备考2019中考数学高频考点剖析
专题十三 平面几何之线段数量关系问题
考点扫描☆聚焦中考
线段数量关系问题是平面几何中的基础性问题，是每年中考的单独考查的情况不是很多，往往融入到平面几何的综合性问题中，考查的知识点包括线段概念性问题、线段相等问题和线段和差计算问题三个方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要以三角形及其四边形问题综合考查为主。结合近几年来全国各地中考的实例，我们从三方面进行实数的概念和计算问题的探讨：
（1）线段概念性问题；
（2）线段和差问题；
（3）线段与几何图形综合性问题．
考点剖析☆典型例题
例1如图所示，已知线段AD＞BC，则线段AC与BD的关系是（ ）
A．AC＞BD B．AC＝BD C．AC＜BD D．不能确定
例2下列现象：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上；②植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一直线上了；③把原来弯曲的河道改直，以缩短路程；④现实生活中，总有一些人不愿意选择过街天桥而是直接横穿马路．
其中可以用数学“两点之间，线段最短”来解释的有 （填序号）．
例3如图，点C是线段AB上的一点，点D、E分别是线段AC、CB的中点．
（1）若AC=4cm，BC=2cm，求线段DE的长．
（2）若DE=5cm，求线段AB的长．
例4如图，点C在线段AB上，点D为线段CA的中点，点E为线段CB的中点．
（1）若AB＝6厘米，AC＝2厘米时，求DE的长；
（2）若只知道AB＝6厘米，其它条件都不变时，能否求出DE的长？如果能，请求出DE的长．
例5已知，A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且（ab+100）2+|a﹣20|=0，P是数轴上的一个动点．
（1）在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离．
（2）已知线段OB上有点C且|BC|=6，当数轴上有点P满足PB=2PC时，求P点对应的数．
（3）动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度第四次向右移动7个单位长度，…．点P能移动到与A或B重合的位置吗？若都不能，请直接回答．若能，请直接指出，第几次移动与哪一点重合．
考点过关☆专项突破
类型一 线段概念性问题
1. 线段AB=5cm，BC=2cm，则线段AC的长度是（?? ）
A、3cm B、7cm C、3cm或7cm D. 2cm
2. 如图，已知点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点，且AB=8cm，则MN的长度为（ ）cm．
A．2 B．3 C．4 D．6
3. 如图，M是线段AB的中点，NB为MB的四分之一，MN=a，则AB表示为（ ）
A． B． C．2a D．1.5a
4.如图，点C在线段AB上，AC=6cm，MB=10cm，点M，N分别为AC，BC的中点．
（1）求线段BC，MN的长；
（2）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=acm，M，N分别是线段AC，BC的中点，请画出图形，并用a的式子表示MN的长度．
5. 如图，已知线段AB和CD的公共部分BD=AB=CD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是10cm，求AB，CD的长．
6. 如图，点A，B，C是平面上三个点．
（1）按下列要求画图：
①画线段AB；②画射线CB；③反向延长线段AB；
④过点B作直线AC的垂线BD，垂足为点D；
（2）请你测量点B到直线AC的距离，大约是 cm．（精确到0.1cm）
7. 如图，点C是线段AB上一点，M、N分别是AB、CB的中点，AC＝8cm，NB＝5cm，求线段MN的长．
8. 已知线段AB=10cm，在直线AB上有一点C，且BC=4cm，点D是线段AC的中点，试求线段AD的长．
9. 已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点．
（1）若点P到点A、点B的距离相等，写出点P对应的数 ；
（2）若点P到点A，B的距离之和为6，那么点P对应的数 ；
