课件28张PPT。3 简单的轴对称图形
第1课时 等腰三角形第五章 生活中的轴对称第五章 生活中的轴对称课时作业(三十八)课时作业(三十八)D课时作业(三十八)A课时作业(三十八)D课时作业(三十八)D课时作业(三十八)B课时作业(三十八)B课时作业(三十八)30°课时作业(三十八)72°课时作业(三十八)37课时作业(三十八)6课时作业(三十八)课时作业(三十八)课时作业(三十八)课时作业(三十八)课时作业(三十八)课时作业(三十八)课时作业(三十八)课时作业(三十八)课时作业(三十八)课时作业(三十八)课时作业(三十八)课时作业(三十八)课时作业(三十八)课时作业(三十八)课时作业(三十八)课时作业(三十八)课时作业(三十八)
[第五章 3 第1课时 等腰三角形]
一、选择题
1．如图K－38－1，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，下列结论中不正确的是( )
A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD
图K－38－1
2．如图K－38－2，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是( )
A．18° B．24° C．30° D．36°
图K－38－2
3．等腰三角形有一个角为80°，则它的底角度数为 ( )
A．80° B．50° C．40° D．80°或50°
4．2017·烟台 某城市几条道路的位置关系如图K－38－3所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为( )
A．48° B．40° C．30° D．24°
图K－38－3
5．如图K－38－4，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC，若∠BAD＝110°，则∠BAC的度数为( )
A．30° B．40°
C．50° D．70°
图K－38－4
6．如图K－38－5所示，在等边三角形ABC中，AO，BO，CO是△ABC三个内角的平分线，O是其交点，则∠1＋∠2等于( )
A．60° B．150° C．30° D．120°
图K－38－5
二、填空题
7．2018·湘潭 如图K－38－6，在等边三角形ABC中，D是边BC的中点，则∠BAD的度数为________．
图K－38－6
8. 如图K－38－7所示，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，交AB于点D，∠A＝36°，则∠BDC的度数为________．
图K－38－7
9．2018·长春 如图K－38－8，在△ABC中，AB＝AC.以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连接BD.若∠A＝32°，则∠CDB的大小为________度.
图K－38－8
10．2018·娄底 如图K－38－9，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3 cm，则BF＝________ cm.
图K－38－9
三、解答题
11．如图K－38－10，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，∠B＝30°.求∠ADC和∠BAD的度数．
图K－38－10
12．如图K－38－11，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°，求∠DAC的度数．
图K－38－11
13．已知：如图K－38－12，点C，D在△ABE的边BE上，BC＝ED，AB＝AE.试说明：AC＝AD.
图K－38－12
14．如图K－38－13所示，取等边三角形ABC的边AC的中点D，在BC的延长线上取一点E，使CE＝CD.试说明：∠DBE＝∠E.
图K－38－13
15．如图K－38－14所示，要在公路MN旁修建一个货物中转站，分别向A，B两个开发区运货，若要求货物中转站到A，B两个开发区的距离和最小，则货物中转站P应修建在何处？并说明理由.
图K－38－14
如图K－38－15，在△ABC中，AB＝AC.
(1)如图①，如果∠BAD＝30°，AD是BC边上的高，AD＝AE，那么∠EDC＝________；
(2)如图②，如果∠BAD＝40°，AD是BC边上的高，AD＝AE，那么∠EDC＝________；
(3)思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？并说明理由．
图K－38－15
详解详析
[课堂达标]
1．[解析] D 因为△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，所以∠B＝∠C(故A项正确)，AD⊥BC(故B项正确)，∠BAD＝∠CAD(故C项正确)．无法得到AB＝2BD(故D项不正确)．故选D.
2．A 3.D
4．[解析] D 因为AB∥CD，所以∠DFE＝∠BAE＝48°，所以∠EFC＝180°－48°＝132°.因为CF＝EF，所以∠C＝∠E，所以∠C＝×(180°－132°)＝×48°＝24°.
5．B
6．[解析] B AO，BO，CO是△ABC三个内角的平分线，根据等边三角形的内角均为60°，得∠2＝30°，∠ABO＝∠BAO＝30°，由三角形内角和定理知，∠1＝120°，所以∠1＋∠2＝120°＋30°＝150°.
