回扣验收特训（一） 导数及其应用
1．下面求导运算正确的是( )
A．(2x)′＝2xlog2e
B．(x3sin x)′＝3x2cos x
C.′＝－
D．(x＋log3x)′＝1＋
解析：选D (2x)′＝2xln 2，(x3sin x)′＝3x2sin x＋x3·cos x，′＝，(x＋log3x)′＝1＋，所以选D.
2．已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d有极值，则c的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意得f′(x)＝x2－x＋c，若函数f(x)有极值，则Δ＝1－4c＞0，解得c＜.
3．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )
A．(2,3) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
解析：选B 因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，又f′(x)＝6x2＋2ax＋36，所以f′(2)＝0，解得a＝－15.令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．
4．已知f(x)＝3x2＋ln x，则 ＝( )
A．7 B．
C．21 D．－21
解析：选C ∵f′(x)＝6x＋，
∴ ＝3
＝3f′(1)＝21，选C.
5．函数y＝ln x－x在x∈(0，e]上的最大值为( )
A．e B．1
C．－1 D．－e
解析：选C 函数y＝ln x－x的定义域为(0，＋∞)，又y′＝－1＝，令y′＝0得x＝1，当x∈(0,1)时，y′>0，函数单调递增；当x∈(1，e)时，y′<0，函数单调递减．当x＝1时，函数取得最大值－1，故选C.
6．已知函数f(x)＝－x3＋2x2＋2x，若存在满足0≤x0≤3的实数x0，使得曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x＋my－10＝0垂直，则实数m的取值范围是( )
A．[6，＋∞) B．(－∞，2]
C．[2,6] D．[5,6]
解析：选C f′(x)＝－x2＋4x＋2＝－(x－2)2＋6，因为x0∈[0,3]，所以f′(x0)∈[2,6]，又因为切线与直线x＋my－10＝0垂直，所以切线的斜率为m，所以m的取值范围是[2,6]．
7．曲线y＝在点M处的切线方程为________．
解析：∵y′＝′＝，
∴切线的斜率k＝y′＝－.
∴所求切线的方程为y－0＝－，
即y＝－x＋1.
答案：y＝－x＋1
8．函数f(x)＝12x－x3在区间[－3,3]上的最小值是________．
解析：f′(x)＝12－3x2.
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
因为f(－3)＝－9，f(－2)＝－16，f(2)＝16，f(3)＝9，
所以函数f(x)在区间[－3,3]上的最小值是－16.
答案：－16
9．设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1＜2＜x2，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意得f′(x)＝3x2－4ax＋a2的两个零点x1，x2满足x1＜2＜x2，所以f′(2)＝12－8a＋a2＜0，解得2＜a＜6.
答案：(2,6)
10．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2＋4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x－3.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极小值．
解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x＋4.
∵曲线在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x－3.
∴f(0)＝－3，f′(0)＝2，
∴解得
(2)由(1)，知f(x)＝ex(x－3)－x2＋4x，
f′(x)＝ex(x－2)－2x＋4＝(x－2)(ex－2)．
令f′(x)＝0，得x＝ln 2或x＝2.
∴当x∈(－∞，ln 2)∪(2，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(ln 2,2)时，f′(x)<0，
故f(x)在(－∞，ln 2)，(2，＋∞)上单调递增，在(ln 2,2)上单调递减．
∴当x＝2时，函数f(x)取得极小值，且极小值为f(2)＝4－e2.
11．某工厂某种产品的年产量为1 000x吨，其中x∈[20,100]，需要投入的成本为C(x)(单位：万元)，当x∈[20,80]时，C(x)＝x2－30x＋500；当x∈(80,100]时，C(x)＝.若每吨商品售价为万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(单位：万元)关于x的函数关系式；
(2)年产量为多少吨时，该厂所获利润最大？
解：(1)由题意，知L(x)＝1 000ln x－C(x)＝
(2)当x∈[20,80]时，L′(x)＝－，
由L′(x)≥0，得20≤x≤50；由L′(x)≤0，得50≤x≤80，
∴L(x)在[20,50]上单调递增，在[50,80]上单调递减，
∴当x＝50时，L(x)max＝1 000ln 50－250；
当x∈(80,100]时，L(x)＝1 000ln x－单调递增，
∴L(x)max＝1 000ln 100 －2 000.
