课时跟踪检测（五） 函数的单调性与导数
层级一 学业水平达标
1．函数f(x)＝xln x的单调递增区间是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C. D.
解析：选D 由f′(x)＝ln x＋1>0，可得x>，∴函数的单调递增区间为.
2．已知函数f(x)＝－x，则f(x)在(0，＋∞)上的单调性为( )
A．f(x)在(0，＋∞)上是增函数
B．f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数
C．f(x)在(0，＋∞)上是减函数
D．f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数
解析：选C 因为f′(x)＝－－1<0，所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数，选C.
3．若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵y′＝3x2＋2x＋m，由条件知y′≥0在R上恒成立，∴Δ＝4－12m≤0，∴m≥.
4．如图为函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，那么函数y＝f(x)的图象可能为( )
解析：选A 由导函数y＝f′(x)的图象，可知当－13或x<－1时，f′(x)>0，所以y＝f(x)在(－∞，－1)和(3，＋∞)上单调递增．综上，函数y＝f(x)的图象的大致形状如A中图所示，所以选A.
5．函数f(x)＝x3＋ax＋b在区间(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝1，b∈R
C．a＝－3，b＝3 D．a＝－3，b∈R
解析：选D f′(x)＝3x2＋a.
∵f(x)在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，
∴f′(1)＝3＋a＝0，∴a＝－3，b∈R.
6．函数f(x)＝cos x＋x的单调递增区间是________．
解析：因为f′(x)＝－sin x＋＞0，所以f(x)在R上为增函数．
答案：(－∞，＋∞)
7．函数f(x)＝x＋(b>0)的单调递减区间为________．
解析：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝′＝1－，
令f′(x)<0，则(x＋)(x－)<0，
∴－∴函数的单调递减区间为(－，0)和(0，)．
答案：(－，0)和(0，)
8．若函数y＝ax3－ax2－2ax(a≠0)在[－1,2]上为增函数，则a∈________.
解析：y′＝ax2－ax－2a＝a(x＋1)(x－2)>0，
∵当x∈(－1,2)时，(x＋1)(x－2)<0，∴a<0.
答案：(－∞，0)
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝－4，f′(1)＝0.
(1)求a和b的值；
(2)试确定函数f(x)的单调区间．
解：(1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx，
∴f′(x)＝x2＋2ax＋b，
由得
解得a＝1，b＝－3.
(2)由(1)得f(x)＝x3＋x2－3x.
f′(x)＝x2＋2x－3＝(x－1)(x＋3)．
由f′(x)>0，得x>1或x<－3；由f′(x)<0，得－3∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3,1)．
10．已知函数f(x)＝ln x－ax2＋(2－a)x，讨论f(x)的单调性．
解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－2ax＋(2－a)＝－.
①若a≤0，则f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②若a>0，
则由f′(x)＝0得x＝，
且当x∈时，f′(x)>0，
当x∈时，f′(x)<0，
所以f(x)在上单调递增，
在上单调递减．
层级二 应试能力达标
1．函数y＝xcos x－sin x在下列哪个区间内是增函数( )
A. B．(π，2π)
C. D．(2π，3π)
解析：选B y′＝cos x＋x(－sin x)－cos x＝－xsin x，用排除法知B正确．
2．已知函数f(x)＝x＋(x>1)，则有( )
A．f(2)C．f(3)解析：选A 因为在定义域(1，＋∞)上有f′(x)＝1－>0，所以f(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以f(2)3．若函数y＝a(x3－x)的单调递减区间为，则a的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(－1,0)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
解析：选A y′＝a(3x2－1)＝3a.
当－＜x＜时，＜0，
要使y＝a(x3－x)在上单调递减，
只需y′＜0，即a＞0.
4．已知函数f(x)＝－2x2＋8ax＋3在(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵f(x)在(－∞，3]上是增函数，
∴f′(x)＝－4x＋8a≥0对于x∈(－∞，3]恒成立．
即a≥对于x∈(－∞，3]恒成立．
令g(x)＝，x∈(－∞，3]，则a≥g(x)max.
∵g(x)＝在(－∞，3]上是增函数，
∴g(x)max＝g(3)＝，即a≥，选B.
