课时跟踪检测（九） 数系的扩充和复数的概念
层级一 学业水平达标
1．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是( )
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D．＋i
解析：选A 3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A.
2．已知复数z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，a∈R，若z1＝z2，则a＝( )
A．2 B．3
C．－3 D．9
解析：选B 因为z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，且z1＝z2，所以有解得a＝3.故选B.
3．若a，b∈R，i是虚数单位，a＋2 018i＝2－bi，则a2＋bi＝( )
A．2 018＋2i B．2 018＋4i
C．2＋2 018i D．4－2 018i
解析：选D 因为a＋2 018i＝2－bi，所以a＝2，－b＝2 018，即a＝2，b＝－2 018，所以a2＋bi＝4－2 018i.
4．下列命题中：①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；③若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；④若实数a与ai对应，则实数集与复数集一一对应．正确的命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A ①取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故①错； ②③错；对于④，a＝0时，ai＝0，④错，故选A.
5．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是( )
A．|a|＝|b| B．a＜0且a＝－b
C．a＞0且a≠b D．a≤0
解析：选D 复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，故a≤0.
6．若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________．
解析：由条件知a2－3＋2a＝0，解得a＝1或a＝－3.
答案：1或－3
7．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1，则实数m的值为______．
解析：由题意得解得m＝2.
答案：2
8．已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________.
解析：由复数相等的充要条件有
?
答案：2 ±2
9．分别求满足下列条件的实数x，y的值．
(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；
(2)＋(x2－2x－3)i＝0.
解：(1)∵x，y∈R，
∴由复数相等的定义得
解得
(2)∵x∈R，
∴由复数相等的定义得
即∴x＝3.
10．实数m取什么值时，复数lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i分别是(1)纯虚数；(2)实数．
解：(1)复数lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i为纯虚数，则
所以所以m＝3.
即m＝3时，lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i为纯虚数．
(2)复数lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i为实数，则
解②得m＝－2或m＝－1，
代入①检验知满足不等式，
所以当m＝－2或m＝－1时，lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i为实数．
层级二 应试能力达标
1．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则( )
A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1 D．a≠2
解析：选C 若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.故应选C.
2．已知集合M＝{1，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{1,3}，M∩N＝{1,3}，则实数m的值为( )
A．4 B．－1
C．4或－1 D．1或6
解析：选B 由题意知∴m＝－1.
3．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
解析：选B 由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即解得
∴z＝3－i，故应选B.
4．若复数z1＝sin 2θ＋icos θ，z2＝cos θ＋isin θ(θ∈R)，z1＝z2，则θ等于( )
A．kπ(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z) D．2kπ＋(k∈Z)
解析：选D 由复数相等的定义可知，
∴cos θ＝，sin θ＝.
∴θ＝＋2kπ，k∈Z，故选D.
5．已知z1＝(－4a＋1)＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R.若z1＞z2，则a的取值集合为________．
解析：∵z1＞z2，∴
∴a＝0，故所求a的取值集合为{0}．
答案：{0}
6．若复数z1＝m2＋1＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝4m－2＋(m2－5m)i，m为实数，且z1>z2，则实数m的取值集合为________．
解析：∵z1>z2，
∴解得m＝0，
∴实数m的取值集合为{0}．
答案：{0}
7．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值．
解：由定义运算＝ad－bc，
得＝3x＋2y＋yi，
故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，所以有
得
得x＝－1，y＝2.
8．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R)．
(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围．
解：(1)∵z1为纯虚数，
则
解得m＝－2.
(2)由z1＝z2，得
∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3
＝(sin θ－1)2＋2.
∵－1≤sin θ≤1，
∴当sin θ＝1时，λmin＝2，
当sin θ＝－1时，λmax＝6，
∴实数λ的取值范围是[2,6]．
第1课时 数系的扩充和复数的概念
1．复数的有关概念
(1)复数
①定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，实部是，虚部是.
②表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)．
(2)复数集
①定义：全体复数所成的集合．
②表示：通常用大写字母C表示．
[点睛] 复数概念的三点说明
(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
(2)复数的虚部是实数b而非bi.
(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．
2．复数相等
在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
3．复数的分类
对于复数a＋bi，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：
复数z
[点睛] 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( )
(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数．( )
(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．在2＋，i,8＋5i，(1－)i,0.68这几个数中，纯虚数的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：C
3．若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝________.
答案：5
4．设m∈R，复数z＝－1－m＋(2m－3)i.
(1)若z为实数，则m＝________；
(2)若z为纯虚数，则m＝________.
答案：(1) (2)－1
复数的概念及分类
[典例] (1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)当m为何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i.①是虚数；②是纯虚数．
[解析] (1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以①为假命题；对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部是2，不是2i，②为假命题；对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，③为真命题．故选B.
