第十七章 勾股定理
17．1 勾股定理
第1课时 勾股定理
01 基础题
知识点1 勾股定理的证明
1．如图是历史上对勾股定理的一种证法采用的图形，用四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中间空白的部分是一个小正方形．求中间空白小正方形的面积，不难发现：
方法①：小正方形的面积＝c2－4×ab＝c2－2ab；
方法②：小正方形的面积＝(b－a)2＝b2－2ab＋a2；
由方法①②，可以得到a，b，c的关系为：a2＋b2＝c2．
知识点2 利用勾股定理进行计算
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么____．
2．(2018·滨州)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
3．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则正方形ABCD的面积为( )
A．48 B．60 C．100 D．140
第3题图 第6题图
4．已知直角三角形的斜边长为10，一直角边长是另一直角边长的3倍，则直角三角形中较长的直角边长为()
A. B．2.5 C．7.5 D．3
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是____．
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3.若S2＝4，S3＝6，则S1＝____．
7．(教材P24练习T1变式)在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b.
(1)a＝7，b＝24，求c；
(2)a＝4，c＝7，求b.
8．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9.求：
(1)CD的长；
(2)AB的长．
易错点 直角边不确定时漏解
9．(2018·遵义期中)已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为____．
02 中档题
10．已知直角三角形一个锐角为60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是()
A. B．3
C.＋2 D.
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，且DA＝DB＝5，且△DAB的面积为10，那么DC的长是()
A．4 B．3 C．5 D．4.5
第11题图 第12题图
12．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为()
A．3 B．6
C．3 D.
13．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图1)，图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3.若正方形EFGH的边长为2，则S1＋S2＋S3＝____．
14．如图，△ABC中，∠C＝90°，D是AC中点，求证：AB2＋3BC2＝4BD2.
03 综合题
15．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明．下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2＋b2＝c2.
证明：连接DB，DC，过点D作BC边上的高DF，DF＝EC＝b－a.
∵S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab，
又∵S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a(b－a)，
∴b2＋ab＝c2＋a(b－a)．
∴a2＋b2＝c2.
图1 图2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°.求证：a2＋b2＝c2.
第十七章 勾股定理
17．1 勾股定理
第1课时 勾股定理
01 基础题
知识点1 勾股定理的证明
1．如图是历史上对勾股定理的一种证法采用的图形，用四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中间空白的部分是一个小正方形．求中间空白小正方形的面积，不难发现：
方法①：小正方形的面积＝c2－4×ab＝c2－2ab；
方法②：小正方形的面积＝(b－a)2＝b2－2ab＋a2；
由方法①②，可以得到a，b，c的关系为：a2＋b2＝c2．
知识点2 利用勾股定理进行计算
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
2．(2018·滨州)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为(A)
A．5 B．6 C．7 D．8
3．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则正方形ABCD的面积为(C)
A．48 B．60 C．100 D．140
第3题图 第6题图
4．已知直角三角形的斜边长为10，一直角边长是另一直角边长的3倍，则直角三角形中较长的直角边长为(D)
A. B．2.5 C．7.5 D．3
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是．
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3.若S2＝4，S3＝6，则S1＝2．
7．(教材P24练习T1变式)在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b.
(1)a＝7，b＝24，求c；
(2)a＝4，c＝7，求b.
解：(1)∵∠C＝90 °，∴△ABC是直角三角形．
∴a2＋b2＝c2.
∴72＋242＝c2.
∴c2＝49＋576＝625.
∴c＝25.
(2)∵∠C＝90 °，∴△ABC是直角三角形．
∴a2＋b2＝c2.
∴42＋b2＝72.
∴b2＝72－42＝49－16＝33.
∴b＝.
8．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9.求：
(1)CD的长；
(2)AB的长．
解：(1)∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90 °.
在Rt△CDB中，根据勾股定理，得CD2＋DB2＝BC2，
即CD2＋92＝152.
∴CD＝12.
(2)在Rt△CDA中，根据勾股定理，得
CD2＋AD2＝AC2，
即122＋AD2＝202.
∴AD＝16.
∴AB＝AD＋DB＝16＋9＝25.
易错点 直角边不确定时漏解
9．(2018·遵义期中)已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为5或．
02 中档题
10．已知直角三角形一个锐角为60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是(D)
A. B．3
C.＋2 D.
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，且DA＝DB＝5，且△DAB的面积为10，那么DC的长是(B)
A．4 B．3 C．5 D．4.5
第11题图 第12题图
12．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(A)
A．3 B．6
C．3 D.
