课时跟踪检测（七） 函数的最大(小)值与导数
层级一 学业水平达标
1．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)( )
A．有最大值 B．有最小值
C．是增函数 D．是减函数
解析：选A f′(x)＝2－＝，
令f′(x)＝0，得x＝－.
当x<－时，f′(x)>0，当－
2．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( )
A．12，－8 B．1，－8
C．12，－15 D．5，－16
解析：选A y′＝6x2－6x－12，
由y′＝0?x＝－1或x＝2(舍去)．
x＝－2时，y＝1；x＝－1时，
y＝12；x＝1时，y＝－8.
∴ymax＝12，ymin＝－8.故选A.
3．函数f(x)＝2＋，x∈(0,5]的最小值为( )
A．2 B．3
C. D．2＋
解析：选B 由f′(x)＝－＝＝0，得x＝1，
且x∈(0,1)时，f′(x)＜0，x∈(1,5]时，f′(x)＞0，
∴x＝1时，f(x)最小，最小值为f(1)＝3.
4．函数y＝的最大值为( )
A．e－1 B．e
C．e2 D．10
解析：选A 令y′＝＝＝0?x＝e.当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时，y′＞0，所以y极大值＝f(e)＝e－1，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝e－1.
5．函数y＝x＋2cos x在上取最大值时，x的值为( )
A．0 B.
C. D.
解析：选B y′＝1－2sin x，令y′＝0，得sin x＝，
∵x∈，∴x＝. 由y′>0得sin x<，
∴0≤x<；由y′<0得sin x>，∴∴原函数在上单调递增，在上单调递减．当x＝0时，y＝2，当x＝时，y＝，当x＝时，y＝＋，∵＋>2>，∴当x＝时取最大值，故应选B.
6．函数f(x)＝x2－(x<0)的最小值是________．
解析：f′(x)＝2x＋.令f′(x)＝0，知x＝－3.
当x<－3时，f′(x)<0；
当－30.
所以当x＝－3时，f(x)取得极小值，也是最小值，
所以f(x)min＝27.
答案：27
7．函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最小值为________．
解析：f′(x)＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)．
令f′(x)＝0，得x＝1(e－x＞0)，
∴f(1)＝＞0，f(0)＝0，f(4)＝＞0，
所以f(x)的最小值为0.
答案：0
8．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________.
解析：∵f′(x)＝3x2－3，
∴当x＞1或x＜－1时，f′(x)＞0；
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.
∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增．
∴f(x)min＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n.
又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0)＜f(3)．
∴f(x)max＝f(3)＝18－a＝m，
∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.
答案：20
9．已知k为实数，f(x)＝(x2－4)(x＋k)．
(1)求导函数f′(x)；
(2)若x＝－1是函数f(x)的极值点，求f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值．
解：(1)∵f(x)＝x3＋kx2－4x－4k，
∴f′(x)＝3x2＋2kx－4.
(2)由f′(－1)＝0，得k＝－.
∴f(x)＝x3－x2－4x＋2，f′(x)＝3x2－x－4.
由f′(x)＝0，得x＝－1或x＝.
又f(－2)＝0，f(－1)＝，f＝－，f(2)＝0，
∴f(x)在区间[－2,2]上的最大值为，最小值为－.
10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x＋1.
(1)求a，b的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．
解：(1)依题意可知点P(1，f(1))为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，f(1)＝3×1＋1＝4，
∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，
又由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得，
又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
而由切线y＝3x＋1的斜率可知f′(1)＝3，
∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0，
由解得
∴a＝2，b＝－4.
(2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝或x＝－2.
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x
－3
(－3，－2)
－2
1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
8
?
极大值
?
极小值
?
4
∴f(x)的极大值为f(－2)＝13，极小值为f＝，
又f(－3)＝8，f(1)＝4，
∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13.
层级二 应试能力达标
1．函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为( )
A．0 B.
C. D.
解析：选C f′(x)＝＝，
当x∈[2,4]时，f′(x)<0，
即函数f(x)在[2,4]上是单调递减函数，
故当x＝4时，函数f(x)有最小值.
2．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( )
A．[0,1) B．(0,1)
C．(－1,1) D.
解析：选B ∵f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2，又∵x∈(0,1)，∴0＜a＜1，故选B.
3．若函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )
A．－10 B．－71
C．－15 D．－22
解析：选B f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．由f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.
4．已知当x∈时，函数f(x)＝tx－sin x(t∈R)的值恒小于零，则t的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A f(x)＝tx－sin x<0在x∈内恒成立，即t<在内恒成立，
令g(x)＝，则g′(x)＝.
