【华师大版八年级下册进阶培优训练】第十二讲 矩形性质与判定培优辅导（含答案）
文档属性
| 名称 | 【华师大版八年级下册进阶培优训练】第十二讲 矩形性质与判定培优辅导（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-25 17:11:33 | ||
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文档简介
第十二讲 矩形性质与判定培优竞赛辅导
知识梳理
1、矩形的定义： ．
2、矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质
对称性： ．
矩形的性质定理①： ．
矩形的性质定理②： ．
推论：①直角三角形斜边上的中线等于 ．
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则AB边上的中线CD＝______．
②直角三角形中， 的角所对的直角边等于 ．
3、矩形的判定 判定①： 是矩形．
判定②： 是矩形．
判定③： 是矩形．
二、经典例题<矩形的性质>
【例1】如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：PA＝PQ．
【变式题组】1、如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE与F，
连接DE．求证：DF＝DC．
2、已知：如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE∶ED＝1∶3，从两条对角线的交点O作OF⊥AD于F，且OF＝2，求BD的长．
【例2】已知：如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AEC＝90°．求证：△BED是直角三角形．
【变式题组】1、矩形ABCD，E是CB延长线上一点，且CE＝CA，F是AE的中点．
求证：DF⊥BF．
2、矩形ABCD中，点H在对角线BD上，HC⊥BD，HC的延长线交∠BAD的平分线于点E，说明CE与BD的数量关系。
<矩形的判定>
【例3】已知：如图，在□ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA的平分线，AQ与BN相交于P，CN与DQ相交于M，试说明四边形MNPQ是矩形．
【变式题组】1、 如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连结．
⑴ 求证：．
⑵ 如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
2、如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。
①求证：EO=FO；②当O点运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明理由。
三、矩形与折叠
【例】如图，四边形OABC是矩形，点D在OC边上，以AD为折痕，将△OAD向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，若△ECD的周长为4，△EBA的周长为12．（1）矩形OABC的周长为______．（2）若A点坐标为（5，0），求线段AE所在直线的解析式．
【变式题组】
1、如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝______°。
2、矩形ABCD中，将它沿对角线折叠，使点C落在点F处， 若∠ABE=60°，则∠DBC= ;
若AB=4，BC=8 那么图中阴影部分的面积是 ．
3、⑴观察与发现：讲矩形纸片AOCB折叠，使点C与点A重合，点B落在点B＇处(如图1)，折痕为EF．小明发现△AEF为等腰三角形，你同意吗？请说明理由． ⑵实验与应用：以点O为坐标原点，分别以矩形的边OC、OA为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，若顶点B的坐标为(9，3)，请求出折痕EF的长及EF所在直线的函数关系式．
培优升级检测
1、下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ） A、对边相等 B、对角相等 C、对角线相等 D、对边平行
2、矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝______cm，BC＝______cm，△ABO中BO边上的高=______cm．
3、P是矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5，则PD=______.
4、矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm，则周长为_____．
5、矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线是13cm，那么矩形的周长是____________
6、在矩形ABCD中，点E为AB边的中点，且DE⊥CE，若矩形的周长为30，则AB=_______, AD=_______.
