课时跟踪检测（四） 导数的运算法则
层级一 学业水平达标
1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为( )
A．1 B．
C．－1 D．0
解析：选A ∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，
又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.
2．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′＝4.
3．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2
C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5
解析：选B ∵点(1，－1)在曲线y＝x3－3x2＋1上，该点处切线的斜率为k＝y′＝(3x2－6x)＝3－6＝－3，∴切线方程为y＋1＝－3(x－1)，
即y＝－3x＋2.
4．曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为( )
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3)
解析：选C f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.
5．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2
C．1 D.
解析：选B 因为y＝－3ln x(x>0)，所以y′＝－.再由导数的几何意义，令－＝－，解得x＝2或x＝－3(舍去)．故切点的横坐标为2.
6．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y＝x2＋在点(1,2)处的切线方程为________．
解析：因为y′＝2x－，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y′＝2×1－1＝1，所以切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
7．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________．
解析：∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，
∴f′＝－f′×＋，得f′＝－1.
∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x．∴f＝1.
答案：1
8．若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝________.
解析：因为f′(x)＝sin x＋xcos x，
所以f′＝sin＋cos＝1.
又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，
所以根据题意得1×＝－1，解得a＝2.
答案：2
9．求下列函数的导数：
(1)y＝－ln x； (2)y＝(x2＋1)(x－1)；
(3)y＝； (4)y＝；
(5)y＝cos x·sin 3x.
解：(1)y′＝(－ln x)′
＝()′－(ln x)′＝－.
(2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′
＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′
＝3x2－2x＋1.
(3)y′＝
＝.
(4)y′＝＝.
(5)y′＝ ＋x[(1＋x2)]′
＝＋x··(1＋x2)(1＋x2)′
＝＋x··(1＋x2) ·2x
＝＋＝.
(6)y′＝(cos x)′·sin 3x＋cos x·(sin 3x)′
＝－sin x·sin 3x＋cos x·cos 3x·(3x)′
＝－sin x·sin 3x＋3cos x·cos 3x.
10．已知函数f(x)＝，g(x)＝aln x，a∈R.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程．
解：f′(x)＝，g′(x)＝(x>0)，
设两曲线的交点为P(x0，y0)，
则解得a＝，x0＝e2，
所以两条曲线交点的坐标为(e2，e)．
切线的斜率为k＝f′(e2)＝，
所以切线的方程为y－e＝(x－e2)，
即x－2ey＋e2＝0.
层级二 应试能力达标
1．函数y＝sin x(cos x＋1)的导数是( )
A．cos 2x－cos x B．cos 2x＋sin x
C．cos 2x＋cos x D．cos2x＋cos x
解析：选C y′＝(sin x)′(cos x＋1)＋sin x(cos x＋1)′
＝cos x(cos x＋1)＋sin x(－sin x)
＝cos 2x＋cos x.
2．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )
A．－1 B．－2
C．2 D．0
解析：选B ∵f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，
∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
3．函数f(x)＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A．2e B．e
C．2 D．1
解析：选C 函数的导数为f′(x)＝ex－1＋xex－1＝(1＋x)ex－1，
当x＝1时，f′(1)＝2，即曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率k＝f′(1)＝2，故选C.
4．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为( )
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
解析：选C ∵f(x)＝x2－2x－4ln x，
∴f′(x)＝2x－2－＞0，
整理得＞0，解得－1＜x＜0或x＞2，
又∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴x＞2.
5．已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝________.
解析：由题知y1′＝，y2′＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为，3x－2x0＋2，所以＝3，所以x0＝1.
答案：1
6．已知函数f(x)＝ex－mx＋1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y＝x垂直的切线，则实数m的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝ex－mx＋1，
∴f′(x)＝ex－m，
∵曲线C存在与直线y＝x垂直的切线，
∴f′(x)＝ex－m＝－2成立，
∴m＝2＋ex>2，故实数m的取值范围是(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)
7．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．
解：∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.
∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
∴切点为(1，－1)．
∴a＋c＋1＝－1.
∵f′(1)＝4a＋2c，
∴4a＋2c＝1.
∴a＝，c＝－.
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x4－x2＋1.
