备考2019中考数学高频考点剖析
专题十八 平面几何之等腰（边）三角形问题
考点扫描☆聚焦中考
等腰（边）三角形，是每年中考的必考重点内容之一，考查的知识点包括等腰三角形的性质与判定和等边三角形的性质与判定两方面，总体来看，难度系数中游，以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要以三角形与四边形和变换相结合进行考查为主。结合2017、2018年全国各地中考的实例，我们从三方面进行等腰（边）三角形问题的探讨：
（1）等腰三角形性质与判定；
（2）等边三角形性质与判定；
（3）等腰（边）三角形与四边形及其变换综合问题．
考点剖析☆典型例题
例1（（2017?宁德）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边BC 和AC上，若AD=AE，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADB=∠ACB+∠CAD B．∠ADE=∠AED
C．∠CDE=∠BAD D．∠AED=2∠ECD
例2（2017浙江湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（ ）
A．1 B． C． D．2
例3如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
例4如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，以线段OA为边在第四象限内作等边三角形△AOB，点C为x正半轴上一动点(OC＞1)，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E.
（1）求证：△OBC≌△ABD
（2）在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数;如果变化，请说明理由。
（3）当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？
考点过关☆专项突破
类型一 等腰三角形性质与判定
1. 已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
2. 已知等腰△ABC中，AB=AC=13，底边BC=10，P是△ABC的重心，则AP的长为 ．
3. （2018·台湾）如图，锐角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，甲、乙两人想找一点P，使得∠BPC与∠A互补，其作法分别如下：
（甲）以A为圆心，AC长为半径画弧交AB于P点，则P即为所求；
（乙）作过B点且与AB垂直的直线l，作过C点且与AC垂直的直线，交l于P点，则P即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
4. （2018?山东淄博?4分）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
5. 在矩形ABCO中，O为坐标原点，A在y轴上，C在x轴上，B的坐标为（8，6），P是线段BC上动点，点D是直线y=2x﹣6上第一象限的点，若△APD是等腰Rt△，则点D的坐标为 ．
6. 等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP=BA，则∠PBC的度数为________。
7. 数学课上，张老师举了下面的例题：例1：等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数。（答案：35°）
例2：等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数。（答案：40°或70°或100°） 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题： 变式：等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数
（1）请你解答以上的表式题。
（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同。如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x0 ， 当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围。
8. （2019台州模拟）（1）问题发现
在等腰三角形ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME．
填空：线段AF，AG，AB之间的数量关系是 ；线段MD，ME之间的数量关系是 ．
（2）拓展探究
在任意三角形ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由；
（3）解决问题
在任意三角形ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，若MD＝2，请直接写出线段DE的长．
类型二 等边三角形性质与判定
1. （2018?湘潭）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD= ．
2．（2018?天津）如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为 ．
3．如图，已知，在△ABC中，AB＝AC，分别以AB、BC为边作等边△ABE和等边△BCD，连结CE、AD．
（1）求证：∠ACD＝∠ABD；
（2）判断DC与CE的位置关系，并加以证明；
4. （2017宁夏）在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点 P分别作 PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分别为垂足．
（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；
（2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．
5. （浙江衢州）问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．
类比探究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）
（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由．
（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b，AB=c，请探索a，b，c满足的等量关系．
类型三 等腰（边）三角形的其他问题的综合考查
1．如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