（3）点A，B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时P点以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立刻以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？
类型二 线段和差问题
1. 如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
2．如图所示，A、B两点所对的数分别为a、b，则AB的距离为（ ）
A．a﹣b B．a+b C．b﹣a D．﹣a﹣b
3. 在直线l上顺次取A，B，C三点，且线段AB=5cm，BC=3cm，那么A，C两点间的距离是（ ）
A．8cm B．2cm C．2cm或8cm D．无法确定
4. 已知线段AB＝12cm，C为线段AB上任一点，E是AC的中点，F为BC的中点，求线段EF的长度．
5. 如图，已知线段a，b，用尺规作一条线段AB，使AB=2a﹣b（不写作法，保留作图痕迹）．
6．如图，点A、B、C在数轴上，O为原点，且BO：OC：CA＝2：1：5．
（1）如果点C表示的数是x，请直接写出点A、B表示的数；
（2）如果点A表示的数比点C表示的数两倍还大4，求线段AB的长．
7. 如图，点C是线段AB上一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．
（1）若AB=10cm，则MN= cm；
（2）若AC=3cm，CP=1cm，求线段PN的长．
8. 如图，P是线段AB上任一点，AB＝12cm，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2cm/s，D点的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts．
（1）若AP＝8cm，
①运动1s后，求CD的长；
②当D在线段PB上运动时，试说明AC＝2CD；
（2）如果t＝2s时，CD＝1cm，试探索AP的值．
9. 已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数﹣24，﹣10，10，动点P从A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示点P与A的距离：PA= 4t ；点P对应的数是 ；
（2）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，若P、Q同时出发，求：当点P运动多少秒时，点P和点Q间的距离为8个单位长度？
类型三 线段与几何图形综合性问题
1．已知线段a，b，c（a＞c），作线段AB，使AB＝a+b﹣c
2．新农村建设前，某乡在一条笔直的公路旁依次有A、B、D、E、F五个村庄（每相邻两个村庄之间有农田）．后来由于新农村建设需要，在该公路旁新建了C庄，已知C庄在A庄和F庄之间，B庄是A庄和C庄的中点，E庄是C庄和F庄的中点，D庄是B庄和E庄的中点．
（1）按题意画出大致示意图；
（2）若A庄和C庄相距4千米，C庄和F庄相距12千米，求C庄和D庄之间的距离；
（3）若A庄和F庄之间的距离是C庄和D庄之间距离的8倍，求A庄和C庄之间的距离与C庄和F庄之间的距离的比值是多少？
3. 如图，点C是线段AB上的一点，延长线段 AB到点D，使BD=CB．
（1）请依题意补全图形；
（2）若AD=7，AC=3，求线段DB的长．
4. 如图，已知数轴上点A表示的为8，B是数轴上一点，且AB=14，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点B表示的数 ，点P表示的数 （用含t的代数式表示）；
（2）动点H从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、H同时出发，问点P运动多少秒时追上点H？
5. 如图，点C在线段AB上，点D为线段CA的中点，点E为线段CB的中点．
（1）若AB＝6厘米，AC＝2厘米时，求DE的长；
（2）若只知道AB＝6厘米，其它条件都不变时，能否求出DE的长？如果能，请求出DE的长．
6. 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB=|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．
设运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
（1）填空：