8．设抛物线C：y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．
(1)求k的值；
(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．
解：(1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1，①
y1＝－x＋x1－4，②
①代入②，得x＋x1＋4＝0.
∵点P为切点，
∴Δ＝2－16＝0，
得k＝或k＝.
当k＝时，x1＝－2，y1＝－17.
当k＝时，x1＝2，y1＝1.
∵点P在第一象限，
∴所求的斜率k＝.
(2)过点P作切线的垂线，其方程为y＝－2x＋5.③
将③代入抛物线方程，得x2－x＋9＝0.
设Q点的坐标为(x2，y2)，即2x2＝9，
∴x2＝，y2＝－4，
∴Q点的坐标为.
第2课时 导数的运算法则
导数的四则运算法则
(1)条件：f(x)，g(x)是可导的．
(2)结论：①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
②[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
③′＝(g(x)≠0)．
[点睛] 应用导数公式的注意事项
(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算．
(2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导．
(3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．
(4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.( )
(2)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．( )
(3)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．函数y＝sin x·cos x的导数是( )
A．y′＝cos 2x＋sin 2x B．y′＝cos 2x
C．y′＝2cos x·sin x D．y′＝cos x·sin x
答案：B
3．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.
答案：1
4．曲线y＝sin 2x在点M(π，0)处的切线方程是________．
答案：2x－y－2π＝0
利用导数四则运算法则求导
[典例] 求下列函数的导数：
(1)y＝x2＋log3x；(2)y＝x3·ex；(3)y＝.
[解] (1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′
＝2x＋.
(2)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′
＝3x2·ex＋x3·ex＝ex(x3＋3x2)．
(3)y′＝′＝
＝＝－.
求函数的导数的策略
(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．
(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．
[活学活用]
求下列函数的导数：
(1)y＝sin x－2x2；(2)y＝cos x·ln x；(3)y＝.
解：(1)y′＝(sin x－2x2)′＝(sin x)′－(2x2)′＝cos x－4x.
(2)y′＝(cos x·ln x)′＝(cos x)′·ln x＋cos x·(ln x)′
＝－sin x·ln x＋.
(3)y′＝′＝
＝＝
与切线有关的综合问题
[典例] (1)设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，其中a>0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，则b＝________，c＝________.
(2)若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
[解析] (1)由题意得f′(x)＝x2－ax＋b，
由切点P(0，f(0))既在函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c上又在切线y＝1上，得
即
解得b＝0，c＝1.
(2)设P(x0，y0)，∵y＝xln x，
∴y′＝ln x＋x·＝1＋ln x.
∴切线的斜率k＝1＋ln x0，又k＝2，
∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e.∴y0＝eln e＝e，
∴点P的坐标是(e，e)．
[答案] (1)0 1 (2)(e，e)
[一题多变]
1．[变结论]求本例(2)中的切线与直线2x－y＋1＝0之间的距离．
解：求点P处的切线与直线2x－y＋1＝0之间的距离即求点P到直线2x－y＋1＝0的距离，故所求的距离d＝＝.
2．[变结论]求本例(2)中过曲线上一点与直线y＝－x平行的切线方程．
解：设切点为(x1，y1)，因为y′＝ln x＋1，
所以切线的斜率为k＝ln x1＋1，又k＝－1，得x1＝，y1＝－，故所求的切线方程为y＋＝－，
即e2x＋e2y＋1＝0.
关于函数导数的应用及其解决方法
应用
求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用
方法
先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用
层级一 学业水平达标
1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为( )
A．1 B．
C．－1 D．0
解析：选A ∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，
又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.
2．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′＝4.
3．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2
C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5
解析：选B ∵点(1，－1)在曲线y＝x3－3x2＋1上，该点处切线的斜率为k＝y′＝(3x2－6x)＝3－6＝－3，∴切线方程为y＋1＝－3(x－1)，
即y＝－3x＋2.
4．曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为( )
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3)
解析：选C f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.
5．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2
C．1 D.
解析：选B 因为y＝－3ln x(x>0)，所以y′＝－.再由导数的几何意义，令－＝－，解得x＝2或x＝－3(舍去)．故切点的横坐标为2.