2．（2016·湖北武汉·3分）平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2016·湖北荆门·3分）已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（ ）
A．7 B．10 C．11 D．10或11
4. （2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为 ．
5. 如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．
（1）求证：CD=CB；
（2）若∠ACN= ，求∠BDC的大小（用含 的式子表示）；
（3）请判断线段PB，PC与PE三者之间的数量关系，并证明你的结论．
6. 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是直线AB上的一动点（不和A、B重合），BE⊥CD于E，交直线AC于F。
（1）点D在边AB上时，试探究线段BD、AB和AF的数量关系，并证明你的结论；
（2）点D在AB的延长线或反向延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请写出正确结论并证明。
7. 如图，在△ABC中，AB=AC=10cm；BC=6cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B出发都逆时针沿△ABC三边运动，直接写出经过多少秒后，点P与点Q第一次在△ABC的那一条边上相遇．
备考2019中考数学高频考点剖析
专题十八 平面几何之等腰（边）三角形问题
考点扫描☆聚焦中考
等腰（边）三角形，是每年中考的必考重点内容之一，考查的知识点包括等腰三角形的性质与判定和等边三角形的性质与判定两方面，总体来看，难度系数中游，以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要以三角形与四边形和变换相结合进行考查为主。结合2017、2018年全国各地中考的实例，我们从三方面进行等腰（边）三角形问题的探讨：
（1）等腰三角形性质与判定；
（2）等边三角形性质与判定；
（3）等腰（边）三角形与四边形及其变换综合问题．
考点剖析☆典型例题
例1（（2017?宁德）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边BC 和AC上，若AD=AE，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADB=∠ACB+∠CAD B．∠ADE=∠AED
C．∠CDE=∠BAD D．∠AED=2∠ECD
【考点】KH：等腰三角形的性质．
【分析】由三角形的外角性质、等腰三角形的性质得出选项A、B、C正确，选项D错误，即可得出答案．
【解答】解：∵∠ADB是△ACD的外角，
∴∠ADB=∠ACB+∠CAD，选项A正确；
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，选项B正确；
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠AED=∠CDE+∠C，
∴∠CDE+∠C+∠CDE=∠B+∠BAD，
∴∠CDE=∠BAD，选项C正确；
∵∠AED=∠ECD+∠CDE，∠ECD≠∠CDE，
∴选项D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的外角性质是解决问题的关键．
例2（2017浙江湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】K5：三角形的重心；KW：等腰直角三角形．
【分析】连接CP并延长，交AB于D，根据重心的性质得到CD是△ABC的中线，PD=CD，根据直角三角形的性质求出CD，计算即可．
【解答】解：连接CP并延长，交AB于D，
∵P是Rt△ABC的重心，
∴CD是△ABC的中线，PD=CD，
∵∠C=90°，
∴CD=AB=3，
∵AC=BC，CD是△ABC的中线，
∴CD⊥AB，
∴PD=1，即点P到AB所在直线的距离等于1，
故选：A．
例3如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
【分析】（1）根据两角相等证明：△ABD∽△DCE；
（2）如图1，作高AF，根据直角三角形30°的性质求AF的长，根据勾股定理求BF的长，则可得BC的长，根据（1）中的相似列比例式可得函数关系式，并确定取值；
（3）分三种情况进行讨论：
①当AD=DE时，如图2，
由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2﹣x；
②当AE=ED时，如图3，则ED=EC，即y=（2﹣y）；
③当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，
此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，
∴∠ABD=∠ACB=30°，
∴∠ABD=∠ADE=30°，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，
∴∠EDC=∠DAB，
∴△ABD∽△DCE；
（2）如图1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，
过A作AF⊥BC于F，
∴∠AFB=90°，
∵AB=2，∠ABF=30°，
∴AF=AB=1，
∴BF=，
∴BC=2BF=2，
则DC=2﹣x，EC=2﹣y，
∵△ABD∽△DCE，
∴，
∴，
化简得：y=x+2（0＜x＜2）；
（3）当AD=DE时，如图2，
由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，
则AB=CD，即2=2﹣x，
x=2﹣2，代入y=x+2，
解得：y=4﹣2，即AE=4﹣2，
当AE=ED时，如图3，
∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°，
∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，
则ED=EC，即y=（2﹣y），
解得：y=，即AE=，
当AD=AE时，
∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，
此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在，
∴当△ADE是等腰三角形时，AE=4﹣2或．
【点评】本题是相似形的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质、直角三角形30°角的性质，本题的几个问题全部围绕△ABD∽△DCE，解决问题；难度适中．
例4如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，以线段OA为边在第四象限内作等边三角形△AOB，点C为x正半轴上一动点(OC＞1)，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E.
