2）由（1）可得∠ABE=∠CAD ，利用三角形外角的性质可知∠BPQ=∠BAC，据此即可解答； （3）由（2）结合条件可知 ∠PBQ=30° ，根据含30°的直角三角形的性质可得BP的长，从而可知BE的长，结合（1）即可解答。
【答案】 （1）证明：∵△ABC是等边三角形
∴ AB=AC， ∠BAC=∠C=600??
∵ AE=CD
∴ △ABE≌△CAD
∴ BE=AD
（2）解：∵△ABE≌△CAD
∴ ∠ABE=∠CAD
∴ ∠BPQ=∠ABE+∠BAP
=∠BAC
=60°
（3）解：∵ BQ⊥AD
∴ ∠BQP=90°
∵ ∠BPQ=60°
∴? ∠PBQ=30°
∴ BP=2PQ=2×3=6
∴ BE=BP+PE=6+1=7
∴ AD=BE=7
5. （2016广西南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；
（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；
（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）结论AE=EF=AF．只要证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形．
（2）欲证明BE=CF，只要证明△BAE≌△CAF即可．
（3）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH=CF?cos30°，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题．
【解答】（1）解：结论AE=EF=AF．
理由：如图1中，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，
∴△ABC，△ADC是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAC=60°
∵BE=EC，
∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，
∵∠EAF=60°，
∴∠CAF=∠DAF=30°，
∴AF⊥CD，
∴AE=AF（菱形的高相等），
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF．
（2）证明：如图2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAE，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF．
（3）解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，
∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，
∴∠AEB=45°，
在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，
∴BG=2，AG=2，
在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，
∴AG=GE=2，
∴EB=EG﹣BG=2﹣2，
∵△AEB≌△AFC，
∴AE=AF，EB=CF=2﹣2，∠AEB=∠AFC=45°，
∵∠EAF=60°，AE=AF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF=∠AFE=60°
∵∠AEB=45°，∠AEF=60°，
∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°，
在RT△EFH中，∠CEF=15°，
∴∠EFH=75°，
∵∠AFE=60°，
∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°，
∵∠AFC=45°，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°，
在RT△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=2﹣2，
∴FH=CF?cos30°=（2﹣2）?=3﹣．
∴点F到BC的距离为3﹣．
【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．