5．已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为____________．
解析：设g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2.
∵对任意x∈R，f′(x)＞2，∴g′(x)＞0. ∴g(x)在R上为增函数．又g(－1)＝f(－1)＋2－4＝0，∴x＞－1时，g(x)＞0.
∴由f(x)＞2x＋4，得x＞－1.
答案：(－1，＋∞)
6．若函数f(x)＝－x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是 .
解析：∵f′(x)＝－4x2＋a，且f(x)有三个单调区间，
∴方程f′(x)＝－4x2＋a＝0有两个不等的实根，
∴Δ＝02－4×(－4)×a>0，∴a>0.
答案：(0，＋∞)
7．设函数f(x)＝ax－－2ln x.
(1)若f′(2)＝0，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f′(x)＝a＋－，且f′(2)＝0，
所以a＋－1＝0，所以a＝.
所以f′(x)＝＋－＝(2x2－5x＋2)，
令f′(x)≥0，解得x≤或x≥2，
令f′(x)≤0，解得≤x≤2，
所以f(x)的递增区间为和[2，＋∞)，
递减区间为.
(2)若f(x)在定义域上是增函数，则f′(x)≥0恒成立，
因为f′(x)＝a＋－＝，
所以需ax2－2x＋a≥0恒成立，
所以解得a≥1.
所以a的取值范围是[1，＋∞)．
8．已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a＝－1时，证明：当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋2>0.
解：(1)根据题意知，f′(x)＝(x>0)，
当a>0时，则当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)；
同理，当a<0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；
当a＝0时，f(x)＝－3，不是单调函数，无单调区间．
(2)证明：当a＝－1时，f(x)＝－ln x＋x－3，
所以f(1)＝－2，
由(1)知f(x)＝－ln x＋x－3在(1，＋∞)上单调递增，
所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)．
即f(x)>－2，所以f(x)＋2>0.
第1课时 函数的单调性与导数
1．函数的单调性与其导数正负的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)>0
单调递
f′(x)<0
单调递
2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上
导数的绝对值
函数值变化
函数的图象
越大
比较“陡峭”(向上或向下)
越小
比较“平缓”(向上或向下)
[点睛] 对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明
(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．
(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．( )
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( )
(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
答案：D
3．设f(x)＝x＋(x<0)，则f(x)的单调递减区间为( )
A．(－∞，－2) B．(－2,0)
C．(－∞，－) D．(－，0)
答案：D
4．函数f(x)＝sin x－2x在(－∞，＋∞)上是________(填“增”或“减”)函数．
答案：减
判断或证明函数的单调性
[典例] 已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－，讨论函数f(x)的单调性．
[解] 由题设知a≠0.f′(x)＝3ax2－6x＝3ax，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝.
当a>0时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)>0.
∴f(x)在区间(－∞，0)上为增函数．
若x∈，则f′(x)<0，
∴f(x)在区间上为减函数．
若x∈，则f′(x)>0，
∴f(x)在区间上是增函数．
当a<0时，若x∈，则f′(x)<0.
∴f(x)在上是减函数．
若x∈，则f′(x)>0.
∴f(x)在区间上为增函数．
若x∈(0，＋∞)，则f′(x)<0.
∴f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数．
利用导数判断或证明函数单调性的思路
[活学活用]
1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
解析：选B y′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)>0在(0，＋∞)上恒成立，∴y＝xex在(0，＋∞)上为增函数．对于A、C、D都存在x>0，使y′<0的情况．
2．证明：函数y＝xsin x＋cos x在区间内是增函数．
证明：y′＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x.
∵x∈，∴cos x>0，∴y′>0.
即函数y＝xsin x＋cos x在内是增函数.
求函数的单调区间
[典例] 求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝3x2－ln x；
(2)f(x)＝－ax3＋x2＋1(a≤0)．
[解] (1)函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－＝，令f′(x)>0，即>0，
∵x>0，∴6x2－1>0，∴x>.令f′(x)<0，
即<0，∵x>0，∴6x2－1<0，∴0∴f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为.