13．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图1)，图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3.若正方形EFGH的边长为2，则S1＋S2＋S3＝12．
14．如图，△ABC中，∠C＝90°，D是AC中点，求证：AB2＋3BC2＝4BD2.
证明：在Rt△BDC中，根据勾股定理，得BD2＝CD2＋BC2.
∴CD2＝BD2－BC2.
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
AC2＋BC2＝AB2.
∵D是AC的中点，∴AC＝2CD.
∴4CD2＋BC2＝AB2.∴CD2＝.
∴BD2－BC2＝.
∴AB2＋3BC2＝4BD2.
03 综合题
15．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明．下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2＋b2＝c2.
证明：连接DB，DC，过点D作BC边上的高DF，DF＝EC＝b－a.
∵S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab，
又∵S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a(b－a)，
∴b2＋ab＝c2＋a(b－a)．
∴a2＋b2＝c2.
图1 图2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°.求证：a2＋b2＝c2.
证明：连接DB，过点B作DE边上的高BF，BF＝b－a.
∵S五边形ACBED＝S梯形ACBE＋S△AED
＝(a＋b)b＋ab，
又∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ADB＋S△BED
＝ab＋c2＋a(b－a)，
∴(a＋b)b＋ab＝ab＋c2＋a(b－a)．
∴a2＋b2＝c2.
17．1 勾股定理
第2课时 勾股定理的应用
01 基础题
知识点1 勾股定理的一次应用
1．如图，一艘巡逻船由A港沿北偏西60°方向航行5海里至B港，然后再沿北偏东30°方向航行4海里至C港，则A，C两港相距()
A．4海里 B.海里
C．3海里 D．5海里
第1题图 第2题图
2．如图，厂房屋顶人字形钢架的跨度BC＝12米，AB＝AC＝6.5米，则中柱AD(D为底边BC的中点)的长是()
A．6米 B．5米 C．3米 D．2.5米
3．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面5 m处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝12 m，则树高为()
A．13 m B．17 m C．18 m D．22 m
第3题图 第4题图
4．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了____米路，却踩伤了花草．
5．如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行____m.
第5题图 第6题图
6．(2018·湘潭)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一．在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去有三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长．如果设AC＝x，那么可列方程为____．
7．如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要达到的B点140米(即BC＝140米)，结果他在水中实际游了500米(即AC＝500米)，求该河AB处的宽度．
知识点2 勾股定理的两次应用
8．(教材P25例2变式)如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5 m，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5 m，当端点B向右移动0.5 m时，滑竿顶端A下滑____m.
9．为了推广城市绿色出行，南沙区交委准备在蕉门河沿岸东西走向AB路段建设一个共享单车停放点，该路段附近有两个广场C和D，如图所示，CA⊥AB，DB⊥AB，垂足分别为点A，B.AB＝3 km，CA＝2 km，DB＝1.6 km，试问这个单车停放点E应建在距点A多少千米处，才能使它到两广场的距离相等？
02 中档题
10．如图，小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是()
A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m
第10题图 第11题图
11．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 m，那么小巷的宽度为()
A．0.7 m B．1.5 m
C．2.2 m D．2.4 m
12．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5 m，高3 m，计划在楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少为()
A．4 m B．8 m C．9 m D．7 m
第12题图 第13题图
13．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4 m，高3 m，长20 m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，则阳光透过的最大面积为____m2.
14．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到点D，则橡皮筋被拉长了____cm.
第14题图 第15题图
15．有一透明的圆柱体玻璃杯，从内部测得底部直径为6 cm，杯深8 cm.今有一根长为16 cm的吸管如图放入杯中，露在杯口外的长度为h，则h的变化范围是：____．
16．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100 m的P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3 s，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了80 km/h的限制速度？
03 综合题
17．在一次课外实践活动中，同学们要知道校园内A，B两处的距离，但无法直接测得．已知校园内A，B，C三点形成的三角形如图所示，现测得AC＝6 m，BC＝14 m，∠CAB＝120°，请计算A，B两处之间的距离．
17．1 勾股定理
第2课时 勾股定理的应用
01 基础题
知识点1 勾股定理的一次应用
1．如图，一艘巡逻船由A港沿北偏西60°方向航行5海里至B港，然后再沿北偏东30°方向航行4海里至C港，则A，C两港相距(B)
A．4海里 B.海里
C．3海里 D．5海里
第1题图 第2题图
2．如图，厂房屋顶人字形钢架的跨度BC＝12米，AB＝AC＝6.5米，则中柱AD(D为底边BC的中点)的长是(D)
A．6米 B．5米 C．3米 D．2.5米
3．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面5 m处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝12 m，则树高为(C)
A．13 m B．17 m C．18 m D．22 m
第3题图 第4题图
4．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了4米路，却踩伤了花草．
5．如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行10m.