∵1 000ln 50－250－(1 000ln 100－2 000)＝1 750－1 000ln 2>1 750－1 000>0，
∴当x＝50，即年产量为50 000吨时，利润最大，最大利润为(1 000ln 50－250)万元．
12．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的导函数为h(x)，f(x)的图象在点(－2，f(－2))处的切线方程为3x－y＋4＝0，且h′＝0，又直线y＝x是函数g(x)＝kxex的图象的一条切线．
(1)求函数f(x)的解析式及k的值；
(2)若f(x)≤g(x)－m＋1对于任意x∈[0，＋∞)恒成立，求m的取值范围．
解：(1)由f(x)＝ax3＋bx2＋cx，
可知h(x)＝f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
由f(x)在(－2，f(－2))处的切线方程为3x－y＋4＝0
可知，f(－2)＝－8a＋4b－2c＝－2，①
f′(－2)＝12a－4b＋c＝3，②
又由h′(x)＝6ax＋2b可知，
h′＝－4a＋2b＝0，③
由①②③，解得a＝，b＝1，c＝1，
即f(x)的解析式为f(x)＝x3＋x2＋x.
由题意，g(x)＝kxex与y＝x相切可知函数在原点或(－ln k，－ln k)处切线斜率为1.
因为g′(x)＝k(ex＋xex)，
所以g′(0)＝k＝1或g′(－ln k)＝1，得k＝1.
综上可得k的值为1.
(2)若f(x)≤g(x)－m＋1对任意x∈[0，＋∞)恒成立，即x3＋x2＋x≤xex－m＋1恒成立，
则m－1≤xex－x3－x2－x恒成立．
设t(x)＝xex－x3－x2－x
＝x，
令p(x)＝ex－x2－x－1，p′(x)＝ex－x－1，
再令φ(x)＝ex－x－1，φ′(x)＝ex－1＝0，解得x＝0.
所以当x∈[0，＋∞)时，φ′(x)≥0，
所以φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以φ(x)≥φ(0)＝0，即p′(x)≥0，
所以p(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以p(x)≥p(0)＝0，
所以当x∈[0，＋∞)时，t(x)≥0恒成立，且t(0)＝0，
因此只需m－1≤0即可，则m≤1.
所以m的取值范围为(－∞，1]．
复习课(一) 导数及其应用
导数的概念及几何意义的应用
(1)近几年的高考中，导数的几何意义和切线问题是常考内容，各种题型均有可能出现，一般难度较小．
(2)利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点．
(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；
(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；
(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝求解．
[典例] (2017·天津高考)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．
[解析] 因为f′(x)＝a－，所以f′(1)＝a－1，又f(1)＝a，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0，得y＝1.
[答案] 1
[类题通法]
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．
(2)如果已知点不是切点，则应先出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
[注意] 曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，例如，y＝x3在(1,1)处的切线l与y＝x3的图象还有一个交点(－2，－8)．
1．曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为( )
A．y＝3x－1 B．y＝－3x－1
C．y＝3x＋1 D．y＝－2x－1
解析：选A 因为y′＝ex＋xex＋2，所以曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线的斜率k＝y′＝3，∴切线方程为y＝3x－1.
2．已知曲线y＝x3－1与曲线y＝3－x2在x＝x0处的切线互相垂直，则x0的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D y＝x3－1?y′＝3x2，y＝3－x2?y′＝－x，由题意得3x·(－x0)＝－1，解得x＝，即x0＝＝，故选D.
导数与函数的单调性
题型既有选择题、填空题也有解答题，若以选择题、填空题的形式出现，则难度以中、低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主，主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性等问题。
函数的单调性与导函数值的关系
若函数f(x)在(a，b)内可导，则f′(x)在(a，b)任意子区间内部不恒等于0.
f′(x)＞0?函数f(x)在(a，b)上单调递增；
f′(x)＜0?函数f(x)在(a，b)上单调递减．
反之，函数f(x)在(a，b)上单调递增?f′(x)≥0；函数f(x)在(a，b)上单调递减?f′(x)≤0.即f′(x)＞0(f′(x)＜0)是f(x)为增(减)函数的充分不必要条件．
特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．
[典例] (2017·全国卷Ⅲ节选)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x，讨论f(x)的单调性．
[解] f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝.
若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a＜0，则当x∈时，f′(x)＞0；
当x∈时，f′(x)＜0.
故f(x)在上单调递增，在上单调递减．
[类题通法]
求函数的单调区间的方法步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)计算函数f(x)的导数f′(x)．
(3)解不等式f′(x)＞0，得到函数f(x)的递增区间；解不等式f′(x)＜0，得到函数f(x)的递减区间．
[注意] 求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误．
1．函数f(x)＝2x2－ln x的递增区间是( )
A. B.和
C. D.和
解析：选C 由题意得f′(x)＝4x－＝，且x>0，由f′(x)>0，即4x2－1>0，解得x>.故选C.
2．已知函数f(x)＝－x2＋2x－aex.
(1)若a＝1，求f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)若f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝－x2＋2x－ex，
则f(1)＝－×12＋2×1－e＝－e，
f′(x)＝－x＋2－ex，f′(1)＝－1＋2－e＝1－e，
故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－＝(1－e)(x－1)，即y＝(1－e)x＋.