7、如图矩形对角线、交于，于，，则__．
8、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______．
9、Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AB于F，M为EF中点，则AM的最小值为_________．
10、已知如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，BC＝且∠ADB＝30°，则△ECD的面积为_________．
11、动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为_________．
12、已知边长为2的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC长的最大值是_________．
13、已知直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A（10，0），点C（0，4），点D是OA的中点，点P是BC边上的一个动点，当△POD是等腰三角形时，点P的坐标为 ．
14、在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点．
⑴若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；
⑵若E、F为边OA上的两个动点，且EF＝2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．
15、如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
（1）若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？
（2）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
（3）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为 12cm2？
第十二讲 矩形性质与判定培优竞赛辅导答案
知识梳理
1、矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形叫矩形 ．
2、矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质
对称性： 即是轴对称也是中心对称 ．
矩形的性质定理①： 四个角都是直角 ．
矩形的性质定理②： 对角线相等且互相平分 ．
推论：①直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 ．
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则AB边上的中线CD＝__6.5____．
②直角三角形中， 30° 的角所对的直角边等于 斜边的一半 ．
3、矩形的判定 判定①： 有一个角是直角的平行四边形 是矩形．
判定②： 有三个角是直角的四边形 是矩形．
判定③： 对角线相等的平行四边形 是矩形．
二、经典例题<矩形的性质>
【例1】如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：PA＝PQ．
证明：∵△PBC是等边三角形， ∴∠PCB=60°， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DCB=90°， ∴∠DCP=30°， 同理∠QCB=30°∠ABP=30°， ∴∠PCQ=∠ABP=30°， ∵△PBC是等边三角形， ∴PB=PC， ∵△QCD是等边三角形， ∴CD=QC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC， ∴AB=QC，在△PBA和△PCQ中
∴△PBA≌△PCQ（SAS），∴PA＝PQ．．
【变式题组】1、如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE于点F，连接DE．求证：DF＝DC．
证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴AD//BC，∠C=90°，AD=BC ∴∠DAF=∠AEB ∵DF⊥AE ∴∠DFA=∠B=90° ∴△DFA≌△ABE(AAS) ∴DF=AB ∴DF=CD.
2、已知：如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE∶ED＝1∶3，从两条对角线的交点O作OF⊥AD于F，且OF＝2，求BD的长．
解：在矩形ABCD中，
OB=OD ∵BE∶ED＝1∶3，∴3BE=ED ∴4BE=ED+BE=BD=2OB ∴2BE=OB BE=EO,又AE⊥BD
∴AB=OA 又∵OFOF⊥AD
∴OF是三角形DAB的中位线 ∴AB=2OF=4 BD=AC=2OA=8
【例2】已知：如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AEC＝90°．求证：△BED是直角三角形．
证明：在矩形ABCD中，OD=AO=CO=BO=AC
∵∠AEC=90°，AO=CO，
∴OE=AC
∴OE=OD=BO，∴△BED是直角三角形．
【变式题组】1、矩形ABCD，E是CB延长线上一点，且CE＝CA，F是AE的中点．
求证：DF⊥BF．
证明：连接DB，交AC于点O，连接OF． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，AC=BD=2AO=2CO，AO=CO， ∵F为AE中点，∴FO=CE， ∵CE=CA，∴FO=AC=BD， 即FO=OB=OD， ∴∠DFB=90°， 即BF⊥DF．
2、矩形ABCD中，点H在对角线BD上，HC⊥BD，HC的延长线交∠BAD的平分线于点E，说明CE与BD的数量关系。