（1）求证：△OBC≌△ABD
（2）在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数;如果变化，请说明理由。
（3）当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？
【答案】 （1）证明：∵△AOB、△CBD都是等边三角形
∴ BO=BA，BC=BD， ∠OBA=∠CBD=600???
∴ ∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC
∴ ∠OBC=∠ABD
∴ △OBC≌△ABD
（2）解：在点C的运动过程中，∠CAD的度数不会变化，理由如下：
∵ △AOB是等边三角形
∴ ∠BOA =∠OAB=60°
∵ △OBC≌△ABD
∴ ∠BAD =∠BOC= 60°
∴ ∠CAD=180°-∠0AB-∠BAD= 60°
（3）解：∵A(1，0)
∴ OA=1
∵∠EOA=90°，∠EAO=∠CAD=60°
∴ ∠OEA=30°
∴ AE=2OA=2
∵ ∠EAC=180°-∠EAO=120°
∴ 当以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE、AC是腰
∴ AE=AC=2
∴ OC=OA+AC=3
∴当点C运动到(3，0)时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形。
【考点】三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的边、角性质，利用SAS即可证明； （2）由（1）的结果可知∠BAD =∠BOC= 60° ，而∠OAB=60°，利用角的和差即可判断解答； （3）一方面由（2）的根据可知∠EAC=120°，故只有当AE=AC时△AEC才是等腰三角形，另一方面在Rt△EOA中，由∠EAO=∠CAD=60°，利用含30°的直角三角形的性质可得AE的长，从而得AC的长，据此即可解答。
考点过关☆专项突破
类型一 等腰三角形性质与判定
1. 已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
【考点】KK：等边三角形的性质；KO：含30度角的直角三角形．
【分析】设AD=x，根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直的定义得到∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：设AD=x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥AB，
∴∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°，
∴AF=2x，
∴CF=12﹣2x，
∴CE=2CF=24﹣4x，
∴BE=12﹣CE=4x﹣12，
∴BD=2BE=8x﹣24，
∵AD+BD=AB，
∴x+8x﹣24=12，
∴x=4，
∴AD=4．
故选B．
2. 已知等腰△ABC中，AB=AC=13，底边BC=10，P是△ABC的重心，则AP的长为 8 ．
分析： 在直角△ABD中，根据三线合一定理与勾股定理即可求得AD的长，然后根据重心的性质求得AP的长．
解答： 解：连结AP并且延长交BC于D．
∵AB=AC=13，底边BC=10，P是△ABC的重心，
∴BD=5，AD⊥BC，
在直角△ABD中，AD==12，
∴AP=12×=8．
故答案为：8．
点评： 本题主要考查了三角形的重心，正确计算三角形△ABC中，底边BC上高的长度是解题的关键．
3. （2018·台湾·分）如图，锐角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，甲、乙两人想找一点P，使得∠BPC与∠A互补，其作法分别如下：
（甲）以A为圆心，AC长为半径画弧交AB于P点，则P即为所求；
（乙）作过B点且与AB垂直的直线l，作过C点且与AC垂直的直线，交l于P点，则P即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【分析】甲：根据作图可得AC=AP，利用等边对等角得：∠APC=∠ACP，由平角的定义可知：∠BPC+∠APC=180°，根据等量代换可作判断；
乙：根据四边形的内角和可得：∠BPC+∠A=180°．
【解答】解：甲：如图1，∵AC=AP，
∴∠APC=∠ACP，
∵∠BPC+∠APC=180°
∴∠BPC+∠ACP=180°，
∴甲错误；
乙：如图2，∵AB⊥PB，AC⊥PC，
∴∠ABP=∠ACP=90°，
∴∠BPC+∠A=180°，
∴乙正确，
故选：D．
【点评】本题考查了垂线的定义、四边形的内角和定理、等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
4.（2018?山东淄博?4分）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；KS：勾股定理的逆定理．
【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延长BP，作AF⊥BP于点FAP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数，在直角△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，
∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE2=PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°．
∴∠APF=30°，
∴在直角△APF中，AF=AP=，PF=AP=．
∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+）2+（）2=25+12．