①A、B两点间的距离AB= ，线段AB的中点表示的数为 ；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ﹣2+3t ；点Q表示的数为 ．
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
（3）求当t为何值时，PQ=AB；
（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
备考2019中考数学高频考点剖析
专题十三 平面几何之线段数量关系问题
考点扫描☆聚焦中考
线段数量关系问题是平面几何中的基础性问题，是每年中考的单独考查的情况不是很多，往往融入到平面几何的综合性问题中，考查的知识点包括线段概念性问题、线段相等问题和线段和差计算问题三个方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要以三角形及其四边形问题综合考查为主。结合近几年来全国各地中考的实例，我们从三方面进行实数的概念和计算问题的探讨：
（1）线段概念性问题；
（2）线段和差问题；
（3）线段与几何图形综合性问题．
考点剖析☆典型例题
例1如图所示，已知线段AD＞BC，则线段AC与BD的关系是（ ）
A．AC＞BD B．AC＝BD C．AC＜BD D．不能确定
【分析】根据图示和不等式的性质知：AD﹣CD＞BC﹣CD，即AC＞BD．
【解答】解：如图，∵线段AD＞BC，
∴AD﹣CD＞BC﹣CD，即AC＞BD．
故选：A．
【点评】本题考查了比较线段的长短．解题时，借用了不等式的基本性质：在不等式的两边同时减去同一个数或因式，不等式仍成立．
例2下列现象：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上；②植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一直线上了；③把原来弯曲的河道改直，以缩短路程；④现实生活中，总有一些人不愿意选择过街天桥而是直接横穿马路．
其中可以用数学“两点之间，线段最短”来解释的有 ③④ （填序号）．
【分析】直接利用线段的性质以及直线的性质分析得出答案．
【解答】解：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上，是两点确定一条直线；
②植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一直线上了，是两点确定一条直线；
③把原来弯曲的河道改直，以缩短路程，是两点之间，线段最短；
④现实生活中，总有一些人不愿意选择过街天桥而是直接横穿马路，是两点之间，线段最短；
故答案为：③④．
【点评】此题主要考查了线段的性质以及直线的性质，正确把握相关性质是解题关键．
例3如图，点C是线段AB上的一点，点D、E分别是线段AC、CB的中点．
（1）若AC=4cm，BC=2cm，求线段DE的长．
（2）若DE=5cm，求线段AB的长．
【解答】解：（1）∵点D、E分别是线段AC、CB的中点，
∴DC=AC，CE=BC，
∴DE=DC+CE=（AC+BC）．
又∵AC=4cm，BC=2cm，
∴DE=3cm；
（2）由（1）知，DE=DC+CE=（AC+BC）=AB．
∵DE=5cm，
∴AB=2DE=10cm．
例4如图，点C在线段AB上，点D为线段CA的中点，点E为线段CB的中点．
（1）若AB＝6厘米，AC＝2厘米时，求DE的长；
（2）若只知道AB＝6厘米，其它条件都不变时，能否求出DE的长？如果能，请求出DE的长．
【分析】（1）根据已知条件得到BC＝AB﹣AC＝4厘米，根据线段中点的定义得到CD＝AC＝1，CE＝BC＝2，求得DE＝CD+CE＝3厘米；
（2）根据点D为线段CA的中点，点E为线段CB的中点，得到CD＝AC，CE＝BC，根据线段的和差即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝6厘米，AC＝2厘米，
∴BC＝AB﹣AC＝4厘米，
∵点D为线段CA的中点，点E为线段CB的中点，
∴CD＝AC＝1，CE＝BC＝2，
∴DE＝CD+CE＝3厘米；
（2）能求出DE的长，
∵点D为线段CA的中点，点E为线段CB的中点，
∴CD＝AC，CE＝BC，
∴DE＝CD+CE＝（AC+BC）＝AB＝3cm．
【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段的中点的定义、正确运用数形结合思想是解题的关键．