令φ(x)＝xcos x－sin x，则φ′(x)＝－xsin x，
当x∈时，φ′(x)<0，∴φ(x)在上单调递减，
∴φ(x)<φ(0)＝0，∴sin x>xcos x，∴g′(x)<0，
∴g(x)在内单调递减，∴t≤＝.
5．已知函数f(x)＝x＋cos x，x∈，当f(x)取得最大值时，x的值为________．
解析：由题意知f′(x)＝1－sin x≥0恒成立，
所以f(x)＝x＋cos x在上是增函数．
所以当x＝时，f(x)取得最大值．
答案：
6．已知函数f(x)＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a＝________.
解析：f′(x)＝－2x－2，令f′(x)＝0，得x＝－1，∴函数在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．若a＞－1，则最大值为f(a)＝－a2－2a＋3＝，解得a＝－；若a≤－1，则最大值为f(－1)＝－1＋2＋3＝4≠.综上知，a＝－.
答案：－
7．已知a≠0，函数f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)．若对任意x∈[－2,1]，不等式f(x)<32恒成立，求a的取值范围．
解：因为f(x)＝ax(x2－4x＋4)＝ax3－4ax2＋4ax.
所以f′(x)＝3ax2－8ax＋4a＝a(3x2－8x＋4)
＝a(3x－2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝或x＝2(舍去)，
当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．
故f(x)的最大值为f＝a<32，即a<27.
所以0当a<0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，又f(－2)＝－32a>f(1)＝a.
所以f(x)的最大值为f(－2)＝－32a<32，即a>－1.
所以－1综上可得，a的取值范围为(－1,0)∪(0,27)．
8．已知函数f(x)＝ax－－3ln x，其中a为常数．
(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在上的最小值；
(2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围．
解：(1)因为f′(x)＝a＋－，所以f′＝a＝1，
故f(x)＝x－－3ln x，则f′(x)＝.
由f′(x)＝0得x＝1或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
2
(2,3)
3
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
1－3ln 2
?
从而在上，f(x)有最小值，
且最小值为f(2)＝1－3ln 2.
(2)f′(x)＝a＋－＝(x＞0)，
由题设可得方程ax2－3x＋2＝0有两个不等的正实根，
不妨设这两个根为x1，x2，且x1≠x2，
则解得0＜a＜.
故所求a的取值范围为.
第3课时 函数的最大(小)值与导数
1．函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
[点睛] 对函数最值的三点说明
(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值．若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．
(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念．
(3)函数y＝f(x)在[a，b]上连续，是函数y＝f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分而非必要条件．
2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a,_b)内的极值．
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
[点睛] 函数极值与最值的关系
(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．
(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个．
(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( )
(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )
(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )
A．－2 B．0 C．2 D．4
答案：C
3．函数f(x)＝3x＋sin x在x∈[0，π]上的最小值为________．
答案：1
4．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．
答案：(－4，－2)
求函数的最值
[典例] 求下列函数的最值．
(1)f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈[－2，＋∞)；
(2)f(x)＝sin 2x－x，x∈.
[解] (1)f′(x)＝12x2＋6x－36，令f′(x)＝0，
得x＝－2或x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－2
f′(x)
0
－
0
＋
f(x)
57
?
－
?
所以f(x)在上为减函数，在上为增函数．
因此，函数f(x)在[－2，＋∞)上只有最小值－，无最大值．
(2)f′(x)＝2cos 2x－1.
令f′(x)＝2cos 2x－1＝0，
解得x＝或x＝－.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
－
－
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
?
?
－
由上表可知f(x)的最大值是，最小值是－.
求函数最值的4个步骤
[注意] 求函数最值时不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．
[活学活用]
已知函数f(x)＝＋ln x，求f(x)在上的最大值和最小值．
解：易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∵f(x)＝＋ln x＝－1＋ln x，
∴f′(x)＝－＋＝.
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x变化时，f′(x)与f(x)在上的变化情况如下表：
x
1
(1,2)
2
f′(x)
－
0
＋
f(x)
1－ln 2
?
0
?
－＋ln 2
∴在上，当x＝1时，f(x)取得极小值，也是最小值，且f(1)＝0.
又f＝1－ln 2，f(2)＝－＋ln 2，
∴f－f(2)＝－2ln 2＝×(3－4ln 2)＝ln >0，∴f>f(2)，
∴f(x)在上的最大值为f ＝1－ln 2，最小值为f(1)＝0.
由函数的最值求参数的取值范围
[典例] 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
[解] 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数函数，与题设矛盾．
f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
(1)当a>0，则x变化时，f′(x)，f(x)在[－1,2]上的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
?
b
?
－16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
(2)当a<0，则x变化时，f′(x)，f(x)在[－1,2]上的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
－
0
＋
f(x)
－7a＋b
?
b
?