则△ABC的面积是?AB2=?（25+12）=．
故选：A．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
5. 在矩形ABCO中，O为坐标原点，A在y轴上，C在x轴上，B的坐标为（8，6），P是线段BC上动点，点D是直线y=2x﹣6上第一象限的点，若△APD是等腰Rt△，则点D的坐标为 （4，2）或（，）或（，） ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．
【分析】可分为当∠ADP=90°，D在AB上方和下方，当∠APD=90°时三种情况，设点D的坐标，列出方程解决问题．
【解答】解：①如图1中，当∠ADP=90°，D在AB下方，
设点D坐标（a，2a﹣6），过点D作EF∥OC交OA于E，交BC于F，
则OE=2a﹣6，AE=AO﹣OE=12﹣2a，
在△ADE和△DPF中，
∴△ADE≌△DPF，
∴AE=DF=12﹣2a，
∵EF=OC=8，
∴a+12﹣2a=8，
∴a=4．
此时点D坐标（4，2）．
②如图2中，当∠ADP=90°，D在AB上方，
设点D坐标（a，2a﹣6），过点D作EF∥OC交OA于E，交CB的延长线于F，
则OE=2a﹣6，AE=OE﹣OA=2a﹣12，
由△ADE≌△DPF，得到DF=AE=2a﹣12，
∵EF=8，
∴a+2a﹣12=8，
∴a=，
此时点D坐标（，）．
③如图3中，当∠APD=90°时，
设点D坐标（a，2a﹣6），作DE⊥CB的延长线于E．同理可知△ABP≌△EPD，
∴AB=EP=8，PB=DE=a﹣8，
∴EB=2a﹣6﹣6=8﹣（a﹣8），
∴a=，
此时点D坐标（，）．
∴点D坐标为（4，2）或（，）或（，）．
故答案为（4，2）或（，）或（，）．
6. 等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP=BA，则∠PBC的度数为________。
【分析】此题分两种情况 ：①点P在AB的左侧，连接PA，根据等腰三角形的性质由等腰三角形ABC中，顶角A为40°，得出∠ABC=70o,AB=AC,又BP=BA，故AC=BP,根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出：四边形APBC是平行四边形，根据平行四边形的对边平行得出AC∥PB,根据二直线平行内错角相等得出∠CAB=∠PBA=40o,根据∠PBC=∠PBA＋∠ABC得出答案；,②点P在在AB的右侧，连接PA，根据等腰三角形ABC中，顶角A为40°，∴得出∠ABC=70o,AB=AC,又BP=BA，故AC=BP由SSS判断出△ABP≌△BAC,根据全等三角形的对应角相等得出∠ABP=∠BAC=40o,根据∠PBC=∠ABC-∠ABP得出答案。
【答案】30°或110°
【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：此题分两种情况 ：①点P在AB的左侧，连接PA，如图，
∴BC=PA,∵等腰三角形ABC中，顶角A为40°，∴∠ABC=70o,AB=AC,又∵BP=BA，∴AC=BP,∴四边形APBC是平行四边形，∴AC∥PB,∴∠CAB=∠PBA=40o,∴∠PBC=∠PBA＋∠ABC=110o, ②点P在在AB的右侧，连接PA，如图， ∴BC=PA，,∵等腰三角形ABC中，顶角A为40°，∴∠ABC=70o,AB=AC,又∵BP=BA，∴AC=BP,在△ABP与△BAC中，∵AB=BA,AP=BC,AC=BP,∴△ABP≌△BAC,∴∠ABP=∠BAC=40o,∴∠PBC=∠ABC-∠ABP=30o. 故答案为：30°或110°
7. 数学课上，张老师举了下面的例题：例1：等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数。（答案：35°）
例2：等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数。（答案：40°或70°或100°） 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题： 变式：等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数
（1）请你解答以上的表式题。
（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同。如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x0 ， 当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围。
【考点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的顶角可以是钝角，也可以是直角，还可以是锐角，故当给的角是锐角时，应该分类讨论：①当∠A为顶角时，②当∠A为底角，若∠B为顶角，③当∠A为底角，若∠B为底角；即可一一计算得出答案； （2）分两种情况：①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，故∠B的度数只有一个；②当0＜x＜90时，若∠A为顶角，∠B为底角；当∠A为底角，若∠B为顶角；当∠A为底角，若∠B为底角；且当x≠60时∠B有三个不同的度数。
【答案】（1）解 ：当∠A为顶角时，则∠B=50°，
当∠A为底角，若∠B为顶角，则∠B=20°，若∠B为底角，则∠B=80°。 ∴∠B=50°或20°或80° （2）分两种情况： ①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角， ∴∠B的度数只有一个。
②当0＜x＜90时，
若∠A为顶角，则∠B=
若∠A为底角，则∠B=x0或∠B=（180-2x）0
当 ≠180-2x且 ≠x且180-2x≠x，则x≠60时，∠B