例5已知，A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且（ab+100）2+|a﹣20|=0，P是数轴上的一个动点．
（1）在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B之间的距离．
（2）已知线段OB上有点C且|BC|=6，当数轴上有点P满足PB=2PC时，求P点对应的数．
（3）动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度第四次向右移动7个单位长度，…．点P能移动到与A或B重合的位置吗？若都不能，请直接回答．若能，请直接指出，第几次移动与哪一点重合．
【解答】解：（1）∵（ab+100）2+|a﹣20|=0，
∴ab+100=0，a﹣20=0，
∴a=20，b=﹣10，
∴AB=20﹣（﹣10）=30，
数轴上标出AB得：
（2）∵|BC|=6且C在线段OB上，
∴xC﹣（﹣10）=6，
∴xC=﹣4，
∵PB=2PC，
当P在点B左侧时PB＜PC，此种情况不成立，
当P在线段BC上时，
xP﹣xB=2（xc﹣xp），
∴xp+10=2（﹣4﹣xp），
解得：xp=﹣6，
当P在点C右侧时，
xp﹣xB=2（xp﹣xc），
xp+10=2xp+8，
xp=2，
综上所述P点对应的数为﹣6或2．
（3）第一次点P表示﹣1，第二次点P表示2，依次﹣3，4，﹣5，6…
则第n次为（﹣1）n?n，
点A表示20，则第20次P与A重合；
点B表示﹣10，点P与点B不重合．
考点过关☆专项突破
类型一 线段概念性问题
1. 线段AB=5cm，BC=2cm，则线段AC的长度是（?? ）
A、3cm B、7cm C、3cm或7cm D. 2cm
【考点】两点间的距离
【分析】根据题意画出图形，由于点C与线段AB的位置不能确定，所以应分点C在AB外和在AB之间两种情况进行讨论．
【解析】【解答】解：如图（一）所示， 当点C在线段AB外时，AC=AB+BC=5+2=7cm；
如图（二）所示，当点C在线段AB内时，AC=AB﹣BC=5﹣2=3cm．
故选C
2. 如图，已知点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点，且AB=8cm，则MN的长度为（ ）cm．
A．2 B．3 C．4 D．6
【考点】两点间的距离．
【分析】根据MN=CM+CN=AC+CB=（AC+BC）=AB即可求解．
【解答】解：∵M、N分别是AC、BC的中点，
∴CM=AC，CN=BC，
∴MN=CM+CN=AC+BC=（AC+BC）=AB=4．
故选C．
3. 如图，M是线段AB的中点，NB为MB的四分之一，MN=a，则AB表示为（ ）
A． B． C．2a D．1.5a
【分析】根据M是线段AB的中点可知，MB=，再由NB为MB的可知，MN=MB=a，再把两式相乘即可得出答案．
【解答】解：∵M是线段AB的中点，
∴MB=，
∵NB为MB的，
∴MN=MB=a，
∴×=a，
∴AB=．
故选：A．
【点评】本题考查的是线段上两点间的距离，比较简单．
4.如图，点C在线段AB上，AC=6cm，MB=10cm，点M，N分别为AC，BC的中点．
（1）求线段BC，MN的长；
（2）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=acm，M，N分别是线段AC，BC的中点，请画出图形，并用a的式子表示MN的长度．
【考点】两点间的距离．
【分析】（1）根据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用BC=MB﹣MC，MN=CM+CN即可求出线段BC，MN的长度即可．
（2）先画图，再根据线段中点的定义得MC=AC，NC=BC，然后利用MN=MC﹣NC得到MN=acm．
【解答】解：（1）∵M是AC的中点，
∴MC=AC=3cm，
∴BC=MB﹣MC=7cm，
又N为BC的中点，
∴CN=BC=3.5cm，
∴MN=MC+NC=6.5cm；
（2）如图：
∵M是AC的中点，
∴CM=AC，
∵N是BC的中点，
∴CN=BC，
∴MN=CM﹣CN=AC﹣BC=（AC﹣BC）=acm．
5. 如图，已知线段AB和CD的公共部分BD=AB=CD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是10cm，求AB，CD的长．
【分析】先设BD=xcm，由题意得AB=3xcm，CD=4xcm，AC=6xcm，再根据中点的定义，用含x的式子表示出AE和CF，再根据EF=AC﹣AE﹣CF=2.5x，且E、F之间距离是10cm，所以2.5x=10，解方程求得x的值，即可求AB，CD的长．