解：过E点向AD的延长线做垂线，垂足为F，同时延长CH交AD于G ∵∠GHD=∠GFE=90°,∠HGD=∠EGF ∴∠HDG=∠GEF 又∠HDG=∠CAD ∴∠GEF=∠CAD 又∵∠EAF=∠FEA=45° ∠CAE=45°-∠CAD=45°-∠GEF=∠CEA ∴∠CAE=∠CEA ∴CE=CA CA=BD ∴CE=BD
<矩形的判定>
【例3】已知：如图，在□ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA的平分线，AQ与BN相交于P，CN与DQ相交于M，试说明四边形MNPQ是矩形．
解：在平行四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=180°， 又BN、CN分别平分∠ABC和∠BCD， ∴∠NBC+∠NCB=90°， ∴∠N=90°， 同理∠CMD=∠Q=∠APB=90°， ∴四边形PQMN为矩形。
【变式题组】1、 如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连结．
⑴ 求证：．
⑵ 如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
（1）证明：， ． 是的中点，． 又，． ，．即是的中点． （2）四边形是矩形， 证明：，， 四边形是平行四边形． ，是的中点，． 即． 四边形是矩形．
2、如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。
①求证：EO=FO；②当O点运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明理由。
解：（1）证明：∵MN∥BC ∴∠1=∠6，∠4=∠5
又∵∠1=∠2，∠3=∠4 ∴∠2=∠6，∠3=∠5
∴OE=OC，OF=OC ∴OE=OF
（2）当O点运动到AC中点时，四边形AECF是矩形
理由：当O点上AC中点时，OA=OC=OE=OF
即对角线互相平分且相等，所以是矩形。
三、矩形与折叠
【例】如图，四边形OABC是矩形，点D在OC边上，以AD为折痕，将△OAD向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，若△ECD的周长为4，△EBA的周长为12．（1）矩形OABC的周长为______．（2）若A点坐标为（5，0），求线段AE所在直线的解析式．
解：（1）∵以AD为折痕，将△OAD向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，四边形OABC是矩形， ∴AE=OA=BC，OD=DE，BC=OA，AB=OC， ∵△ECD的周长为4，△EBA的周长为12， ∴CE+CD+DE+AB+BE+AE=4+12=16， ∴CE+BE+AB+OA+OD+CD=16， 即矩形OABC的周长为16， 故答案为：16． （2）∵矩形OABC的周长为16， ∴2OA+2OC=16， ∵A点坐标为（5，0）， ∴OA=5， ∴OC=3， ∵在Rt△ABE中，∠B=90°，AB=3，AE=OA=5，由勾股定理得：BE=4， ∴CE=5-4=1， ∴E的坐标是（1，3）． 设直线AE的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵A（5，0），E（1，3）， ∴直线AE的解析式y=x+
【变式题组】
1、如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝__60____°。
2、矩形ABCD中，将它沿对角线折叠，使点C落在点F处， 若∠ABE=60°，则∠DBC= 10 ;
若AB=4，BC=8 那么图中阴影部分的面积是 10 ．
3、⑴观察与发现：讲矩形纸片AOCB折叠，使点C与点A重合，点B落在点B＇处(如图1)，折痕为EF．小明发现△AEF为等腰三角形，你同意吗？请说明理由． ⑵实验与应用：以点O为坐标原点，分别以矩形的边OC、OA为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，若顶点B的坐标为(9，3)，请求出折痕EF的长及EF所在直线的函数关系式．
解：△AEF为等腰三角形，理由：∵AB‖x轴，∴∠AEF=∠EFC． 根据折叠性质，有∠AFE=∠EFC． ∴∠AEF=∠AFC， ∴AE=AF． ∴△AEF为等腰三角形． （2）过点E作EG⊥OC于点G． 设OF=x，则CF=9-x； 由折叠可知：AF=9-x． 在Rt△AOF中，AF2=AO2+OF2 ∴32+x2=（9-x）2，∴x=4，9-x=5． ∴AE=AF=5， ∴FG=OG-OF=5-4=1． 在Rt△EFG中， EF2=EG2+FG2=10， ∴．设直线EF的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵点E（5，3）和点F（4，0）在直线EF上， ∴3=5k+b，0=4k+b， 解得k=3，b=-12． ∴y=3x-12．
培优升级检测
1、下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ C ） A、对边相等 B、对角相等 C、对角线相等 D、对边平行
2、矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝__5____cm，BC＝______cm,△ABO中BO边上的高=________．
3、P是矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5，则PD=__10____.
4、矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm，则周长为_28____．
5、矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线是13cm，那么矩形的周长是___60_________
6、在矩形ABCD中，点E为AB边的中点，且DE⊥CE，若矩形的周长为30，则AB=__10_____, AD=____5___.