8. （2019台州模拟）（1）问题发现
在等腰三角形ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME．
填空：线段AF，AG，AB之间的数量关系是 ；线段MD，ME之间的数量关系是 ．
（2）拓展探究
在任意三角形ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由；
（3）解决问题
在任意三角形ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，若MD＝2，请直接写出线段DE的长．
【分析】（1）由条件可以通过三角形全等和轴对称的性质，直角三角形的性质得出结论；
（2）取AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，根据三角形的中位线的性质和等腰直角三角形的性质就可以得出四边形AFMG是平行四边形，从而得出△DFM≌△MGE，根据其性质就可以得出结论；
（3）取AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，根据三角形的中位线的性质K可以得出△DFM≌△MGE，由全等三角形的性质和勾股定理就可以得出答案．
【解答】解：（1）AF＝AG＝AB，理由如下：
∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝∠DAB＝∠ACE＝∠EAC＝45°，∠ADB＝∠AEC＝90°
∵在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（AAS），
∴BD＝CE，AD＝AE，
∵DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，
∴AF＝BF＝DF＝AB，AG＝GC＝GE＝AC．
∵AB＝AC，
∴AF＝AG＝AB；
MD＝ME，理由如下：
∵M是BC的中点，
∴BM＝CM．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC+∠ABD＝∠ACB+∠ACE，
即∠DBM＝∠ECM．
在△DBM和△ECM中，
，
∴△DBM≌△ECM（SAS），
∴MD＝ME；
故答案为：AF＝AG＝AB；MD＝ME；
（2）MD＝ME，MD⊥ME．
理由如下：
取AB，AC的中点F，G，连接DF，FM，MG，EG，设AB与DM交于点H，如图2，
∵△ADB和△AEC都是等腰直角三角形，
∴∠DFA＝∠EGA＝90°，DF＝AF＝AB，EG＝AG＝AC．
∵点M是BC的中点，
∴FM和MG都是△ABC的中位线，
∴AF∥MG，AF＝DF＝MG，
∴四边形AFMG是平行四边形，
∴FM＝AG＝GE，∠AFM＝∠AGM，
∴∠DFM＝∠MGE．
在△DFM和△MGE中，
FM＝GE，∠DFM＝∠MGE，DF＝MG，
∴△DFM≌MGE（SAS），
∴MD＝ME，∠FDM＝∠GME．
∴∠BHM＝90°+∠FDM＝90°+∠GME，∠BHM＝∠HMG＝∠DME+∠GME，
∴∠DME＝90°，即MD⊥ME；
（3）线段DE的长为2，理由如下：
分别取AB，AC的中点F，G，连接MF，DF，MG，EG，设DF和MG交于点H，如图3，
∵△ADB和△AEC都是等腰直角三角形，
∴∠DFA＝∠EGA＝90°，DF＝AF＝AB，EG＝AG＝AC．
∵点M是BC的中点，
∴FM和MG都是△ABC的中位线，
∴AF∥MG，AF＝DF＝MG，
∴四边形AFMG是平行四边形，
∴FM＝AG＝GE，∠AFM＝∠AGM，
∴∠DFM＝∠MGE．
在△DFM和△MGE中，
FM＝GE，∠DFM＝∠MGE，DF＝MG，
∴△DFM≌MGE（SAS）．
∴MD＝ME，∠FDM＝∠GME．
∵DF⊥AB即∠FHM＝90°．
又∵∠FHM＝∠HMD+∠FDM，
∴∠FHM＝∠HMD+∠GME＝∠DME＝90°，
∴△DME 是等腰直角三角形，
在Rt△DME中，MD＝ME＝2，由勾股定理，得DE＝2．
【点评】本题考查了三角形综合题，等腰直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中位线的性质的运用，直角三角形的斜边上的中线的性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时根据三角形的中位线的性质制造全等三角形是解答本题的关键．
类型二 等边三角形性质与判定
1. （2018?湘潭）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD= 30° ．
【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质和等边三角形三个内角相等的性质填空．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC．
又点D是边BC的中点，
∴∠BAD=∠BAC=30°．
故答案是：30°．
2．（2018?天津）如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为 ．
【分析】直接利用三角形中位线定理进而得出DE=2，且DE∥AC，再利用勾股定理以及直角三角形的性质得出EG以及DG的长．
【解答】解：连接DE，
∵在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=2，且DE∥AC，BD=BE=EC=2，
∵EF⊥AC于点F，∠C=60°，
∴∠FEC=30°，∠DEF=∠EFC=90°，
∴FC=EC=1，
故EF==，
∵G为EF的中点，
∴EG=，
∴DG==．
故答案为：．
3．如图，已知，在△ABC中，AB＝AC，分别以AB、BC为边作等边△ABE和等边△BCD，连结CE、AD．
（1）求证：∠ACD＝∠ABD；
（2）判断DC与CE的位置关系，并加以证明；