【解答】解：设BD=xcm，则AB=3xcm，CD=4xcm，AC=6xcm．
∵点E、点F分别为AB、CD的中点，∴AE=AB=1.5xcm，CF=CD=2xcm．
∴EF=AC﹣AE﹣CF=6x﹣1.5x﹣2x=2.5xcm．∵EF=10cm，∴2.5x=10，解得：x=4．
∴AB=12cm，CD=16cm．
【点评】本题主要考查了两点间的距离和中点的定义，注意运用数形结合思想和方程思想．
6. 如图，点A，B，C是平面上三个点．
（1）按下列要求画图：
①画线段AB；②画射线CB；③反向延长线段AB；
④过点B作直线AC的垂线BD，垂足为点D；
（2）请你测量点B到直线AC的距离，大约是 1.8 cm．（精确到0.1cm）
【分析】（1）根据线段、直线、射线、垂线的定义画出图象即可；
（2）利用刻度尺量出线段BD的长度即可；
【解答】解：（1）①线段AB如图所示；②射线CB如图所示；③反向延长线段AB如图所示；
④过点B作直线AC的垂线BD，垂足为点D如图所示；
（2）BD≈1.8cm，
故答案为1.8．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、点到直线的距离等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7. 如图，点C是线段AB上一点，M、N分别是AB、CB的中点，AC＝8cm，NB＝5cm，求线段MN的长．
【分析】根据N是CB的中点，NB＝5cm，求出BC的长，结合图形求出AB，根据线段中点的性质求出BM，计算即可．
【解答】解：∵N是CB的中点，NB＝5cm，
∴BC＝2BN＝10cm，
∵AC＝8cm，
∴AB＝AC+BC＝18cm，
∵M是AB的中点，
∴BM＝AB＝9cm，
∴MN＝BM﹣BN＝4cm．
【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
8. 已知线段AB=10cm，在直线AB上有一点C，且BC=4cm，点D是线段AC的中点，试求线段AD的长．
【解答】解：分两种情况：
①如图1，当点C在线段 AB上时，
AC=AB﹣BC=10﹣4=6cm．
∵点D是AC的中点，
∴AD=AC=3cm．
②如图2，当点C在线段 AB的延长线上时，
AC=AB+BC=10+4=14cm．
∵点D是AC的中点，
∴AD=AC=7cm．
9. 已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点．
（1）若点P到点A、点B的距离相等，写出点P对应的数 1 ；
（2）若点P到点A，B的距离之和为6，那么点P对应的数 ﹣2或4 ；
（3）点A，B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时P点以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立刻以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？
【分析】（1）若点P对应的数与﹣1、3差的绝对值相等，则点P到点A，点B的距离相等．
（2）根据当P在A的左侧以及当P在B的右侧分别求出即可；
（3）设经过x分钟点A与点B重合，根据点A比点B运动的距离多4，列出方程，求出x的值，即为点P运动的时间，再乘以点P运动的速度，可得点P经过的总路程．
【解答】解：（1）∵1﹣（﹣1）=2，2的绝对值是2，1﹣3=﹣2，﹣2的绝对值是2，
∴点P对应的数是1．
故答案为：1；
（2）当P在AB之间，PA+PB=4（不可能有），
当P在A的左侧，PA+PB=﹣1﹣x+3﹣x=6，得x=﹣2；
当P在B的右侧，PA+PB=x﹣（﹣1）+x﹣3=6，得x=4．
故点P对应的数为﹣2或4．
故答案为：﹣2或4；
（3）解：设经过x分钟点A与点B重合，根据题意得：
2x=4+x，
解得x=4，
∴6x=24．
答：点P所经过的总路程是24个单位长度．
【点评】本题考查了绝对值、路程问题、一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
10. 如图，已知点A、点B是直线上的两点，AB=12厘米，点C在线段AB上，且BC=4厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过多少秒时线段PQ的长为5厘米?