7、如图矩形对角线、交于，于，，则_45°_．
8、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______．
9、Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AB于F，M为EF中点，则AM的最小值为_________．
10、已知如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，BC＝且∠ADB＝30°，则△ECD的面积为_________．
11、动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为___2______．
12、已知边长为2的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC长的最大值是_________．
13、已知直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A（10，0），点C（0，4），点D是OA的中点，点P是BC边上的一个动点，当△POD是等腰三角形时，点P的坐标为
14、在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点．
⑴若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；
⑵若E、F为边OA上的两个动点，且EF＝2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．
解：（1）作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′与x轴交于点E． ∵OB=4，OA=3，D是OB的中点， ∴OD=2，则D的坐标是（0，2），C的坐标是（3，4）． ∴D′的坐标是（0，-2）． 设直线CD′的解析式是：y=kx+b（k≠0）． 则直线的解析式是：y=2x-2． 在解析式中，令y=0，得到2x-2=0， 解得x=1．则E的坐标为（1，0）； （2）作出D的对称点D′，把D′向右平移两个单位长度到M，则连接CM，与x轴的交点就是F，F点向左平移2个单位长度就是E． ∵D′的坐标是（0，-2）， ∴M的坐标是（2，-2）． 设直线CM的解析式是：y=kx+b（k≠0）． 则直线的解析式是：y=6x-14． 在y=6x-14中，令y=0， 解得x=
∴点F的坐标为（，0）
则点E的坐标为（，0）
15、如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
（1）若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？
（2）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
（3）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为 12cm2？
解：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得
EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；
在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得
PE+EQ=PQ ，即36+36=PQ ，
∴PQ=6cm；
∴经过2s时P、Q两点之间的距离是6cm；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．
（16-2x-3x）+6=10 ，即（16-5x）=64，
∴16-5x=±8，
∴
∴经过 ，P、Q两点之间的距离是10cm；
（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm．
①当0≤y≤时，则PB=16-3y，
∴ PB?BC=12，即×（16-3y）×6=12，
解得y=4；
②当 ＜x≤时，
BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则
BP?CQ= （3y-16）×2y=12，
解得y=6，y=-（舍去）；
③ ＜x≤8时，
QP=CQ-PQ=22-y，则
QP?CB=（22-y）×6=12，
解得y=18（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm．
知识梳理
1、矩形的定义： ．
2、矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质
对称性： ．
矩形的性质定理①： ．
矩形的性质定理②： ．
推论：①直角三角形斜边上的中线等于 ．
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则AB边上的中线CD＝______．
②直角三角形中， 的角所对的直角边等于 ．
3、矩形的判定 判定①： 是矩形．
判定②： 是矩形．
判定③： 是矩形．
二、经典例题<矩形的性质>
【例1】如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：PA＝PQ．
【变式题组】1、如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE与F，
连接DE．求证：DF＝DC．
2、已知：如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE∶ED＝1∶3，从两条对角线的交点O作OF⊥AD于F，且OF＝2，求BD的长．
【例2】已知：如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AEC＝90°．求证：△BED是直角三角形．
【变式题组】1、矩形ABCD，E是CB延长线上一点，且CE＝CA，F是AE的中点．
求证：DF⊥BF．
2、矩形ABCD中，点H在对角线BD上，HC⊥BD，HC的延长线交∠BAD的平分线于点E，说明CE与BD的数量关系。
<矩形的判定>
【例3】已知：如图，在□ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA的平分线，AQ与BN相交于P，CN与DQ相交于M，试说明四边形MNPQ是矩形．
【变式题组】1、 如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连结．
⑴ 求证：．
⑵ 如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
2、如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。
①求证：EO=FO；②当O点运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明理由。
三、矩形与折叠
【例】如图，四边形OABC是矩形，点D在OC边上，以AD为折痕，将△OAD向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，若△ECD的周长为4，△EBA的周长为12．（1）矩形OABC的周长为______．（2）若A点坐标为（5，0），求线段AE所在直线的解析式．
【变式题组】
1、如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝______°。
2、矩形ABCD中，将它沿对角线折叠，使点C落在点F处， 若∠ABE=60°，则∠DBC= ;
若AB=4，BC=8 那么图中阴影部分的面积是 ．
3、⑴观察与发现：讲矩形纸片AOCB折叠，使点C与点A重合，点B落在点B＇处(如图1)，折痕为EF．小明发现△AEF为等腰三角形，你同意吗？请说明理由． ⑵实验与应用：以点O为坐标原点，分别以矩形的边OC、OA为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，若顶点B的坐标为(9，3)，请求出折痕EF的长及EF所在直线的函数关系式．
培优升级检测
1、下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ） A、对边相等 B、对角相等 C、对角线相等 D、对边平行
2、矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝______cm，BC＝______cm，△ABO中BO边上的高=______cm．
3、P是矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5，则PD=______.