第5题图 第6题图
6．(2018·湘潭)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一．在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去有三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长．如果设AC＝x，那么可列方程为32＋x2＝(10－x)2．
7．如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要达到的B点140米(即BC＝140米)，结果他在水中实际游了500米(即AC＝500米)，求该河AB处的宽度．
解：在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，即AB2＋1402＝5002，解得AB＝480.
答：该河AB处的宽度为480米．
知识点2 勾股定理的两次应用
8．(教材P25例2变式)如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5 m，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5 m，当端点B向右移动0.5 m时，滑竿顶端A下滑0.5m.
9．为了推广城市绿色出行，南沙区交委准备在蕉门河沿岸东西走向AB路段建设一个共享单车停放点，该路段附近有两个广场C和D，如图所示，CA⊥AB，DB⊥AB，垂足分别为点A，B.AB＝3 km，CA＝2 km，DB＝1.6 km，试问这个单车停放点E应建在距点A多少千米处，才能使它到两广场的距离相等？
解：设AE＝x km时，单车停放点E到两广场的距离相等．
则BE＝(3－x)km.
在Rt△ACE中，根据勾股定理，得
AC2＋AE2＝CE2；
在Rt△BDE中，根据勾股定理，得
BE2＋BD2＝DE2.
∵CE＝DE，∴AC2＋AE2＝BE2＋BD2，
即22＋x2＝(3－x)2＋1.62.
解得x＝1.26.
∴这个单车停放点E应建在距点A1.26 km处，才能使它到两广场的距离相等．
02 中档题
10．如图，小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是(C)
A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m
第10题图 第11题图
11．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 m，那么小巷的宽度为(C)
A．0.7 m B．1.5 m
C．2.2 m D．2.4 m
12．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5 m，高3 m，计划在楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少为(D)
A．4 m B．8 m C．9 m D．7 m
第12题图 第13题图
13．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4 m，高3 m，长20 m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，则阳光透过的最大面积为100m2.
14．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到点D，则橡皮筋被拉长了2cm.
第14题图 第15题图
15．有一透明的圆柱体玻璃杯，从内部测得底部直径为6 cm，杯深8 cm.今有一根长为16 cm的吸管如图放入杯中，露在杯口外的长度为h，则h的变化范围是：6__cm≤h≤8__cm．
16．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100 m的P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3 s，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了80 km/h的限制速度？
解：在Rt△APO中，∠APO＝60 °，则∠PAO＝30 °.
∴AP＝2OP＝200 m，
AO＝＝＝100(m)．
在Rt△BOP中，∠BPO＝45 °，则BO＝OP＝100 m.
∴AB＝AO－BO＝100－100≈73(m)．
∴从A到B小车行驶的速度为73÷3≈24.3(m/s)＝87.48 km/h>80 km/h.
∴此车超过80 km/h的限制速度．
03 综合题
17．在一次课外实践活动中，同学们要知道校园内A，B两处的距离，但无法直接测得．已知校园内A，B，C三点形成的三角形如图所示，现测得AC＝6 m，BC＝14 m，∠CAB＝120°，请计算A，B两处之间的距离．
解：过点C作CH⊥AB，垂足为H.
∵∠CAB＝120 °，
∴∠CAH＝60 °.
∴在Rt△ACH中，∠ACH＝90 °－60 °＝30 °.
∵AC＝6 m，
∴AH＝3 m.
在Rt△ACH中，根据勾股定理，得
CH＝＝＝3(m)．
在Rt△BCH中，根据勾股定理，得
BH＝＝＝＝13(m)．
∴AB＝BH－AH＝13－3＝10(m)，
即A，B两处之间的距离为10 m.
17．1 勾股定理
第3课时 利用勾股定理作图
01 基础题
知识点1 在数轴上表示无理数
利用____在数轴上表示无理数，说明实数与数轴上的点是一一对应的关系．
如图，数轴上的点A表示的实数是____．
1．(2018·遵义期末)如图所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是()
A．1 B．2.41
C. D．1＋
2．小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：首先画出数轴，设原点为点O，在数轴上的2个单位长度的位置找一个点A，然后过点A作AB⊥OA，且AB＝3.以点O为圆心，OB为半径作弧，设与数轴右侧交点为P，则点P的位置在数轴上()
A．1和2之间
B．2和3之间
C．3和4之间
D．4和5之间
3．(教材P27练习T1变式)在数轴上作出表示的点．(要求保留作图痕迹)
知识点2 勾股定理与网格作图
4．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为()
A．5 B．6
C．7 D．25
第4题图 第5题图
5．如图，图中小正方形的边长为1，△ABC的周长为()
A．16 B．12＋4
C．7＋7 D．5＋11
6．利用如图4×4的方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数和－.