【解答】解：设运动时间为t秒．
①如果点P向左、点Q向右运动，
由题意，得：t+2t=5﹣4，
解得t=；
②点P、Q都向右运动，
由题意，得：2t﹣t=5﹣4，
解得t=1；
③点P、Q都向左运动，
由题意，得：2t﹣t=5+4，
解得t=9．
④点P向右、点Q向左运动，
由题意，得：2t﹣4+t=5，
解得t=3．
综上所述，经过或1或3秒时线段PQ的长为5厘米．
故答案为或1或3或9．
类型二 线段和差问题
1. 如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】根据公理“两点确定一条直线”来解答即可．
解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线．
故选：A．
【点评】此题考查的是直线的性质在实际生活中的运用，此类题目有利于培养学生生活联系实际的能力．
2．如图所示，A、B两点所对的数分别为a、b，则AB的距离为（ ）
A．a﹣b B．a+b C．b﹣a D．﹣a﹣b
【考点】两点间的距离．
【分析】根据AB两点之间的距离即为0到B的距离与0到A的距离之和，由数轴可知a＜0，b＞0，得出AB的距离为b﹣a．
【解答】解：∵A、B两点所对的数分别为a、b，
∵a＜0，b＞0，
∴AB之间的距离为b﹣a，
故选C．
3. 在直线l上顺次取A，B，C三点，且线段AB=5cm，BC=3cm，那么A，C两点间的距离是（ ）
A．8cm B．2cm C．2cm或8cm D．无法确定
【分析】将AB、BC的长度代入AC=AB+BC中，即可求出结论．
【解答】解：∵AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=AB+BC=8cm．
故选：A．
【点评】本题考查了两点间的距离，根据线段AB、BC、AC之间的关系求出A、C两点间的距离是解题的关键．
4. 已知线段AB＝12cm，C为线段AB上任一点，E是AC的中点，F为BC的中点，求线段EF的长度．
【分析】根据线段中点的定义由E是AC的中点，N是BC的中点得到EC＝AC，FC＝BC，则EC+FC＝（AC+BC）＝AB，即EF＝AB，然后把AB的长代入计算即可．
∵点C是线段AB上一点，E是AC的中点，N是BC的中点，
∴EC＝AC，FC＝BC，
∴EC+FC＝（AC+BC）＝AB，即EF＝AB，
∵AB＝12cm，
∴EF＝×12cm＝6cm．
【点评】本题考查了两点间的距离：两点间的线段的长度叫这两点间的距离．也考查了线段中点的定义，找出线段间的数量关系是解决此类问题的关键．
5. 如图，已知线段a，b，用尺规作一条线段AB，使AB=2a﹣b（不写作法，保留作图痕迹）．
【考点】作图—复杂作图．
【分析】首先作射线，再截取AD=DC=a，进而截取BC=b，即可得出AB=2a﹣b．
【解答】解：如图所示：线段AB即为所求．
6．如图，点A、B、C在数轴上，O为原点，且BO：OC：CA＝2：1：5．
（1）如果点C表示的数是x，请直接写出点A、B表示的数；
（2）如果点A表示的数比点C表示的数两倍还大4，求线段AB的长．
【分析】（1）根据BO：OC：CA＝2：1：5，点C表示的数是x，即可得到结论；
（2）设点C表示的数是y，则点A表示的数为6y，根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵BO：OC：CA＝2：1：5，点C表示的数是x，
∴点A、B表示的数分别为：6x，﹣2x；
（2）设点C表示的数是y，则点A表示的数为6y，
由题意得，6y＝2y+4，
解得：y＝1，
∴点C表示的数是1，点A表示的数是6，点B表示的数是﹣2，
∴AB＝8．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，根据线段的长度结合数轴找出各点表示的数是解题的关键．
7. 如图，点C是线段AB上一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．
（1）若AB=10cm，则MN= 5 cm；
（2）若AC=3cm，CP=1cm，求线段PN的长．
【解答】解：（1）∵M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=AC，CN=BC
MN=MC+CN=．
故填：5．
（2）∵AC=3，CP=1，
∴AP=AC+CP=4，
∵P是线段AB的中点，
∴AB=2AP=8
∴CB=AB﹣AC=5，
∵N是线段CB的中点，CN=CB=，
∴PN=CN﹣CP=．
8. 如图，P是线段AB上任一点，AB＝12cm，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，且C点的运动速度为2cm/s，D点的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts．