4、矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm，则周长为_____．
5、矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线是13cm，那么矩形的周长是____________
6、在矩形ABCD中，点E为AB边的中点，且DE⊥CE，若矩形的周长为30，则AB=_______, AD=_______.
7、如图矩形对角线、交于，于，，则__．
8、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______．
9、Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AB于F，M为EF中点，则AM的最小值为_________．
10、已知如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，BC＝且∠ADB＝30°，则△ECD的面积为_________．
11、动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为_________．
12、已知边长为2的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC长的最大值是_________．
13、已知直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A（10，0），点C（0，4），点D是OA的中点，点P是BC边上的一个动点，当△POD是等腰三角形时，点P的坐标为 ．
14、在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点．
⑴若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；
⑵若E、F为边OA上的两个动点，且EF＝2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．
15、如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
（1）若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？
（2）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
（3）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为 12cm2？
第十二讲 矩形性质与判定培优竞赛辅导答案
知识梳理
1、矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形叫矩形 ．
2、矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质
对称性： 即是轴对称也是中心对称 ．
矩形的性质定理①： 四个角都是直角 ．
矩形的性质定理②： 对角线相等且互相平分 ．
推论：①直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 ．
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则AB边上的中线CD＝__6.5____．
②直角三角形中， 30° 的角所对的直角边等于 斜边的一半 ．
3、矩形的判定 判定①： 有一个角是直角的平行四边形 是矩形．
判定②： 有三个角是直角的四边形 是矩形．
判定③： 对角线相等的平行四边形 是矩形．
二、经典例题<矩形的性质>
【例1】如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：PA＝PQ．
证明：∵△PBC是等边三角形， ∴∠PCB=60°， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DCB=90°， ∴∠DCP=30°， 同理∠QCB=30°∠ABP=30°， ∴∠PCQ=∠ABP=30°， ∵△PBC是等边三角形， ∴PB=PC， ∵△QCD是等边三角形， ∴CD=QC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC， ∴AB=QC，在△PBA和△PCQ中
∴△PBA≌△PCQ（SAS），∴PA＝PQ．．
【变式题组】1、如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE于点F，连接DE．求证：DF＝DC．
证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴AD//BC，∠C=90°，AD=BC ∴∠DAF=∠AEB ∵DF⊥AE ∴∠DFA=∠B=90° ∴△DFA≌△ABE(AAS) ∴DF=AB ∴DF=CD.