【答案】 （1）证明：∵△BCD为等边三角形，
∴DB＝DC，
在△ABD与△ACD中，
∵
∴△ABD≌△ACD，
∴∠ABD＝∠ACD
（2）解：DC⊥CE，证明如下：
由（1）可得△ABD≌△ACD，∴∠ADB＝∠ADC，
又∵∠BDC＝60°，
∴= = ，
∵△ABE为等边三角形，
∴AB=BE，∠ABE＝60°，
∴∠1＝60°－∠3，
∵∠2＝60°－∠3，
∴∠1=∠2，
在△ABD与△EBC中，
∴△ABD≌△EBC，
∴∠BCE＝∠BDA＝150°，
∴∠DCE＝∠BCE－∠DCB＝150°－60°＝ 90°．
∴DC⊥CE
【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）用等边三角形的定义可得线段BD=DC,又已知AB=AC，加上公共边AD=AD，易证△ABD≌△ACD，从而得∠ABD=∠ACD. （2）由△ABD≌△ACD可得∠ADB=∠ADC，由等边三角形的性质可得∠BDC=60°，从而计算出∠ADB=150°；然后再证得△ABD≌△EBC，从而得∠BCE=∠ADB=150°；由∠DCB=60°，用两角之差即可求得∠DCE=90°，从而得证。
4. （2017宁夏）在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点 P分别作 PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分别为垂足．
（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；
（2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．
【分析】（1）连接AP，过C作CD⊥AB于D，根据等边三角形的性质得到AB=AC，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
（2）设BP=x，则CP=2﹣x，由△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60°，解直角三角形得到BM=x，PM=x，CN=（2﹣x），PN=（2﹣x），根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）连接AP，过C作CD⊥AB于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵S△ABC=S△ABP+S△ACP，
∴ABCD=ABPM+ACPN，
∴PM+PN=CD，
即不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；
（2）设BP=x，则CP=2﹣x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵PM⊥AB，PN⊥AC，
∴BM=x，PM=x，CN=（2﹣x），PN=（2﹣x），
∴四边形AMPN的面积=×（2﹣x）x+ [2﹣（2﹣x）]（2﹣x）=﹣x2+x+=﹣（x﹣1）2+，
∴当BP=1时，四边形AMPN的面积最大，最大值是．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形面积的计算，二次函数的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
5. （浙江衢州）问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．
类比探究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）
（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由．
（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b，AB=c，请探索a，b，c满足的等量关系．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）由正三角形的性质得出∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，证出∠ABD=∠BCE，由ASA证明△ABD≌△BCE即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠ADB=∠BEC=∠CFA，证出∠FDE=∠DEF=∠EFD，即可得出结论；
（3）作AG⊥BD于G，由正三角形的性质得出∠ADG=60°，在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，在Rt△ABG中，由勾股定理即可得出结论．
【解答】解：（1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：
∵△ABC是正三角形，
∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，
∵∠ABD=∠ABC﹣∠2，∠BCE=∠ACB﹣∠3，∠2=∠3，
∴∠ABD=∠BCE，
在△ABD和△BCE中，，
∴△ABD≌△BCE（ASA）；
（2）△DEF是正三角形；理由如下：
∵△ABD≌△BCE≌△CAF，
∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，
∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，
∴△DEF是正三角形；
（3）作AG⊥BD于G，如图所示：
∵△DEF是正三角形，
∴∠ADG=60°，
在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，
在Rt△ABG中，c2=（a+b）2+（b）2，
∴c2=a2+ab+b2．