（1）若AP＝8cm，
①运动1s后，求CD的长；
②当D在线段PB上运动时，试说明AC＝2CD；
（2）如果t＝2s时，CD＝1cm，试探索AP的值．
【分析】（1）①先求出PB、CP与DB的长度，然后利用CD＝CP+PB﹣DB即可求出答案．②用t表示出AC、DP、CD的长度即可求证AC＝2CD；
（2）当t＝2时，求出CP、DB的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论．
解：（1）①由题意可知：CP＝2×1＝2cm，DB＝3×1＝3cm
∵AP＝8cm，AB＝12cm
∴PB＝AB﹣AP＝4cm
∴CD＝CP+PB﹣DB＝2+4﹣3＝3cm
②∵AP＝8，AB＝12，
∴BP＝4， AC＝8﹣2t，
∴DP＝4﹣3t，
∴CD＝DP+CP＝2t+4﹣3t＝4﹣t，
∴AC＝2CD；
（2）当t＝2时，
CP＝2×2＝4cm，DB＝3×2＝6cm，
当点D在C的右边时，如图所示：
由于CD＝1cm，
∴CB＝CD+DB＝7cm，
∴AC＝AB﹣CB＝5cm，
∴AP＝AC+CP＝9cm，
当点D在C的左边时，如图所示：
∴AD＝AB﹣DB＝6cm，
∴AP＝AD+CD+CP＝11cm
综上所述，AP＝9或11
【点评】本题考查两点间的距离，涉及列代数式，分类讨论的思想，属于中等题型．
9. 已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数﹣24，﹣10，10，动点P从A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示点P与A的距离：PA= 4t ；点P对应的数是 ﹣24+4t ；
（2）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，若P、Q同时出发，求：当点P运动多少秒时，点P和点Q间的距离为8个单位长度？
【解答】解：（1）PA=4t；点P对应的数是﹣24+4t；
故答案为：4t；﹣24+4t；
（2）
分两种情况：
当点P在Q的左边：4t+8=14+t，
解得：t=2；
当点P在Q的右边：4t=14+t+8，
解得：t=，
综上所述：当点P运动2秒或秒时，点P和点Q间的距离为8个单位长度．
类型三 线段与几何图形综合性问题
1．已知线段a，b，c（a＞c），作线段AB，使AB＝a+b﹣c
【分析】在射线AM上依次截取AB＝a，BC＝b，再截取CD＝c，则AD满足条件．
【解答】解：如图，AD为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
2．新农村建设前，某乡在一条笔直的公路旁依次有A、B、D、E、F五个村庄（每相邻两个村庄之间有农田）．后来由于新农村建设需要，在该公路旁新建了C庄，已知C庄在A庄和F庄之间，B庄是A庄和C庄的中点，E庄是C庄和F庄的中点，D庄是B庄和E庄的中点．
（1）按题意画出大致示意图；
（2）若A庄和C庄相距4千米，C庄和F庄相距12千米，求C庄和D庄之间的距离；
（3）若A庄和F庄之间的距离是C庄和D庄之间距离的8倍，求A庄和C庄之间的距离与C庄和F庄之间的距离的比值是多少？
【分析】（1）根据题意画图即可；
（2）根据线段中点的定义得到AB＝BC＝AC＝2km，EF＝CF＝6km，AF＝16km，根据线段的和差即可得到结论；
（3）设CD＝x，则AF＝8x，根据线段的中点的定义和线段的和差即可得到结论．
【解答】解：（1）大致示意图如图所示，
（2）∵B庄是A庄和C庄的中点，E庄是C庄和F庄的中点，AC＝4km，CF＝12km，
∴AB＝BC＝AC＝2km，EF＝CF＝6km，AF＝16km，
∴BE＝AF﹣AB﹣EF＝8km，
∵D庄是B庄和E庄的中点，
∴BD＝BE＝4km，
∴CD＝BD﹣BC＝2km；
（3）设CD＝x，
则AF＝8x，
∵B庄是A庄和C庄的中点，E庄是C庄和F庄的中点，
∴BE＝BC+CE＝AC+CF＝AF＝4x，
∵D庄是B庄和E庄的中点，
∴BD＝BE＝2x，
∴BC＝BD﹣CD＝3x，
∴AC＝2BC＝6x，
∴CF＝AF﹣AC＝2x，
∴A庄和C庄之间的距离与C庄和F庄之间的距离的比值是3．
【点评】本题考查了两点间的距离．理解线段的中点这一概念，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系，并根据图形求解．
3. 如图，点C是线段AB上的一点，延长线段 AB到点D，使BD=CB．
（1）请依题意补全图形；
（2）若AD=7，AC=3，求线段DB的长．
【分析】（1）根据BD=BC，可得答案；
（2）根据线段的和差，线段中点的性质，可得答案．
【解答】解：（1）补全图形；
（2）∵AD=7，AC=3，（已知）
