课时跟踪检测（十二）复数代数形式的乘除运算
层级一 学业水平达标
1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( )
A．6－4i B．－6－4i
C．6＋4i D．－6＋4i
解析：选D (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.
2．(2017·山东高考)已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝( )
A．－2i B．2i
C．－2 D．2
解析：选A ∵zi＝1＋i，∴z＝＝＋1＝1－i.
∴z2＝(1－i)2＝1＋i2－2i＝－2i.
3．复数＝( )
A．－1 B．1
C．－i D．i
解析：选A ＝＝－1.
4．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )
A．－1 024 B．1 024
C．0 D．512
解析：选C (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.
5．若a为实数，且＝3＋i，则a＝( )
A．－4 B．－3
C．3 D．4
解析：选D ＝＝＋i＝3＋i，
所以解得a＝4，故选D.
6．设复数z＝1＋i，则z2－2z＝________.
解析：∵z＝1＋i，
∴z2－2z＝z(z－2)＝(1＋i)(1＋i－2)＝(1＋i)(－1＋i)＝－3.
答案：－3
7．已知＝－i，则复数z＝________.
解析：因为＝－i，所以z＝＝(2－3i)i＝3＋2i.
答案：3＋2i
8．若＝1－bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a＋bi|＝________.
解析：∵a，b∈R，且＝1－bi，
则a＝(1－bi)(1－i)
＝(1－b)－(1＋b)i，
∴
∴
∴|a＋bi|＝|2－i|＝＝.
答案：
9．计算．
(1)；(2)；
(3)6＋.
解：(1)＝＝－1－3i.
(2)
＝＝
＝＝＋i.
(3)6＋
＝6＋
＝i6＋i＝－1＋i.
10．已知为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝a－bi(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有
解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
层级二 应试能力达标
1．若复数的实部与虚部分别为a，b，则点A(b，a)必在下列哪个函数的图象上( )
A．y＝2x B．y＝
C．y＝|x| D．y＝－2x2－1
解析：选D 因为＝＝－＋i，所以a＝－，b＝，所以A，把点A的坐标分别代入选项，只有D选项满足，故选D.
2．已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i，则z＝－z1z2＋i5在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A 因为z1＝＋i，z2＝－＋i，所以z＝－＋i5＝1＋i，所以复数z在复平面内对应的点为(1,1)，位于第一象限．故选A.
3．若a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝( )
A．2 B.
C. D．1
解析：选B ∵＝(a＋i)(－i)＝1－ai，∴＝|1－ai|＝＝2，解得a＝或a＝－(舍)．
4．计算＋的值是( )
A．0 B．1
C．i D．2i
解析：选D 原式＝＋＝＋＝＋i＝＋i＝＋i＝2i.
5．若复数z＝的实部为3，则z的虚部为________．
解析：z＝＝＝＝＋i.
由题意知＝3，∴a＝－1，∴z＝3＋i，∴z的虚部为1.
答案：1
6．设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，
∴解得或
∴|z|＝＝.
答案：
7．已知复数z＝1＋i，求实数a，b，使az＋2b＝(a＋2z)2.
解：因为z＝1＋i，所以az＋2b＝(a＋2b)＋(a－2b)i，(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.因为a，b都是实数，所以由az＋2b＝(a＋2z)2，得解得a＝－2或a＝－4，对应得b＝－1或b＝2，所以所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2.
8．复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．
解：z＝(a＋bi)
＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi.
由|z|＝4，得a2＋b2＝4，①
∵复数0，z，对应的点构成正三角形，
∴|z－|＝|z|.
把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1.②
又∵z对应的点在第一象限，∴a＜0，b＜0.
由①②得
故所求值为a＝－，b＝－1.
第2课时 复数代数形式的乘除运算
1．复数代数形式的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
3.共轭复数
已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则
(1)z1，z2互为共轭复数的充要条件是a＝c且b＝－d.
(2)z1，z2互为共轭虚数的充要条件是a＝c且b＝－d≠0.
4．复数代数形式的除法法则：
(a＋bi)÷(c＋di)＝＝＋i(c＋di≠0)．
[点睛] 在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．( )
(2)若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.( )
(3)两个共轭虚数的差为纯虚数．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．若复数满足z＝i(1－i)，则|z|＝( )
A．1 B.
C．2 D.
答案：B
3．已知i是虚数单位，则＝( )
A．1－2i B．2－i
C．2＋i D．1＋2i
答案：D
4．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝______，y＝________.
答案：－1 1
复数代数形式的乘法运算
[典例] 计算下列各题．
(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
解：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i
＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i
＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
1．两个复数代数形式乘法的一般方法
(1)首先按多项式的乘法展开．
(2)再将i2换成－1.
(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
2．常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)．
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．
(3)(1±i)2＝±2i.
[活学活用]
1．计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝( )
A．2－13i B．13＋2i
C．13－13i D．－13－2i
解析：选D (1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.
2．(2017·北京高考)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
解析：选B 因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，
所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，
又此点在第二象限，
所以解得a＜－1.
复数代数形式的除法运算
[典例] (1)(2017·全国卷Ⅱ)＝( )
A．1＋2i B．1－2i
C．2＋i D．2－i
(2)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z为( )
A．3＋5i B．3－5i
C．－3＋5i D．－3－5i
[解析] (1)＝＝＝2－i.