(2)①当a＝0时，f(x)＝x2＋1，其单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．
②当a<0时，f′(x)＝－ax2＋2x，
f′(x)>0?(－ax＋2)x>0?x>0?x>0或x<；f′(x)<0?故f(x)的单调递增区间为和(0，＋∞)，单调递减区间为.
利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
[注意] 如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．
[活学活用]
求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝－x3＋3x2； (2)f(x)＝.
解：(1)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)．
当00，
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,2)；
当x<0或x>2时，f′(x)<0，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．
(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝＝.
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.
令f′(x)>0，解得x>3，
所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；
令f′(x)<0，解得x<3，又x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3).
利用导数求参数的取值范围
[典例] 若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
[解] [法一 直接法]
f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1.
当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)内单调递增，不合题意．
当a－1>1，即a>2时，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(1，a－1)上单调递减，
由题意知(1,4)?(1，a－1)且(6，＋∞)?(a－1，＋∞)，所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7.
故实数a的取值范围为[5,7]．
[法二 数形结合法]
f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．
∵在(1,4)内f′(x)≤0，
在(6，＋∞)内f′(x)≥0，
且f′(x)＝0有一根为1，
作出y＝f′(x)的示意图如图所示，则f′(x)＝0的另一根在[4,6]上．
∴
即∴5≤a≤7.
故实数a的取值范围为[5,7]．
[法三 转化为不等式的恒成立问题]
f′(x)＝x2－ax＋a－1.
因为f(x)在(1,4)内单调递减，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．
即a(x－1)≥x2－1在(1, 4)上恒成立，所以a≥x＋1，因为2所以a≤x＋1，因为x＋1>7，所以a≤7时，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．综上知5≤a≤7.
故实数a的取值范围为[5,7]．
1．利用导数法解决参数取值范围问题的两个基本思路
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
2．恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.
(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
[活学活用]
已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求实数a的函数取值范围．
解：函数f(x)的导数f′(x)＝3ax2＋6x－1.
由题设知f(x)在R上是减函数，
∴f′(x)≤0对x∈R恒成立，
即3ax2＋6x－1≤0在R上恒成立，
∴∴a≤－3.
当a＝－3时，f′(x)＝－9x2＋6x－1＝－(3x－1)2≤0，
有且仅有f′＝0，故a的取值范围是(－∞，－3]．
层级一 学业水平达标
1．函数f(x)＝xln x的单调递增区间是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C. D.
解析：选D 由f′(x)＝ln x＋1>0，可得x>，∴函数的单调递增区间为.
2．已知函数f(x)＝－x，则f(x)在(0，＋∞)上的单调性为( )
A．f(x)在(0，＋∞)上是增函数
B．f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数
C．f(x)在(0，＋∞)上是减函数
D．f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数
解析：选C 因为f′(x)＝－－1<0，所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数，选C.
3．若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵y′＝3x2＋2x＋m，由条件知y′≥0在R上恒成立，∴Δ＝4－12m≤0，∴m≥.
4．如图为函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，那么函数y＝f(x)的图象可能为( )
解析：选A 由导函数y＝f′(x)的图象，可知当－13或x<－1时，f′(x)>0，所以y＝f(x)在(－∞，－1)和(3，＋∞)上单调递增．综上，函数y＝f(x)的图象的大致形状如A中图所示，所以选A.
5．函数f(x)＝x3＋ax＋b在区间(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝1，b∈R
C．a＝－3，b＝3 D．a＝－3，b∈R
解析：选D f′(x)＝3x2＋a.
∵f(x)在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，
∴f′(1)＝3＋a＝0，∴a＝－3，b∈R.
6．函数f(x)＝cos x＋x的单调递增区间是________．
解析：因为f′(x)＝－sin x＋＞0，所以f(x)在R上为增函数．
答案：(－∞，＋∞)
7．函数f(x)＝x＋(b>0)的单调递减区间为________．
解析：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝′＝1－，
令f′(x)<0，则(x＋)(x－)<0，
∴－∴函数的单调递减区间为(－，0)和(0，)．
答案：(－，0)和(0，)
8．若函数y＝ax3－ax2－2ax(a≠0)在[－1,2]上为增函数，则a∈________.