∴CD=AD﹣AC=7﹣3=4．）
∵BD=CB，（已知）
∴B为CD中点．（中点定义）
∵B为CD中点，（已证）
∴BD=CD．（中点定义））
∵CD=4，（已证）
∴BD=×4=2．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键．
4. 如图，已知数轴上点A表示的为8，B是数轴上一点，且AB=14，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点B表示的数 ﹣6 ，点P表示的数 8﹣5t （用含t的代数式表示）；
（2）动点H从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、H同时出发，问点P运动多少秒时追上点H？
【解答】解：（1）∵OA=8，AB=14，
∴OB=6，
∴点B表示的数为﹣6，
∵PA=5t，
∴P点表示的数为8﹣5t，
故答案为﹣6，8﹣5t；
（2）根据题意得5t=14+3t，
解得t=7．
答：点P运动7秒时追上点H．
5. 如图，点C在线段AB上，点D为线段CA的中点，点E为线段CB的中点．
（1）若AB＝6厘米，AC＝2厘米时，求DE的长；
（2）若只知道AB＝6厘米，其它条件都不变时，能否求出DE的长？如果能，请求出DE的长．
【分析】（1）根据已知条件得到BC＝AB﹣AC＝4厘米，根据线段中点的定义得到CD＝AC＝1，CE＝BC＝2，求得DE＝CD+CE＝3厘米；
（2）根据点D为线段CA的中点，点E为线段CB的中点，得到CD＝AC，CE＝BC，根据线段的和差即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝6厘米，AC＝2厘米，
∴BC＝AB﹣AC＝4厘米，
∵点D为线段CA的中点，点E为线段CB的中点，
∴CD＝AC＝1，CE＝BC＝2，
∴DE＝CD+CE＝3厘米；
（2）能求出DE的长，
∵点D为线段CA的中点，点E为线段CB的中点，
∴CD＝AC，CE＝BC，
∴DE＝CD+CE＝（AC+BC）＝AB＝3cm．
【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段的中点的定义、正确运用数形结合思想是解题的关键．
6. 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB=|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．
设运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
（1）填空：
①A、B两点间的距离AB= 10 ，线段AB的中点表示的数为 3 ；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ﹣2+3t ；点Q表示的数为 8﹣2t ．
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
（3）求当t为何值时，PQ=AB；
（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
【考点】两点间的距离；数轴；绝对值；一元一次方程的应用．
【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等列方程得到t=2，于是得到当t=2时，P、Q相遇，即可得到结论；
（3）由t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，于是得到PQ=|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|=|5t﹣10|，列方程即可得到结论；
（4）由点M表示的数为 =﹣2，点N表示的数为 =+3，即可得到结论．
【解答】解：（1）①10，3；
②﹣2+3t，8﹣2t；
（2）∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等
∴﹣2+3t=8﹣2t，
解得：t=2，
∴当t=2时，P、Q相遇，
此时，﹣2+3t=﹣2+3×2=4，
∴相遇点表示的数为4；
（3）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，
∴PQ=|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|=|5t﹣10|，
又PQ=AB=×10=5，
∴|5t﹣10|=5，
解得：t=1或3，
∴当：t=1或3时，PQ=AB；
（4）∵点M表示的数为 =﹣2，
点N表示的数为 =+3，
∴MN=|（﹣2）﹣（+3）|=|﹣2﹣﹣3|=5．