类型三 等腰（边）三角形的其他问题的综合考查
1．如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【分析】顶角为：36°，90°，108°，的四种等腰三角形都可以用一条直线把这四个等腰三角形每个都分割成两个小的等腰三角形，再用一条直线分其中一个等腰三角形变成两个更小的等腰三角形．
【解答】解：由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，
①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°72°，能；
②不能；
③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；
④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定；在等腰三角形中，从一个顶点向对边引一条线段，分原三角形为两个新的等腰三角形，必须存在新出现的一个小等腰三角形与原等腰三角形相似才有可能．
2．（2016·湖北武汉·3分）平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质
【解析】构造等腰三角形，①分别以A，B为圆心，以AB的长为半径作圆；②作AB的中垂线．如图，一共有5个C点，注意，与B重合及与AB共线的点要排除。
3．（2016·湖北荆门·3分）已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（ ）
A．7 B．10 C．11 D．10或11
【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【分析】把x=3代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．
【解答】解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0，
解得m=6，
则原方程为x2﹣7x+12=0，
解得x1=3，x2=4，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；
②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．
综上所述，该△ABC的周长为10或11．
故选：D．
4. （2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为 20和20 ．
【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质．
【分析】分两种情形讨论①当30度角是等腰三角形的顶角，②当30度角是底角，分别作腰上的高即可．
【解答】解：如图1中，当∠A=30°，AB=AC时，设AB=AC=a，
作BD⊥AC于D，∵∠A=30°，
∴BD=AB=a，
∴?a?a=5，
∴a2=20，
∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．
如图2中，当∠ABC=30°，AB=AC时，作BD⊥CA交CA的延长线于D，设AB=AC=a，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=30°，
∴∠BAC=120°，∠BAD=60°，
在RT△ABD中，∵∠D=90°，∠BAD=60°，
∴BD=a，
∴?a?a=5，
∴a2=20，
∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．
故答案为20或20．
5. 如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．
（1）求证：CD=CB；
（2）若∠ACN= ，求∠BDC的大小（用含 的式子表示）；
（3）请判断线段PB，PC与PE三者之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】 （1）证明：∵点A与点D关于CN对称，
∴CN是AD的垂直平分线，
∴CA=CD，
∵△ABC为等边三角形，
∴CB=CA，
∴CD=CB
（2）解：由（1）可知：CA=CD，CN⊥AD，
∴∠ACD=2∠ACN=2 ．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°+2 ．
∵CB=CD，
∴∠BDC=∠DBC= （180°-∠BCD）=60°- ．
（3）解：证明：结论：PB=PC+2PE在PB上截取PF使PF=PC，连接CF．
∵CA=CD，∠ACD=2 ，
∴∠CDA=∠CAD=90°- ，
∵∠BDC=60°- ，
∴∠PDE=∠CDA-∠BDC=30°，
∴在Rt△DPE中，PD=2PE．
∵∠CPF=∠DPE=90°-∠PDE=60°，
∴△CPF是等边三角形，
∴∠CPF=∠CFP=60°，
∴∠BFC=∠DPC=120°，
在△BFC和△DPC中，
∵ ，
∴△BFC≌△DPC．
∴BF=PD=2PE．
∴PB= PF+BF=PC+2PE
【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形
【解析】【分析】（1）已知点A、D关于直线CN对称，由线段垂直平分线的性质可得CA=CD；再由△ABC是等边三角形得CA=CB，等量代换得CD=CB. （2）由等腰三角形“三线合一”的性质可得∠ACD=2α；由△ABC是等边三角形得∠ACB=60°，继而得∠BCD=60°+2α；再由三角形内角和定理得∠BDC+∠DBC=180°-∠BCD=120°-2α；而由CB=CD可得∠BDC=∠DBC=60°-α. （3）在PB上截取PF=PC，先在Rt△PDE中，用30°角的性质证得PD=2PE，再通过证明△BFC≌△DPC得BF=PD=2PE，从而证得PB=PF+BF=PC+2PE.