2、已知：如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE∶ED＝1∶3，从两条对角线的交点O作OF⊥AD于F，且OF＝2，求BD的长．
解：在矩形ABCD中，
OB=OD ∵BE∶ED＝1∶3，∴3BE=ED ∴4BE=ED+BE=BD=2OB ∴2BE=OB BE=EO,又AE⊥BD
∴AB=OA 又∵OFOF⊥AD
∴OF是三角形DAB的中位线 ∴AB=2OF=4 BD=AC=2OA=8
【例2】已知：如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AEC＝90°．求证：△BED是直角三角形．
证明：在矩形ABCD中，OD=AO=CO=BO=AC
∵∠AEC=90°，AO=CO，
∴OE=AC
∴OE=OD=BO，∴△BED是直角三角形．
【变式题组】1、矩形ABCD，E是CB延长线上一点，且CE＝CA，F是AE的中点．
求证：DF⊥BF．
证明：连接DB，交AC于点O，连接OF． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，AC=BD=2AO=2CO，AO=CO， ∵F为AE中点，∴FO=CE， ∵CE=CA，∴FO=AC=BD， 即FO=OB=OD， ∴∠DFB=90°， 即BF⊥DF．
2、矩形ABCD中，点H在对角线BD上，HC⊥BD，HC的延长线交∠BAD的平分线于点E，说明CE与BD的数量关系。
解：过E点向AD的延长线做垂线，垂足为F，同时延长CH交AD于G ∵∠GHD=∠GFE=90°,∠HGD=∠EGF ∴∠HDG=∠GEF 又∠HDG=∠CAD ∴∠GEF=∠CAD 又∵∠EAF=∠FEA=45° ∠CAE=45°-∠CAD=45°-∠GEF=∠CEA ∴∠CAE=∠CEA ∴CE=CA CA=BD ∴CE=BD
<矩形的判定>
【例3】已知：如图，在□ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA的平分线，AQ与BN相交于P，CN与DQ相交于M，试说明四边形MNPQ是矩形．
解：在平行四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=180°， 又BN、CN分别平分∠ABC和∠BCD， ∴∠NBC+∠NCB=90°， ∴∠N=90°， 同理∠CMD=∠Q=∠APB=90°， ∴四边形PQMN为矩形。
【变式题组】1、 如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连结．
⑴ 求证：．
⑵ 如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
（1）证明：， ． 是的中点，． 又，． ，．即是的中点． （2）四边形是矩形， 证明：，， 四边形是平行四边形． ，是的中点，． 即． 四边形是矩形．
2、如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。
①求证：EO=FO；②当O点运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明理由。
解：（1）证明：∵MN∥BC ∴∠1=∠6，∠4=∠5
又∵∠1=∠2，∠3=∠4 ∴∠2=∠6，∠3=∠5
∴OE=OC，OF=OC ∴OE=OF
（2）当O点运动到AC中点时，四边形AECF是矩形
理由：当O点上AC中点时，OA=OC=OE=OF
即对角线互相平分且相等，所以是矩形。
三、矩形与折叠
【例】如图，四边形OABC是矩形，点D在OC边上，以AD为折痕，将△OAD向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，若△ECD的周长为4，△EBA的周长为12．（1）矩形OABC的周长为______．（2）若A点坐标为（5，0），求线段AE所在直线的解析式．
解：（1）∵以AD为折痕，将△OAD向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，四边形OABC是矩形， ∴AE=OA=BC，OD=DE，BC=OA，AB=OC， ∵△ECD的周长为4，△EBA的周长为12， ∴CE+CD+DE+AB+BE+AE=4+12=16， ∴CE+BE+AB+OA+OD+CD=16， 即矩形OABC的周长为16， 故答案为：16． （2）∵矩形OABC的周长为16， ∴2OA+2OC=16， ∵A点坐标为（5，0）， ∴OA=5， ∴OC=3， ∵在Rt△ABE中，∠B=90°，AB=3，AE=OA=5，由勾股定理得：BE=4， ∴CE=5-4=1， ∴E的坐标是（1，3）． 设直线AE的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵A（5，0），E（1，3）， ∴直线AE的解析式y=x+
【变式题组】
1、如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝__60____°。
2、矩形ABCD中，将它沿对角线折叠，使点C落在点F处， 若∠ABE=60°，则∠DBC= 10 ;
若AB=4，BC=8 那么图中阴影部分的面积是 10 ．
3、⑴观察与发现：讲矩形纸片AOCB折叠，使点C与点A重合，点B落在点B＇处(如图1)，折痕为EF．小明发现△AEF为等腰三角形，你同意吗？请说明理由． ⑵实验与应用：以点O为坐标原点，分别以矩形的边OC、OA为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，若顶点B的坐标为(9，3)，请求出折痕EF的长及EF所在直线的函数关系式．
解：△AEF为等腰三角形，理由：∵AB‖x轴，∴∠AEF=∠EFC． 根据折叠性质，有∠AFE=∠EFC． ∴∠AEF=∠AFC， ∴AE=AF． ∴△AEF为等腰三角形． （2）过点E作EG⊥OC于点G． 设OF=x，则CF=9-x； 由折叠可知：AF=9-x． 在Rt△AOF中，AF2=AO2+OF2 ∴32+x2=（9-x）2，∴x=4，9-x=5． ∴AE=AF=5， ∴FG=OG-OF=5-4=1． 在Rt△EFG中， EF2=EG2+FG2=10， ∴．设直线EF的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵点E（5，3）和点F（4，0）在直线EF上， ∴3=5k+b，0=4k+b， 解得k=3，b=-12． ∴y=3x-12．