(2)∵z(2－i)＝11＋7i，
∴z＝＝＝＝3＋5i.
[答案] (1)D (2)A
1．两个复数代数形式的除法运算步骤
(1)首先将除式写为分式；
(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
2．常用公式
(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i.
[活学活用]
1．在复平面内，复数的对应点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B ＝＝＝－1＋2i，对应的点的坐标为(－1,2)，位于第二象限．
2．计算：＝________.
解析：法一：＝＝
＝－2＋i.
法二：＝
＝＝
＝＝－2＋i.
答案：－2＋i
共轭复数
[典例] (1)(2017·山东高考)已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋ i，z·＝4，则a＝( )
A．1或－1 B.或－
C．－ D.
(2)已知复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则＝________.
[解析] (1)法一：由题意可知＝a－i，
∴z·＝(a＋i)(a－i)＝a2＋3＝4，
故a＝1或－1.
法二：z·＝|z|2＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.
(2)因为(1＋2i)z＝4＋3i，
所以z＝＝＝2－i，
故＝2＋i，＝＝＝＝－i.
[答案] (1)A (2)－i
处理与共轭复数有关问题的思路
当已知条件为含有一个或多个复数z(或其共轭复数)的等式时，常设出复数的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解．
[活学活用]
1．已知i为虚数单位，若复数z＝，z的共轭复数为，则z·＝( )
A．1 B．－1
C. D．－
解析：选A 依题意，得z＝＝i，
所以＝－i，所以z·＝i·(－i)＝1.
2．若复数z满足|z|－＝，则z＝________.
解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，则－a＋bi＝2＋4i，
∴∴∴z＝3＋4i.
答案：3＋4i
层级一 学业水平达标
1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( )
A．6－4i B．－6－4i
C．6＋4i D．－6＋4i
解析：选D (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.
2．(2017·山东高考)已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝( )
A．－2i B．2i
C．－2 D．2
解析：选A ∵zi＝1＋i，∴z＝＝＋1＝1－i.
∴z2＝(1－i)2＝1＋i2－2i＝－2i.
3．复数＝( )
A．－1 B．1
C．－i D．i
解析：选A ＝＝－1.
4．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )
A．－1 024 B．1 024
C．0 D．512
解析：选C (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.
5．若a为实数，且＝3＋i，则a＝( )
A．－4 B．－3
C．3 D．4
解析：选D ＝＝＋i＝3＋i，
所以解得a＝4，故选D.
6．设复数z＝1＋i，则z2－2z＝________.
解析：∵z＝1＋i，
∴z2－2z＝z(z－2)＝(1＋i)(1＋i－2)＝(1＋i)(－1＋i)＝－3.
答案：－3
7．已知＝－i，则复数z＝________.
解析：因为＝－i，所以z＝＝(2－3i)i＝3＋2i.
答案：3＋2i
8．若＝1－bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a＋bi|＝________.
解析：∵a，b∈R，且＝1－bi，
则a＝(1－bi)(1－i)
＝(1－b)－(1＋b)i，
∴
∴
∴|a＋bi|＝|2－i|＝＝.
答案：
9．计算．
(1)；(2)；
(3)6＋.
解：(1)＝＝－1－3i.
(2)
＝＝
＝＝＋i.
(3)6＋
＝6＋
＝i6＋i＝－1＋i.
10．已知为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝a－bi(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有
解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
层级二 应试能力达标
1．若复数的实部与虚部分别为a，b，则点A(b，a)必在下列哪个函数的图象上( )
A．y＝2x B．y＝
C．y＝|x| D．y＝－2x2－1
解析：选D 因为＝＝－＋i，所以a＝－，b＝，所以A，把点A的坐标分别代入选项，只有D选项满足，故选D.
2．已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i，则z＝－z1z2＋i5在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A 因为z1＝＋i，z2＝－＋i，所以z＝－＋i5＝1＋i，所以复数z在复平面内对应的点为(1,1)，位于第一象限．故选A.
3．若a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝( )
A．2 B.
C. D．1
解析：选B ∵＝(a＋i)(－i)＝1－ai，∴＝|1－ai|＝＝2，解得a＝或a＝－(舍)．
4．计算＋的值是( )
A．0 B．1
C．i D．2i
解析：选D 原式＝＋＝＋＝＋i＝＋i＝＋i＝2i.
5．若复数z＝的实部为3，则z的虚部为________．
解析：z＝＝＝＝＋i.
由题意知＝3，∴a＝－1，∴z＝3＋i，∴z的虚部为1.
答案：1
6．设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，
∴解得或
∴|z|＝＝.
答案：
7．已知复数z＝1＋i，求实数a，b，使az＋2b＝(a＋2z)2.
解：因为z＝1＋i，所以az＋2b＝(a＋2b)＋(a－2b)i，(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.因为a，b都是实数，所以由az＋2b＝(a＋2z)2，得解得a＝－2或a＝－4，对应得b＝－1或b＝2，所以所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2.
8．复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．
解：z＝(a＋bi)
＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi.
由|z|＝4，得a2＋b2＝4，①
∵复数0，z，对应的点构成正三角形，
∴|z－|＝|z|.
把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1.②
又∵z对应的点在第一象限，∴a＜0，b＜0.
由①②得
故所求值为a＝－，b＝－1.
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