解析：y′＝ax2－ax－2a＝a(x＋1)(x－2)>0，
∵当x∈(－1,2)时，(x＋1)(x－2)<0，∴a<0.
答案：(－∞，0)
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝－4，f′(1)＝0.
(1)求a和b的值；
(2)试确定函数f(x)的单调区间．
解：(1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx，
∴f′(x)＝x2＋2ax＋b，
由得
解得a＝1，b＝－3.
(2)由(1)得f(x)＝x3＋x2－3x.
f′(x)＝x2＋2x－3＝(x－1)(x＋3)．
由f′(x)>0，得x>1或x<－3；由f′(x)<0，得－3∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3,1)．
10．已知函数f(x)＝ln x－ax2＋(2－a)x，讨论f(x)的单调性．
解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－2ax＋(2－a)＝－.
①若a≤0，则f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②若a>0，
则由f′(x)＝0得x＝，
且当x∈时，f′(x)>0，
当x∈时，f′(x)<0，
所以f(x)在上单调递增，
在上单调递减．
层级二 应试能力达标
1．函数y＝xcos x－sin x在下列哪个区间内是增函数( )
A. B．(π，2π)
C. D．(2π，3π)
解析：选B y′＝cos x＋x(－sin x)－cos x＝－xsin x，用排除法知B正确．
2．已知函数f(x)＝x＋(x>1)，则有( )
A．f(2)C．f(3)解析：选A 因为在定义域(1，＋∞)上有f′(x)＝1－>0，所以f(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以f(2)3．若函数y＝a(x3－x)的单调递减区间为，则a的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(－1,0)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
解析：选A y′＝a(3x2－1)＝3a.
当－＜x＜时，＜0，
要使y＝a(x3－x)在上单调递减，
只需y′＜0，即a＞0.
4．已知函数f(x)＝－2x2＋8ax＋3在(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵f(x)在(－∞，3]上是增函数，
∴f′(x)＝－4x＋8a≥0对于x∈(－∞，3]恒成立．
即a≥对于x∈(－∞，3]恒成立．
令g(x)＝，x∈(－∞，3]，则a≥g(x)max.
∵g(x)＝在(－∞，3]上是增函数，
∴g(x)max＝g(3)＝，即a≥，选B.
5．已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为____________．
解析：设g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2.
∵对任意x∈R，f′(x)＞2，∴g′(x)＞0. ∴g(x)在R上为增函数．又g(－1)＝f(－1)＋2－4＝0，∴x＞－1时，g(x)＞0.
∴由f(x)＞2x＋4，得x＞－1.
答案：(－1，＋∞)
6．若函数f(x)＝－x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是 .
解析：∵f′(x)＝－4x2＋a，且f(x)有三个单调区间，
∴方程f′(x)＝－4x2＋a＝0有两个不等的实根，
∴Δ＝02－4×(－4)×a>0，∴a>0.
答案：(0，＋∞)
7．设函数f(x)＝ax－－2ln x.
(1)若f′(2)＝0，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f′(x)＝a＋－，且f′(2)＝0，
所以a＋－1＝0，所以a＝.
所以f′(x)＝＋－＝(2x2－5x＋2)，
令f′(x)≥0，解得x≤或x≥2，
令f′(x)≤0，解得≤x≤2，
所以f(x)的递增区间为和[2，＋∞)，
递减区间为.
(2)若f(x)在定义域上是增函数，则f′(x)≥0恒成立，
因为f′(x)＝a＋－＝，
所以需ax2－2x＋a≥0恒成立，
所以解得a≥1.
所以a的取值范围是[1，＋∞)．
8．已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a＝－1时，证明：当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋2>0.
解：(1)根据题意知，f′(x)＝(x>0)，
当a>0时，则当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)；
同理，当a<0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；
当a＝0时，f(x)＝－3，不是单调函数，无单调区间．
(2)证明：当a＝－1时，f(x)＝－ln x＋x－3，
所以f(1)＝－2，
由(1)知f(x)＝－ln x＋x－3在(1，＋∞)上单调递增，
所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)．
即f(x)>－2，所以f(x)＋2>0.
课件25张PPT。
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(五)”
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