[答案] B
(2)①当
即m≠5且m≠－3时，z是虚数．
②当
即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．
[一题多变]
1．[变设问]本例(2)中条件不变，当m为何值时，z为实数？
解：当即m＝5时，z是实数．
2．[变设问]本例(2)中条件不变，当m为何值时，z>0.
解：因为z>0，所以z为实数，需满足
解得m＝5.
3．[变条件]已知z＝log2(1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R)，若z是虚数，求m的取值范围．
解：∵z是虚数，∴log(3－m)≠0，且1＋m>0，
即∴－1∴m的取值范围为(－1,2)∪(2,3)．
复数分类的关键
(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式．
(2)注意分清复数分类中的条件
设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则①z为实数?b＝0，②z为虚数?b≠0，③z为纯虚数?a＝0，b≠0.④z＝0?a＝0，且b＝0.
复数相等
[典例] (1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值；
(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．
[解] (1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴
解得或
(2)设方程的实数根为x＝m，
则3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，
∴
解得a＝11或a＝－.
复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．
[活学活用]
已知关于实数x，y的方程组
有实数解，则实数a，b的值分别为________．
解析：由①可得
解得③
把③代入②得5＋4a－(6＋b)i＝9－8i且a，b∈R，
∴
解得
答案：1 2
层级一 学业水平达标
1．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是( )
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D．＋i
解析：选A 3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A.
2．已知复数z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，a∈R，若z1＝z2，则a＝( )
A．2 B．3
C．－3 D．9
解析：选B 因为z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，且z1＝z2，所以有解得a＝3.故选B.
3．若a，b∈R，i是虚数单位，a＋2 018i＝2－bi，则a2＋bi＝( )
A．2 018＋2i B．2 018＋4i
C．2＋2 018i D．4－2 018i
解析：选D 因为a＋2 018i＝2－bi，所以a＝2，－b＝2 018，即a＝2，b＝－2 018，所以a2＋bi＝4－2 018i.
4．下列命题中：①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；③若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；④若实数a与ai对应，则实数集与复数集一一对应．正确的命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A ①取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故①错； ②③错；对于④，a＝0时，ai＝0，④错，故选A.
5．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是( )
A．|a|＝|b| B．a＜0且a＝－b
C．a＞0且a≠b D．a≤0
解析：选D 复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，故a≤0.
6．若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________．
解析：由条件知a2－3＋2a＝0，解得a＝1或a＝－3.
答案：1或－3
7．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1则实数m的值为______．
解析：由题意得解得m＝2.
答案：2
8．已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________.
解析：由复数相等的充要条件有
?
答案：2 ±2
9．分别求满足下列条件的实数x，y的值．
(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；
(2)＋(x2－2x－3)i＝0.
解：(1)∵x，y∈R，
∴由复数相等的定义得
解得
(2)∵x∈R，
∴由复数相等的定义得
即∴x＝3.
10．实数m取什么值时，复数lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i分别是(1)纯虚数；(2)实数．
解：(1)复数lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i为纯虚数，则
所以所以m＝3.
即m＝3时，lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i为纯虚数．
(2)复数lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i为实数，则
解②得m＝－2或m＝－1，
代入①检验知满足不等式，
所以当m＝－2或m＝－1时，lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i为实数．
层级二 应试能力达标
1．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则( )
A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1 D．a≠2
解析：选C 若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.故应选C.
2．已知集合M＝{1，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{1,3}，M∩N＝{1,3}，则实数m的值为( )
A．4 B．－1
C．4或－1 D．1或6
解析：选B 由题意知∴m＝－1.
3．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
解析：选B 由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即解得
∴z＝3－i，故应选B.
4．若复数z1＝sin 2θ＋icos θ，z2＝cos θ＋isin θ(θ∈R)，z1＝z2，则θ等于( )
A．kπ(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z) D．2kπ＋(k∈Z)
解析：选D 由复数相等的定义可知，
∴cos θ＝，sin θ＝.
∴θ＝＋2kπ，k∈Z，故选D.
5．已知z1＝(－4a＋1)＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R.若z1＞z2，则a的取值集合为________．
解析：∵z1＞z2，∴
∴a＝0，故所求a的取值集合为{0}．
答案：{0}
6．若复数z1＝m2＋1＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝4m－2＋(m2－5m)i，m为实数，且z1>z2，则实数m的取值集合为________．
解析：∵z1>z2，
∴解得m＝0，
∴实数m的取值集合为{0}．
答案：{0}
7．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值．
解：由定义运算＝ad－bc，
得＝3x＋2y＋yi，
故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，所以有
得
得x＝－1，y＝2.
8．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R)．
(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围．
解：(1)∵z1为纯虚数，
则
解得m＝－2.
(2)由z1＝z2，得
∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3
＝(sin θ－1)2＋2.
∵－1≤sin θ≤1，
∴当sin θ＝1时，λmin＝2，
当sin θ＝－1时，λmax＝6，
∴实数λ的取值范围是[2,6]．
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(九)”
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