6. 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是直线AB上的一动点（不和A、B重合），BE⊥CD于E，交直线AC于F。
（1）点D在边AB上时，试探究线段BD、AB和AF的数量关系，并证明你的结论；
（2）点D在AB的延长线或反向延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请写出正确结论并证明。
【答案】 （1）∵BE⊥CD，∴∠BED=90°，
∴∠BDE+∠ABF=90°，
又∠ACD+∠ADC=90°，
∠BDE=∠ADC，
∴∠ABF=∠ADC，
又在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°?，
∴∠BAC=∠BAF，
∴△ABF≌△ACD，
∴AF=AD，
∴AB=AD+BD=AF+BD. （2）（1）中的结论不成立。
点D在AB的延长线上时，AB=AF-BD；点D在AB的反向延长线上时，AB=BD-AF。
理由如下：
①当点D在AB的延长线上时，如图2。
同理可得：FA=DA。
则AB=AD-BD=AF-BD。
②点D在AB的反向延长线上时，如图3。
同理可得：FA=DA。
则AB=BD-AD=BD-AF。
【考点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）通过等角的余角相等，可证明∠ABF=∠ADC，再根据“AAS”定理即可证明△ABF≌△ACD，从而得到AF=AD，即可得证； （2）画出图形后，同（1）中证明方法，可得到FA=DA，即可得出结论。
7. 如图，在△ABC中，AB=AC=10cm；BC=6cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B出发都逆时针沿△ABC三边运动，直接写出经过多少秒后，点P与点Q第一次在△ABC的那一条边上相遇．
【分析】（1）①根据SAS即可判断；
②利用全等三角形的性质，判断出对应边，根据时间．路程、速度之间的关系即可解决问题；
（2）求出Q的运动路程，与根据三角形ABC周长的整数倍进行比较，即可得出相遇点的位置．
【解答】解：（1）①△BPD与△CQP全等，
∵点P的运动速度是1cm/s，
∴点Q的运动速度是1cm/s，
∴运动1秒时，BP=CQ=1cm，
∵BC=6cm，
∴CP=5cm，
∵AB=10，D为AB的中点，
∴BD=5，
∴BD=CP，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△BPD≌△CQP．
②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则BP≠CQ，
若△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=3cm，BD=CQ=5cm，
此时，点P运动3cm，需3秒，而点Q运动5cm，
∴点Q的运动速度是cm/s．
（2）设经过t秒时，P、Q第一次相遇，
∵P的速度是1厘米/秒，Q的速度是厘米/秒，
∴10+10+t=t，
解得：t=30，
此时点Q的路程=30×=50（厘米），
∵50＜2×26，
∴此时点Q在BC上，
∴经过30秒后点P与点Q第一次在△ABC的边BC上相遇．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及数形结合思想的运用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．解题时注意全等三角形的对应边相等．