7．[答案] 30°
[解析] 因为△ABC是等边三角形，所以∠BAC＝60°，AB＝AC.又因为D是边BC的中点，所以∠BAD＝∠BAC＝30°.故答案是30°.
8．72°
9．[答案] 37
[解析] 因为AB＝AC，∠A＝32°，所以∠ABC＝∠ACB＝74°，所以∠BCD＝106°.又因为BC＝DC，所以∠CDB＝∠CBD＝37°.故答案为37.
10．[答案] 6
[解析] 因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB.
又因为AD⊥BC，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，
所以△ADB≌△ADC，所以S△ABC＝2S△ABD＝2×AB·DE＝AB·DE＝3AB.
因为S△ABC＝AC·BF，所以AC·BF＝3AB.
因为AC＝AB，所以BF＝3，所以BF＝6(cm)．故答案为6.
11．[解析] 由已知AB＝AC，D是BC边的中点，可得AD为三角形的高，在直角三角形中，可求解各个角的度数．
解： 因为AB＝AC，D是BC边的中点，
所以AD⊥BC，即∠ADC＝∠ADB＝90°.
又因为∠B＝30°，
所以∠BAD＝60°.
12．[解析] 由AB＝AC得∠C＝∠B，利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数，则∠DAC＝∠BAC－∠DAB，问题获解．
解：因为AB＝AC，所以∠B＝∠C＝30°.
因为∠C＋∠BAC＋∠B＝180°，
所以∠BAC＝180°－30°－30°＝120°.
又因为∠DAB＝45°，
所以∠DAC＝∠BAC－∠DAB＝120°－45°＝75°.
13. 解：因为AB＝AE，
所以∠B＝∠E.
在△ACB和△ADE中，
因为AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，
所以△ACB≌△ADE，
所以AC＝AD.
14．[解析] 根据等边三角形的性质得到∠DBC＝30°，∠ACB＝60°，再根据角之间的关系可得到∠DBC＝∠E＝30°.
解： 因为△ABC是等边三角形，
所以∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC.
因为D为AC边的中点，
所以∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°.
因为DC＝CE，
所以∠E＝∠EDC.
因为∠ACB＋∠ACE＝∠ACE＋∠E＋∠EDC，
所以∠ACB＝∠E＋∠EDC＝60°，
所以∠E＝∠EDC＝30°，所以∠DBE＝∠E.
15．[解析] 要在MN上求一点P，使得PA＋PB最小，可以把PA＋PB连成一条线段，因为两点之间线段最短，为此可作A(或B)关于直线MN的对称点A′(或B′)，连接BA′(或AB′)交MN于点P，则点P就是所求作的点，利用三角形三边关系定理可以说明这样做的理由．
解： ①作点A关于直线MN的对称点A′；
②连接BA′交MN于点P，
则点P就是货物中转站的位置(如图所示)．
理由：在直线MN上另取一点P′，连接A′P′，AP′，BP′.
因为直线MN是点A，A′的对称轴，点P，P′在对称轴上，所以PA＝PA′，P′A＝P′A′，
所以PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B.
在△A′P′B中，
因为A′B＜P′A′＋P′B＝P′A＋P′B，
所以PA＋PB＜P′A＋P′B，
即PA＋PB最小．
[素养提升]
解：(1)因为在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，所以∠ADC＝90°，∠BAD＝∠CAD.因为∠BAD＝30°，所以∠BAD＝∠CAD＝30°.因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝75°，所以∠EDC＝15°.
(2)因为在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，所以∠ADC＝90°，∠BAD＝∠CAD.因为∠BAD＝40°，所以∠BAD＝∠CAD＝40°.因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝70°，所以∠EDC＝20°.
(3)∠BAD＝2∠EDC(或∠EDC＝∠BAD)．
理由如下：
因为∠AED＋∠CED＝180°，∠CDE＋∠C＋∠CED＝180°，
所以∠AED＝∠CDE＋∠C.
同理，∠ADC＝∠B＋∠BAD.
因为AD＝AE，
所以∠AED＝∠ADE.
因为AB＝AC，
所以∠B＝∠C，
所以∠B＋∠BAD＝∠CDE＋∠C＋∠CDE，
所以∠BAD＝2∠CDE.
