课时跟踪检测（十一） 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
层级一 学业水平达标
1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于( )
A．－1＋i B．1－i
C．i D．－i
解析：选A 原式＝1－i－2－i＋3i＝－1＋i.
2．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )
A．－2 B．4
C．3 D．－4
解析：选B z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B.
3．复数z1＝－3＋i，z2＝1－i，则复数z＝z1－z2在复平面内所对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B ∵z1＝－3＋i，z2＝1－i，
∴复数z＝z1－z2＝－3＋i－(1－i)＝－4＋2i，
其在复平面内对应的点的坐标为(－4,2)，位于第二象限．
4．已知复数z满足z＋2i－5＝7－i，则|z|＝( )
A．12 B．3
C．3 D．9
解析：选C 由题意知z＝7－i－(2i－5)＝12－3i，
∴|z|＝＝3.
5．设向量，，对应的复数分别为z1，z2，z3，那么( )
A．z1＋z2＋z3＝0 B．z1－z2－z3＝0
C．z1－z2＋z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0
解析：选D ∵＋＝，∴z1＋z2＝z3，即z1＋z2－z3＝0.
6．已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝__________，y＝__________.
解析：x＋4＋(x＋y)i＝(y－1)＋(3x－1)i
∴解得
答案：6 11
7．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.
解析：|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝ ＝5.
答案：5
8．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4，则a＋b＝________.
解析：∵z1－z2＝a＋(a＋1)i－[－3b＋(b＋2)i]＝＋(a－b－1)i＝4，
由复数相等的条件知
解得∴a＋b＝3.
答案：3
9．计算：
(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
解：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)
＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i＝－1－8i.
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]
＝5i－(4＋i)
＝－4＋4i.
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i
＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i
＝－a＋(4b－3)i(a，b∈R)．
10．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.
解：∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，
∴z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i＝5－6i，
∴解得
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
层级二 应试能力达标
1．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( )
A．3 B．2
C．1 D．－1
解析：选D z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.
∵在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，
∴1＋a＝0，∴a＝－1.
2．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是( )
A．2＋4i B．－2＋4i
C．－4＋2i D．4－2i
解析：选D 依题意有＝＝－.而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，故对应的复数为4－2i.
3．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
解析：选A 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C距离相等，∴P为△ABC的外心．
4．复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为( )
A．3－2 B.－1
C．3＋2 D.＋1
解析：选D |z1－z2|＝|(1＋icos θ)－(sin θ－i)|＝＝＝≤ ＝＋1.
5．设复数z满足z＋|z|＝2＋i，则z＝________.
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝ .
∴x＋yi＋＝2＋i.
∴解得∴z＝＋i.
答案：＋i
6．在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么对应的复数为________．
解析：＝－＝－(＋)＝3＋2i－(－2＋i＋1＋5i)＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i＝4－4i.
答案：4－4i
7．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2＝13－2i，求z1，z2.
解：z＝z1－z2
＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]
＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
因为z＝13－2i，且x，y∈R，
所以
解得
所以z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.
8．已知复平面内的平行四边形ABCD中，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
解：(1)∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
∴向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又∵＝＋，
∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
∵＝，
∴向量对应的复数为3－i，
即＝(3，－1)．
设D(x，y)，
则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
∴
解得
∴点D对应的复数为5.
(2)∵·＝||||cos B，
∴cos B＝＝＝.
∵0∴sin B＝，
∴S?ABCD＝||||sin B＝××＝7，
∴平行四边形ABCD的面积为7.
第1课时 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
复数的加、减法法则及几何意义与运算律
z1，z2，z3∈C，设，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)相对应，且，不共线
加法
减法
运算
法则
z1＋z2
＝(a＋c)＋(b＋d)i
z1－z2
＝(a－c)＋(b－d)i
几何
意义
复数的和z1＋z2与向量＋＝的坐标对应
复数的差z1－z2与向量－＝的坐标对应
运算律
交换律
z1＋z2＝
结合律
(z1＋z2)＋z3
＝z1＋(z2＋z3)
[点睛] 对复数加、减法几何意义的理解
它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)复数与向量一一对应．( )
(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )
(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于( )
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
答案：B
3．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||等于( )
A. B．2
C. D．4
答案：B
4．(5－i)－(3－i)－5i＝________.
答案：2－5i
复数代数形式的加、减运算
[典例] (1)计算：＋(2－i)－.
(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.
[解] (1)＋(2－i)－＝＋i＝1＋i.
(2)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
因为z＋1－3i＝5－2i，
所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，
即x＋1＝5且y－3＝－2，
解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.
法二：因为z＋1－3i＝5－2i，
所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.
复数代数形式的加、减法运算技巧
(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．
(2)算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减．
(3)复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．
[活学活用]
1．－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝________.
解析：－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝－i＋1－5i－2－3i－i＋1＝－10i.
答案：－10i
2．已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________.
解析：由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是纯虚数，所以解得a＝3.
答案：3
复数加减运算的几何意义
[典例] 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：
(1)表示的复数；
(2)对角线表示的复数；
(3)对角线表示的复数．
[解] (1)因为＝－，所以表示的复数为－3－2i.