－16a＋b
当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，
∴f(0)＝b＝－29，
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
已知函数最值求参数的步骤
(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值；
(2)通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值；
(3)结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
[活学活用]
已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值．
解：由题意知f′(x)＝4－＝.
又x>0，a>0，令f′(x)＝0，得x＝，
当0时，f′(x)>0.
故f(x)在上单调递减，在上单调递增，
即当x＝时，f(x)取得最小值，则＝3，解得a＝36.
与最值有关的恒成立问题
[典例] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1处都取得极值．
(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间．
(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)[解] (1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
因为f′(1)＝3＋2a＋b＝0，f′＝－a＋b＝0，解得a＝－，b＝－2，
所以f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
所以函数f(x)的单调递增区间为和(1，＋∞)；单调递减区间为.
(2)由(1)知，f(x)＝x3－x2－2x＋c，x∈[－1,2]，当x＝－时，f＝＋c为极大值，
因为f(2)＝2＋c，所以f(2)＝2＋c为最大值．
要使f(x)f(2)＝2＋c，
解得c<－1或c>2.
故c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
[一题多变]
1．[变设问]若本例中条件不变，“把(2)中对x∈[－1,2]，不等式f(x)解：由典例解析知当x＝1时，f(1)＝c－为极小值，
又f(－1)＝＋c>c－，
所以f(1)＝c－为最小值．
因为存在x∈[－1,2]，不等式f(x)所以只需c2>f(1)＝c－，即2c2－2c＋3＞0，
解得c∈R.
2．[变条件，变设问]已知函数f(x)＝x3＋ax＋b(a，b∈R)在x＝2处取得极小值－.
(1)求f(x)的单调递增区间．
(2)若f(x)≤m2＋m＋在[－4,3]上恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)f′(x)＝x2＋a，由f′(2)＝0，得a＝－4；
再由f(2)＝－，得b＝4.
所以f(x)＝x3－4x＋4，f′(x)＝x2－4.
令f′(x)＝x2－4>0，得x>2或x<－2.
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．
(2)因为f(－4)＝－，f(－2)＝，f(2)＝－，
f(3)＝1，
所以函数f(x)在[－4,3]上的最大值为.
要使f(x)≤m2＋m＋在[－4,3]上恒成立，
只需m2＋m＋≥，
解得m≥2或m≤－3.
所以实数m的取值范围是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
恒成立问题向最值转化的方法
(1)要使不等式f(x)f(x)max，则上面的不等式恒成立．
(2)要使不等式f(x)>h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数f(x)的最小值f(x)min，只要f(x)min>h，则不等式f(x)>h恒成立．
层级一 学业水平达标
1．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)( )
A．有最大值 B．有最小值
C．是增函数 D．是减函数
解析：选A f′(x)＝2－＝，
令f′(x)＝0，得x＝－.
当x<－时，f′(x)>0，当－2．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( )
A．12，－8 B．1，－8
C．12，－15 D．5，－16
解析：选A y′＝6x2－6x－12，
由y′＝0?x＝－1或x＝2(舍去)．
x＝－2时，y＝1；x＝－1时，
y＝12；x＝1时，y＝－8.
∴ymax＝12，ymin＝－8.故选A.
3．函数f(x)＝2＋，x∈(0,5]的最小值为( )
A．2 B．3
C. D．2＋
解析：选B 由f′(x)＝－＝＝0，得x＝1，
且x∈(0,1)时，f′(x)＜0，x∈(1,5]时，f′(x)＞0，
∴x＝1时，f(x)最小，最小值为f(1)＝3.
4．函数y＝的最大值为( )
A．e－1 B．e
C．e2 D．10
解析：选A 令y′＝＝＝0?x＝e.当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时，y′＞0，所以y极大值＝f(e)＝e－1，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝e－1.
5．函数y＝x＋2cos x在上取最大值时，x的值为( )
A．0 B.
C. D.
解析：选B y′＝1－2sin x，令y′＝0，得sin x＝，
∵x∈，∴x＝. 由y′>0得sin x<，
∴0≤x<；由y′<0得sin x>，∴∴原函数在上单调递增，在上单调递减．当x＝0时，y＝2，当x＝时，y＝，当x＝时，y＝＋，∵＋>2>，∴当x＝时取最大值，故应选B.
6．函数f(x)＝x2－(x<0)的最小值是________．
解析：f′(x)＝2x＋.令f′(x)＝0，知x＝－3.
当x<－3时，f′(x)<0；
当－30.
所以当x＝－3时，f(x)取得极小值，也是最小值，
所以f(x)min＝27.
答案：27
7．函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最小值为________．
解析：f′(x)＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)．
令f′(x)＝0，得x＝1(e－x＞0)，
∴f(1)＝＞0，f(0)＝0，f(4)＝＞0，
所以f(x)的最小值为0.