(2)∵f(x)在R上是增函数，∴f′(x)≥0在R上恒成立，
∵f(x)＝－x2＋2x－aex，∴f′(x)＝－x＋2－aex，
于是有不等式－x＋2－aex≥0在R上恒成立，
即a≤在R上恒成立，
令g(x)＝，则g′(x)＝，
令g′(x)＝0，解得x＝3，列表如下：
x
(－∞，3)
3
(3，＋∞)
g′(x)
－
0
＋
g(x)
减
极小值－
增
故函数g(x)在x＝3处取得极小值，亦即最小值，
即g(x)min＝－，所以a≤－，
即实数a的取值范围是.
导数与函数的极值、最值
从高考运用情况看，利用导数研究函数极值、最值是导数应用的核心部分，年年高考都有考查，多以解答题形式考查，难度相对较大．
1．导数与函数单调性、极值的关系
(1)f′(x)>0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．
(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
2．利用导数求函数极值应注意三点
(1)求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则；
(2)f′(x0)＝0时，x0不一定是极值点；
(3)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论．
[典例] (2017·北京高考)已知函数f(x)＝excos x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
[解] (1)因为f(x)＝excos x－x，
所以f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0.
又因为f(0)＝1，
所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)设h(x)＝ex(cos x－sin x)－1，
则h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2exsin x.
当x∈时，h′(x)＜0，
所以h(x)在区间上单调递减．
所以对任意x∈，有h(x)＜h(0)＝0，
即f′(x)＜0.
所以函数f(x)在区间上单调递减．
因此f(x)在区间上的最大值为f(0)＝1，
最小值为f＝－.
[类题通法]
1．求函数的极值的方法
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值．
2．求函数的最值的方法
(1)求f(x)在(a，b)内的极值．
(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较得出函数f(x)在[a，b]上的最值．
1．函数f(x)＝1＋3x－x3( )
A．有极小值，无极大值 B．无极小值，有极大值
C．无极小值，无极大值 D．有极小值，有极大值
解析：选D f′(x)＝－3x2＋3，由f′(x)＝0，得x＝±1.当x∈(－1,1)时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递增区间为(－1,1)；同理，f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，∴当x＝－1时，函数有极小值－1，当x＝1时，函数有极大值3，故选D.
2．已知函数f(x)＝(x≥1)，
(1)试判断函数f(x)的单调性，并说明理由；
(2)若f(x)≥恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)f′(x)＝－，
∵x≥1，∴ln x≥0，∴f′(x)≤0.
故函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减．
(2)∵x≥1，
∴f(x)≥?≥k，
令g(x)＝，
∴g′(x)＝＝.
再令h(x)＝x－ln x，则h′(x)＝1－.
∵x≥1，则h′(x)≥0，
∴h(x)在[1，＋∞)上单调递增．
∴[h(x)]min＝h(1)＝1>0，从而g′(x)>0，
故g(x)在[1，＋∞)上单调递增，
∴[g(x)]min＝g(1)＝2，∴k≤2.
故实数k的取值范围为(－∞，2].
生活中的优化问题
优化问题是导数在实际生活中的应用之一，高考中有所体现，既可以以小题形式考查，也可以解答题形式考查，难度中低档．
[解答思路]
[典例] 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π 元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域．
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
[解] (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，
所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
又据题意知200πrh＋160πr2＝12 000π，
所以h＝(300－4r2)，
从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因为r＞0，又由h＞0可得r＜5，
故函数V(r)的定义域为(0,5)．
(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，
所以V′(r)＝(300－12r2)．
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因r2＝－5不在定义域内，舍去)．
当r∈(0,5)时，V′(r)＞0，
故V(r)在(0,5)上为增函数；
当r∈(5,5)时，V′(r)＜0，
故V(r)在(5,5)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
[类题通法]
利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法
(1)分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系y＝f(x)，根据实际问题确定y＝f(x)的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根．
(3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值．
1．书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分________次进货、每次进__________册，可使所付的手续费与库存费之和最少．
解析：设每次进书x千册(0＜x＜150)，手续费与库存费之和为y元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量一半，即，故有y＝×30＋×40，
y′＝－＋20＝，
∴当0＜x＜15时，y′＜0，当15＜x＜150时，y′＞0.
故当x＝15时，y取得最小值，
此时进货次数为＝10(次)．
即该书店分10次进货，每次进15 000册书，所付手续费与库存费之和最少．
答案：10 15 000
2．一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？
解：设轮船速度为x(x＞0)千米/时的燃料费用为Q元，则Q＝kx3，由6＝k×103，可得k＝.∴Q＝x3.
∴总费用y＝·＝x2＋.
∵y′＝－.令y′＝0，得x＝20.
∴当x∈(0,20)时，y′＜0，此时函数单调递减，
当x∈(20，＋∞)时，y′＞0，此时函数单调递增．
∴当x＝20时，y取得最小值，
∴此轮船以20千米/时的速度行驶每千米的费用总和最小．
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