知识点3 等腰三角形中的勾股定理
7．若等边△ABC的边长为2 cm，则△ABC的面积为()
A. cm2 B．2 cm2
C．3 cm2 D．4 cm2
8．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为()
A．(1，1) B．(，1)
C．(，) D．(1，)
第8题图 第9题图
9．如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为()
A. B.
C. D．2－
10．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则点A到边BC的距离为()
A. B.
C. D．3
第10题图 第11题图
11．将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB＝12 cm，则AF＝____cm.
12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13 cm，BC＝10 cm，求等腰三角形BC边上的高．
02 中档题
13．点A，B，C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离为____．
14．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，求BD的长．
15．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点．
(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；
(2)如图2所示，A，B，C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．
03 综合题
16．仔细观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题．
OA＝()2＋1＝2，S1＝；
OA＝()2＋1＝3，S2＝；
OA＝()2＋1＝4，S3＝；
…
(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；
(2)推算出OA10的长；
(3)求出S＋S＋S＋…＋S的值．
17．1 勾股定理
第3课时 利用勾股定理作图
01 基础题
知识点1 在数轴上表示无理数
利用勾股定理在数轴上表示无理数，说明实数与数轴上的点是一一对应的关系．
如图，数轴上的点A表示的实数是．
1．(2018·遵义期末)如图所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是(D)
A．1 B．2.41
C. D．1＋
2．小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：首先画出数轴，设原点为点O，在数轴上的2个单位长度的位置找一个点A，然后过点A作AB⊥OA，且AB＝3.以点O为圆心，OB为半径作弧，设与数轴右侧交点为P，则点P的位置在数轴上(C)
A．1和2之间
B．2和3之间
C．3和4之间
D．4和5之间
3．(教材P27练习T1变式)在数轴上作出表示的点．(要求保留作图痕迹)
解：如图所示，点A即为所求．
知识点2 勾股定理与网格作图
4．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为(A)
A．5 B．6
C．7 D．25
第4题图 第5题图
5．如图，图中小正方形的边长为1，△ABC的周长为(B)
A．16 B．12＋4
C．7＋7 D．5＋11
6．利用如图4×4的方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数和－.
解：如图所示：
知识点3 等腰三角形中的勾股定理
7．若等边△ABC的边长为2 cm，则△ABC的面积为(A)
A. cm2 B．2 cm2
C．3 cm2 D．4 cm2
8．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为(D)
A．(1，1) B．(，1)
C．(，) D．(1，)
第8题图 第9题图
9．如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为(D)
A. B.
C. D．2－
10．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则点A到边BC的距离为(C)
A. B.
C. D．3
第10题图 第11题图
11．将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB＝12 cm，则AF＝6cm.
12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13 cm，BC＝10 cm，求等腰三角形BC边上的高．
解：过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB＝AC＝13 cm，
∴BD＝CD＝BC＝×10＝5(cm)．
∴AD＝＝＝12(cm)．
02 中档题
13．点A，B，C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离为．
14．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，求BD的长．
解：∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，∴CB＝CD.
∴∠BDC＝∠DBC.
又∵∠BCD＝180 °－∠DCE＝180 °－60 °＝120 °，
∴∠BDC＝∠DBC＝30 °.
又∵∠CDE＝60 °，∴∠BDE＝90 °.
在Rt△BDE中，DE＝4，BE＝8，根据勾股定理，得
BD＝＝＝4.
15．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点．
(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；
(2)如图2所示，A，B，C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．
解：(1)如图1所示．
(2)如图2，连接AC，并设点D，E，
则BC＝AC＝，
且易证△ACD≌△BCE.
∴∠ACD＝∠BCE.
∴∠ACB＝90 °.
∴∠ABC＝∠CAB＝45 °.
03 综合题
16．仔细观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题．
OA＝()2＋1＝2，S1＝；
OA＝()2＋1＝3，S2＝；
OA＝()2＋1＝4，S3＝；
…
(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；
(2)推算出OA10的长；
(3)求出S＋S＋S＋…＋S的值．
解：(1)OA＝()2＋1＝n，
Sn＝(n为正整数)．
(2)OA＝()2＋1＝10，
∴OA10＝.
(3)S＋S＋S＋…＋S
＝()2＋()2＋()2＋…＋()2＋()2
＝＋＋＋…＋＋
＝
＝
＝.