6．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y＝x2＋在点(1,2)处的切线方程为________．
解析：因为y′＝2x－，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y′|x=1＝2×1－1＝1，所以切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
7．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________．
解析：∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，
∴f′＝－f′×＋，得f′＝－1.
∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x．∴f＝1.
答案：1
8．若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝________.
解析：因为f′(x)＝sin x＋xcos x，
所以f′＝sin＋cos＝1.
又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，
所以根据题意得1×＝－1，解得a＝2.
答案：2
9．求下列函数的导数：
(1)y＝－ln x； (2)y＝(x2＋1)(x－1)；
(3)y＝； (4)y＝；
(5)y＝cos x·sin 3x.
解：(1)y′＝(－ln x)′
＝()′－(ln x)′＝－.
(2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′
＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′
＝3x2－2x＋1.
(3)y′＝
＝.
(4)y′＝＝.
(5)y′＝ ＋x[(1＋x2)]′
＝＋x··(1＋x2)(1＋x2)′
＝＋x··(1＋x2) ·2x
＝＋＝.
(6)y′＝(cos x)′·sin 3x＋cos x·(sin 3x)′
＝－sin x·sin 3x＋cos x·cos 3x·(3x)′
＝－sin x·sin 3x＋3cos x·cos 3x.
10．已知函数f(x)＝，g(x)＝aln x，a∈R.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程．
解：f′(x)＝，g′(x)＝(x>0)，
设两曲线的交点为P(x0，y0)，
则解得a＝，x0＝e2，
所以两条曲线交点的坐标为(e2，e)．
切线的斜率为k＝f′(e2)＝，
所以切线的方程为y－e＝(x－e2)，
即x－2ey＋e2＝0.
层级二 应试能力达标
1．函数y＝sin x(cos x＋1)的导数是( )
A．cos 2x－cos x B．cos 2x＋sin x
C．cos 2x＋cos x D．cos2x＋cos x
解析：选C y′＝(sin x)′(cos x＋1)＋sin x(cos x＋1)′
＝cos x(cos x＋1)＋sin x(－sin x)
＝cos 2x＋cos x.
2．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )
A．－1 B．－2
C．2 D．0
解析：选B ∵f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，
∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
3．函数f(x)＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A．2e B．e
C．2 D．1
解析：选C 函数的导数为f′(x)＝ex－1＋xex－1＝(1＋x)ex－1，
当x＝1时，f′(1)＝2，即曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率k＝f′(1)＝2，故选C.
4．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为( )
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
解析：选C ∵f(x)＝x2－2x－4ln x，
∴f′(x)＝2x－2－＞0，
整理得＞0，解得－1＜x＜0或x＞2，
又∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴x＞2.
5．已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝________.
解析：由题知y1′＝，y2′＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为，3x－2x0＋2，所以＝3，所以x0＝1.
答案：1
6．已知函数f(x)＝ex－mx＋1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y＝x垂直的切线，则实数m的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝ex－mx＋1，
∴f′(x)＝ex－m，
∵曲线C存在与直线y＝x垂直的切线，
∴f′(x)＝ex－m＝－2成立，
∴m＝2＋ex>2，故实数m的取值范围是(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)
7．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．
解：∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.
∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
∴切点为(1，－1)．
∴a＋c＋1＝－1.
∵f′(1)＝4a＋2c，
∴4a＋2c＝1.
∴a＝，c＝－.
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x4－x2＋1.
8．设抛物线C：y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．
(1)求k的值；
(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．
解：(1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1，①
y1＝－x＋x1－4，②
①代入②，得x＋x1＋4＝0.
∵点P为切点，
∴Δ＝2－16＝0，
得k＝或k＝.
当k＝时，x1＝－2，y1＝－17.
当k＝时，x1＝2，y1＝1.
∵点P在第一象限，
∴所求的斜率k＝.
(2)过点P作切线的垂线，其方程为y＝－2x＋5.③
将③代入抛物线方程，得x2－x＋9＝0.
设Q点的坐标为(x2，y2)，即2x2＝9，
∴x2＝，y2＝－4，
∴Q点的坐标为.
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(四)”
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