(2)因为＝－，所以对角线表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为对角线＝＋，所以对角线表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
复数与向量的对应关系的两个关注点
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的．
(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变．
[活学活用]
已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于O点．
(1)求对应的复数；
(2)求对应的复数．
解：(1)由于四边形ABCD是平行四边形，所以＝＋，于是＝－，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，即对应的复数是－2＋2i.
(2)由于＝－，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，所以对应的复数是5.
复数模的最值问题
[典例] (1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是( )
A．1 B.
C．2 D.
(2)若复数z满足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．
[解析] (1)设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，
因为|z＋i|＋|z－i|＝2，
|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1.
所以|z＋i＋1|min＝1.
[答案] A
(2)如图所示，||＝＝2.
所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.
[一题多变]
1．[变条件、变设问]若本例题(2)条件改为已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值．
解：因为|z|＝1且z∈C，作图如图：
所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，所以|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝2－1.
2．[变条件]若题(2)中条件不变，求|z－|2＋|z－2i|2的最大值和最小值．
解：如图所示，在圆面上任取一点P，与复数zA＝，zB＝2i对应点A，B相连，得向量，，再以，为邻边作平行四边形．
P为圆面上任一点，zP＝z，
则2||2＋2||2＝||2＋(2||)2＝7＋4||2，(平行四边形四条边的平方和等于对角线的平方和)，
所以|z－|2＋|z－2i|2＝.
而max＝|O′M|＋1＝1＋，
min＝|O′M|－1＝－1.
所以|z－|2＋|z－2i|2的最大值为27＋2，最小值为27－2.
层级一 学业水平达标
1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于( )
A．－1＋i B．1－i
C．i D．－i
解析：选A 原式＝1－i－2－i＋3i＝－1＋i.
2．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )
A．－2 B．4
C．3 D．－4
解析：选B z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B.
3．复数z1＝－3＋i，z2＝1－i，则复数z＝z1－z2在复平面内所对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B ∵z1＝－3＋i，z2＝1－i，
∴复数z＝z1－z2＝－3＋i－(1－i)＝－4＋2i，
其在复平面内对应的点的坐标为(－4,2)，位于第二象限．
4．已知复数z满足z＋2i－5＝7－i，则|z|＝( )
A．12 B．3
C．3 D．9
解析：选C 由题意知z＝7－i－(2i－5)＝12－3i，
∴|z|＝＝3.
5．设向量，，对应的复数分别为z1，z2，z3，那么( )
A．z1＋z2＋z3＝0 B．z1－z2－z3＝0
C．z1－z2＋z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0
解析：选D ∵＋＝，∴z1＋z2＝z3，即z1＋z2－z3＝0.
6．已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝__________，y＝__________.
解析：x＋4＋(x＋y)i＝(y－1)＋(3x－1)i
∴解得
答案：6 11
7．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.
解析：|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝ ＝5.
答案：5
8．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4，则a＋b＝________.
解析：∵z1－z2＝a＋(a＋1)i－[－3b＋(b＋2)i]＝＋(a－b－1)i＝4，
由复数相等的条件知
解得∴a＋b＝3.
答案：3
9．计算：
(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
解：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)
＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i＝－1－8i.
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]
＝5i－(4＋i)
＝－4＋4i.
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i
＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i
＝－a＋(4b－3)i(a，b∈R)．
10．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.
解：∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，
∴z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i＝5－6i，
∴解得
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
层级二 应试能力达标
1．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( )
A．3 B．2
C．1 D．－1
解析：选D z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.
∵在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，
∴1＋a＝0，∴a＝－1.
2．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是( )
A．2＋4i B．－2＋4i
C．－4＋2i D．4－2i
解析：选D 依题意有＝＝－.而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，故对应的复数为4－2i.
3．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
解析：选A 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C距离相等，∴P为△ABC的外心．
4．复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为( )
A．3－2 B.－1
C．3＋2 D.＋1
解析：选D |z1－z2|＝|(1＋icos θ)－(sin θ－i)|＝＝＝≤ ＝＋1.
5．设复数z满足z＋|z|＝2＋i，则z＝________.
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝ .
∴x＋yi＋＝2＋i.
∴解得∴z＝＋i.
答案：＋i
6．在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么对应的复数为________．
解析：＝－＝－(＋)＝3＋2i－(－2＋i＋1＋5i)＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i＝4－4i.
答案：4－4i
7．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2＝13－2i，求z1，z2.
解：z＝z1－z2
＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]
＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
因为z＝13－2i，且x，y∈R，
所以
解得
所以z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.
8．已知复平面内的平行四边形ABCD中，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
解：(1)∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
∴向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又∵＝＋，
∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
∵＝，
∴向量对应的复数为3－i，
即＝(3，－1)．
设D(x，y)，
则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
∴
解得
∴点D对应的复数为5.
(2)∵·＝||||cos B，
∴cos B＝＝＝.
∵0∴sin B＝，
∴S?ABCD＝||||sin B＝××＝7，
∴平行四边形ABCD的面积为7.
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