答案：0
8．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________.
解析：∵f′(x)＝3x2－3，
∴当x＞1或x＜－1时，f′(x)＞0；
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.
∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增．
∴f(x)min＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n.
又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0)＜f(3)．
∴f(x)max＝f(3)＝18－a＝m，
∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.
答案：20
9．已知k为实数，f(x)＝(x2－4)(x＋k)．
(1)求导函数f′(x)；
(2)若x＝－1是函数f(x)的极值点，求f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值．
解：(1)∵f(x)＝x3＋kx2－4x－4k，
∴f′(x)＝3x2＋2kx－4.
(2)由f′(－1)＝0，得k＝－.
∴f(x)＝x3－x2－4x＋2，f′(x)＝3x2－x－4.
由f′(x)＝0，得x＝－1或x＝.
又f(－2)＝0，f(－1)＝，f＝－，f(2)＝0，
∴f(x)在区间[－2,2]上的最大值为，最小值为－.
10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x＋1.
(1)求a，b的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．
解：(1)依题意可知点P(1，f(1))为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，f(1)＝3×1＋1＝4，
∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，
又由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得，
又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
而由切线y＝3x＋1的斜率可知f′(1)＝3，
∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0，
由解得
∴a＝2，b＝－4.
(2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝或x＝－2.
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x
－3
(－3，－2)
－2
1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
8
?
极大值
?
极小值
?
4
∴f(x)的极大值为f(－2)＝13，极小值为f＝，
又f(－3)＝8，f(1)＝4，
∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13.
层级二 应试能力达标
1．函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为( )
A．0 B.
C. D.
解析：选C f′(x)＝＝，
当x∈[2,4]时，f′(x)<0，
即函数f(x)在[2,4]上是单调递减函数，
故当x＝4时，函数f(x)有最小值.
2．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( )
A．[0,1) B．(0,1)
C．(－1,1) D.
解析：选B ∵f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2，又∵x∈(0,1)，∴0＜a＜1，故选B.
3．若函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )
A．－10 B．－71
C．－15 D．－22
解析：选B f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．由f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.
4．已知当x∈时，函数f(x)＝tx－sin x(t∈R)的值恒小于零，则t的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A f(x)＝tx－sin x<0在x∈内恒成立，即t<在内恒成立，
令g(x)＝，则g′(x)＝.
令φ(x)＝xcos x－sin x，则φ′(x)＝－xsin x，
当x∈时，φ′(x)<0，∴φ(x)在上单调递减，
∴φ(x)<φ(0)＝0，∴sin x>xcos x，∴g′(x)<0，
∴g(x)在内单调递减，∴t≤＝.
5．已知函数f(x)＝x＋cos x，x∈，当f(x)取得最大值时，x的值为________．
解析：由题意知f′(x)＝1－sin x≥0恒成立，
所以f(x)＝x＋cos x在上是增函数．
所以当x＝时，f(x)取得最大值．
答案：
6．已知函数f(x)＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a＝________.
解析：f′(x)＝－2x－2，令f′(x)＝0，得x＝－1，∴函数在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．若a＞－1，则最大值为f(a)＝－a2－2a＋3＝，解得a＝－；若a≤－1，则最大值为f(－1)＝－1＋2＋3＝4≠.综上知，a＝－.
答案：－
7．已知a≠0，函数f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)．若对任意x∈[－2,1]，不等式f(x)<32恒成立，求a的取值范围．
解：因为f(x)＝ax(x2－4x＋4)＝ax3－4ax2＋4ax.
所以f′(x)＝3ax2－8ax＋4a＝a(3x2－8x＋4)
＝a(3x－2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝或x＝2(舍去)，
当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．
故f(x)的最大值为f＝a<32，即a<27.
所以0当a<0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，又f(－2)＝－32a>f(1)＝a.
所以f(x)的最大值为f(－2)＝－32a<32，即a>－1.
所以－1综上可得，a的取值范围为(－1,0)∪(0,27)．
8．已知函数f(x)＝ax－－3ln x，其中a为常数．
(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在上的最小值；
(2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围．
解：(1)因为f′(x)＝a＋－，所以f′＝a＝1，
故f(x)＝x－－3ln x，
则f′(x)＝.
由f′(x)＝0得x＝1或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
2
(2,3)
3
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
1－3ln 2
?
从而在上，f(x)有最小值，
且最小值为f(2)＝1－3ln 2.
(2)f′(x)＝a＋－＝(x＞0)，
由题设可得方程ax2－3x＋2＝0有两个不等的正实根，
不妨设这两个根为x1，x2，且x1≠x2，
则解得0＜a＜.
故所求a的取值范围为.
课件28张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(七)”
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