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第2课时 线段的垂直平分线第五章 生活中的轴对称第五章 生活中的轴对称课时作业(三十九)B课时作业(三十九)D课时作业(三十九)C课时作业(三十九)A课时作业(三十九)课时作业(三十九)D课时作业(三十九)课时作业(三十九)35°课时作业(三十九)50°课时作业(三十九)课时作业(三十九)27课时作业(三十九)10课时作业(三十九)课时作业(三十九)课时作业(三十九)课时作业(三十九)课时作业(三十九)课时作业(三十九)课时作业(三十九)课时作业(三十九)课时作业(三十九)课时作业(三十九)课时作业(三十九)课时作业(三十九)
[第五章 3 第2课时 线段的垂直平分线]
一、选择题
1．如图K－39－1所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长为( )
A．6 B．5
C．4 D．3
图K－39－1
2．如图K－39－2所示，C是线段AB的垂直平分线上的一点，垂足为D，则下列结论中正确的有( )
①AD＝BD；②AC＝BC；③∠A＝∠B；④∠ACD＝∠BCD；⑤∠ADC＝∠BDC＝90°.
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
图K－39－2
3．如图K－39－3，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝20°，DE是边AC的垂直平分线，交BC于点E，连接AE，则∠BAE等于( )
A．20° B．40°
C．50° D．70°
图K－39－3
4．如图K－39－4，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，分别交BC，AC于点D，E，△ABC的周长为19 cm，△ABD的周长为13 cm，则AE的长为( )
A．3 cm B．6 cm
C．12 cm D．16 cm
图K－39－4
5．如图K－39－5，O是△ABC的两条垂直平分线的交点，∠BAC＝70°，则∠BOC等于( )
A．120° B．125° C．130° D．140°
图K－39－5
二、填空题
6．如图K－39－6，直线PC是AB的垂直平分线，垂足为C，且∠A＝35°，则∠B＝________．
图K－39－6
7．如图K－39－7，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC＝15°，则∠A的度数是________．
图K－39－7
8．如图K－39－8，已知在Rt△ABC中，斜边AB的垂直平分线DE交边AC于点D，且∠CBD∶∠ABD＝4∶3，那么∠A＝________度．
图K－39－8
9．如图K－39－9，在△ABC中，若PM，QN分别垂直平分AB，AC，如果BC＝10 cm，则△APQ的周长为________cm.
图K－39－9
三、解答题
10．如图K－39－10，A，B，C是三个新建的居民小区．现要在到三个小区距离相等的地方修建一所学校，试确定学校的位置.
图K－39－10
11．如图K－39－11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D.
试说明：∠CAB＝∠AED.
图K－39－11
12．如图K－39－12，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，求∠DBC的度数．
图K－39－12
13．如图K－39－13，在△ABC中，BC边的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，CE平分∠ACB.
(1)若△ABC的周长为20，BD＝4，求△ACE的周长；
(2)若∠B＝36°，求∠A的度数．
图K－39－13
分类讨论思想 已知A，B两点在线段EF的中垂线上，且∠EAF＝100°，∠EBF＝70°，求∠AEB的度数．
详解详析
[课堂达标]
1．[解析] B 因为直线CD是线段AB的垂直平分线，所以PA＝PB＝5.
2．[解析] D ①和⑤由线段垂直平分线的定义可以直接推出；由线段垂直平分线的性质可得到②；由△ADC≌△BDC可得到③和④.
3．[解析] C 因为∠ABC＝90°，∠C＝20°，所以∠BAC＝70°.因为DE是边AC的垂直平分线，
所以EC＝EA，所以∠EAC＝∠C＝20°，所以∠BAE＝∠BAC－∠EAC＝50°.
4．[解析] A 因为DE是AC的垂直平分线，所以AD＝CD.因为△ABC的周长为19 cm，△ABD的周长为13 cm，所以AB＋BC＋AC＝19 cm，AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋CD＝AB＋BC＝13 cm，所以AC＝6 cm.因为DE是AC的垂直平分线，所以AE＝AC＝3 cm，故选A.
5．[解析] D 因为O是△ABC的两条垂直平分线的交点，所以OA＝OB＝OC，所以∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB.因为∠BAC＝70°，所以∠OBA＋∠OCA＝70°，∠OBC＋∠OCB＝40°，所以∠BOC＝180°－40°＝140°.故选D.
6．35°
7．[答案] 50°
[解析] 因为MN是AB的垂直平分线，
所以AD＝BD，所以∠A＝∠ABD.
因为∠DBC＝15°，所以∠ABC＝∠A＋15°.
因为AB＝AC，所以∠C＝∠ABC＝∠A＋15°，
所以∠A＋∠A＋15°＋∠A＋15°＝180°，
解得∠A＝50°.
8．[答案] 27
[解析] 因为AB的垂直平分线DE交边AC于点D，所以AD＝BD，所以∠A＝∠ABD.设∠CBD＝4x，∠ABD＝3x，则∠A＝3x.因为∠C＝90°，所以∠A＋∠ABC＝3x＋4x＋3x＝90°，所以10x＝90°，所以x＝9°，所以∠A＝3x＝27°，故答案为27.
9．[答案] 10
[解析] 因为PM，QN分别垂直平分AB，AC，所以AP＝PB，QA＝QC，所以△APQ的周长＝AP＋PQ＋QA＝PB＋PQ＋QC＝BC＝10(cm)．
10．解：①连接AB，AC，
②作AB，AC的垂直平分线相交于点P，
点P就是学校的位置．
11．解：因为DE是AB的垂直平分线，所以AE＝BE，所以∠EAB＝∠B.因为∠C＝90°，所以∠CAB＋∠B＝90°.
又因为∠AED＋∠EAB＝90°，所以∠CAB＝∠AED.
12．解：因为AB＝AC，∠A＝30°，所以∠ABC＝∠C＝75°.因为AB的垂直平分线MN交AC于点D，所以AD＝BD，所以∠ABD＝∠A＝30°，所以∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝45°.
13．解：(1)因为BC边的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，BD＝4，
所以BE＝CE，BC＝2BD＝8.
因为△ABC的周长为20，
所以AB＋AC＝20－8＝12，
所以△ACE的周长为AE＋CE＋AC＝AE＋BE＋AC＝AB＋AC＝12.
(2)因为BE＝CE，∠B＝36°，
所以∠ECB＝∠B＝36°.
因为CE平分∠ACB，
所以∠ACB＝2∠ECB＝72°，
所以∠A＝180°－∠B－∠ACB＝72°.
[素养提升]
解：如图．(1)若A，B在EF的同侧．因为A，B两点在线段EF的中垂线上，所以AE＝AF，BE＝BF.因为∠EAF＝100°，∠EBF＝70°，所以∠BEF＝55°，∠AEF＝40°，所以∠AEB＝∠BEF－∠AEF＝15°.
(2)若A′，B在EF的异侧．因为A′，B两点在线段EF的中垂线上，所以A′E＝A′F，BE＝BF.因为∠EA′F＝100°，∠EBF＝70°，所以∠BEF＝55°，∠A′EF＝40°，所以∠A′EB＝∠BEF＋∠A′EF＝95°.
综上，∠AEB的度数为95°或15°.
课件22张PPT。3 简单的轴对称图形
第3课时 角平分线第五章 生活中的轴对称第五章 生活中的轴对称课时作业(四十)D课时作业(四十)A课时作业(四十)C课时作业(四十)D课时作业(四十)14课时作业(四十)PQ≥2课时作业(四十)4∶5∶6课时作业(四十)4课时作业(四十)课时作业(四十)8课时作业(四十)课时作业(四十)课时作业(四十)课时作业(四十)课时作业(四十)课时作业(四十)课时作业(四十)课时作业(四十)课时作业(四十)课时作业(四十)课时作业(四十)课时作业(四十)
[第五章 3 第3课时 角平分线]
一、选择题
1．2018·梧州 如图K－40－1，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是( )
A．2 B．3
C．4 D．6
图K－40－1
2.如图K－40－2，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DB＝5，BC＝8，则DE的长为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
图K－40－2
3．如图K－40－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，若CD＝4，AC＝12，AB＝15，则△ABC的面积为( )
A．48 B．50
C．54 D．60
图K－40－3
4.如图K－40－4，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E，且OE＝3，则AB与CD之间的距离为( )
A．3 B．3.5
C．4 D．6
图K－40－4
二、填空题
5．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝32，且BD∶CD＝9∶7，则点D到AB的距离为________．
6．如图K－40－5，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ长的取值范围是________．
图K－40－5
7.如图K－40－6，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝________．
图K－40－6
8．如图K－40－7，l1，l2，l3是三条两两相交的公路，现需修建一个仓库，要求仓库到三条公路的距离相等，则仓库的可能地址有________处.
图K－40－7
9．如图K－40－8，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝8.对角线BD⊥CD，P是BC边上一动点，连接PD.若∠ADB＝∠C，则PD长的最小值为__________．
图K－40－8
三、解答题
10．如图K－40－9，P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D.试说明：CE＝DE.
图K－40－9
11．如图K－40－10，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝6 cm，求△DEB的周长.
图K－40－10
12．如图K－40－11，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，交AC于点E，DE垂直平分AB，垂足为D.试说明：BE＋DE＝AC.
图K－40－11
13．如图K－40－12所示，已知∠B＝∠C＝90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，试说明：M是BC的中点．
图K－40－12
如图K－40－13，在长江流域有两条河流OA和OB在点O处交汇，点M为一水文观测站，现要建一营地，使其到两条河流的距离相等，且到观测站M和河流交汇点O的距离也相等，营地建好后，从观测站到营地不需要过河．请你在所给的图形上确定这个营地的位置．
图K－40－13
详解详析
[课堂达标]
1．[解析] D 因为BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，所以DE＝DF＝6，故选D.
2．A
3．[解析] C 过点D作DE⊥AB于点E.因为AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，所以DE＝CD＝4，所以△ABC的面积为AC·CD＋AB·DE＝54.
4．D
5．14 [解析] 如图，过点D作DE⊥AB于点E.
因为BC＝32，BD∶CD＝9∶7，
所以CD＝32×＝14.
因为∠C＝90°，AD平分∠BAC，
所以DE＝CD＝14.
即点D到AB的距离为14.
故答案为14.
6．PQ≥2
7．[答案] 4∶5∶6
[解析] 过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F.因为AO，BO，CO分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，所以OD＝OE＝OF.因为△ABC的三边AB，BC，AC的长分别为40，50，60，所以S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝(AB·OD)∶(BC·OF)∶(AC·OE)＝AB∶BC∶AC＝40∶50∶60＝4∶5∶6.故答案为4∶5∶6.
8．[答案] 4
[解析] 如图所示，满足条件的有：(1)三角形两个内角平分线的交点，共一处；(2)外角平分线的交点，共三处．
9．8
10．解：因为P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，所以PC＝PD，∠POC＝∠POD.因为∠POC＋∠CPE＝90°，∠POD＋∠DPE＝90°，所以∠CPE＝∠DPE.
在△CPE和△DPE中，PC＝PD，∠CPE＝∠DPE，PE＝PE，
所以△CPE≌△DPE(SAS)，所以CE＝DE.
11．解：因为DE⊥AB，所以∠C＝∠AED＝90°.
因为AD平分∠CAB，所以∠CAD＝∠EAD.
在△ACD和△AED中，
∠C＝∠AED，∠CAD＝∠EAD，AD＝AD，
所以△ACD≌△AED(AAS)，
所以AC＝AE，CD＝DE，
所以BD＋DE＝BD＋CD＝BC＝AC＝AE，
所以BD＋DE＋BE＝AE＋BE＝AB＝6(cm)，
所以△DEB的周长为6 cm.
12．解：因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC.
又因为DE⊥AB，BE平分∠ABC，
所以CE＝DE.
因为DE垂直平分AB，所以AE＝BE.
因为AE＋CE＝AC，所以BE＋DE＝AC.
13．解：过点M作MN⊥AD于点N.
因为DM平分∠ADC，∠C＝90°，MN⊥AD，
所以MN＝MC.
因为AM平分∠DAB，∠B＝90°，MN⊥AD，
所以MN＝MB，所以MB＝MC，
即M是BC的中点．
[素养提升]
解： 如图．作法如下：
①作∠AOB的平分线OP；
②作线段OM的垂直平分线EF，交OP于点Q.则点Q即为所求作的营地的位置．