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1、下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ C ） A、对边相等 B、对角相等 C、对角线相等 D、对边平行
2、矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝__5____cm，BC＝______cm,△ABO中BO边上的高=________．
3、P是矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5，则PD=__10____.
4、矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm，则周长为_28____．
5、矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线是13cm，那么矩形的周长是___60_________
6、在矩形ABCD中，点E为AB边的中点，且DE⊥CE，若矩形的周长为30，则AB=__10_____, AD=____5___.
7、如图矩形对角线、交于，于，，则_45°_．
8、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______．
9、Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AB于F，M为EF中点，则AM的最小值为_________．
10、已知如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，BC＝且∠ADB＝30°，则△ECD的面积为_________．
11、动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为___2______．
12、已知边长为2的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC长的最大值是_________．
13、已知直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A（10，0），点C（0，4），点D是OA的中点，点P是BC边上的一个动点，当△POD是等腰三角形时，点P的坐标为
14、在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点．
⑴若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；
⑵若E、F为边OA上的两个动点，且EF＝2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．
解：（1）作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′与x轴交于点E． ∵OB=4，OA=3，D是OB的中点， ∴OD=2，则D的坐标是（0，2），C的坐标是（3，4）． ∴D′的坐标是（0，-2）． 设直线CD′的解析式是：y=kx+b（k≠0）． 则直线的解析式是：y=2x-2． 在解析式中，令y=0，得到2x-2=0， 解得x=1．则E的坐标为（1，0）； （2）作出D的对称点D′，把D′向右平移两个单位长度到M，则连接CM，与x轴的交点就是F，F点向左平移2个单位长度就是E． ∵D′的坐标是（0，-2）， ∴M的坐标是（2，-2）． 设直线CM的解析式是：y=kx+b（k≠0）． 则直线的解析式是：y=6x-14． 在y=6x-14中，令y=0， 解得x=
∴点F的坐标为（，0）
则点E的坐标为（，0）
15、如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
（1）若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？
（2）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
（3）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为 12cm2？
解：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得
EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；
在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得
PE+EQ=PQ ，即36+36=PQ ，
∴PQ=6cm；
∴经过2s时P、Q两点之间的距离是6cm；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．
（16-2x-3x）+6=10 ，即（16-5x）=64，
∴16-5x=±8，
∴
∴经过 ，P、Q两点之间的距离是10cm；
（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm．
①当0≤y≤时，则PB=16-3y，
∴ PB?BC=12，即×（16-3y）×6=12，
解得y=4；
②当 ＜x≤时，
BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则
BP?CQ= （3y-16）×2y=12，
解得y=6，y=-（舍去）；
③ ＜x≤8时，
QP=CQ-PQ=22-y，则
QP?CB=（22-y）×6=12，
解得y=18（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm．