备考2019中考数学高频考点剖析
专题十九 平面几何之直角三角形问题
考点扫描☆聚焦中考
直角三角形问题，是每年中考的必考重点内容之一，考查的知识点包括直角三角形的性质、勾股定理和解直角三角形三方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。关于解直角三角形主要是解析题。解析题主要以计算为主。结合2017、2018年全国各地中考的实例和2019年名校中考模拟试题，我们从三方面进行直角三角形问题的探讨：
（1）直角三角形的性质；
（2）勾股定理；
（3）解直角三角形．
考点剖析☆典型例题
例1如图所示，在Rt△ABC， ∠ACB=90°，AC=5，BC=12，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转60°，得到△BDE，若连结DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为（ ??）
A.?44??????B.?43?????C.?42???????D.?41
例2如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）
A． 1，2，3 B． 1，1， C． 1，1， D． 1，2，
例3长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是 cm．
例4将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入．图2是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器中牛奶的高度（结果精确到0.1cm）．（参考数据：≈1.73，≈1.41）
例5阅读下列材料，然后解决问题：和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，
截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
（1）如图1，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是________；
（2）问题解决：
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC，边CD上的两点，且∠EAF＝∠BAD，求证：BE+DF＝EF．
（3）问题拓展：
如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC交CA延长线于点E，F是AC上一点，且DF＝DB．
求证：AC﹣AE＝AF．
考点过关☆专项突破
类型一 直角三角形基本性质
1. 如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，作CM⊥AD，垂足为M，下列结论不正确的是(??? )
A.?AD=CE?????B.?MF=????C.?∠BEC=∠CDA????D.?AM=CM
2.如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD= ．
3. （2018·云南省曲靖·3分）如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是 ．
4. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD=1，则BD= ．
6. 如图，OA＝ ，以OA为直角边作Rt△OAA1 ， 使∠AOA1＝30°，再以OA1为直角边作Rt△OA1A2 ， 使∠A1OA2＝30°，……，依此法继续作下去，则A1A2的长为（?? ）
A.????? B.????? C.????? D.?
7. （2018?湘潭）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为 ．
8. 已知AD是△ABC的外角平分线．
（1）如图（1），当AB＝AC时，求证：AD∥BC；
（2）如图（2），当AB＜AC时，BC的垂直平分线交AD于点P，PM⊥BA，交BA的延长线于点M，求证：AC＝2AM+AB；
（3）在（2）的条件下，如图（3）连接PC，若∠ACP＝30°，PM＝2AM，AC＝PC，AM＝5，求AB的长．
类型二 勾股定理
1. 如图，△ABC的两条高线BD，CE相交于点F，已知∠ABC=60°，AB=10，CF=EF，则△ABC的面积为（ ）
A．20 B．25 C．30 D．40
3．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DF=50cm，EF=30cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=20m，则树高AB为（ ）
A．12 m B．13.5 m C．15 m D．16.5 m
4. （2018·湖北荆州·3分）为了比较+1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得+1 ．（填“＞”或“＜”或“=”）
5. （2018·云南省·3分）在△ABC中，AB=，AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为 ．
6. (嘉兴模拟)按照有关规定：距高铁轨道 200米以内的区域内不宜临路新建学校、医院、敬老院和集中住宅区等噪声敏感建筑物．
如图是一个小区平面示意图，矩形ABEF为一新建小区，直线MN为高铁轨道，C、D是直线MN上的两点，点C、A、B在一直线上，且DA⊥CA，∠ACD=30°．小王看中了①号楼A单元的一套住宅，与售楼人员的对话如下：
（1）小王心中一算，发现售楼人员的话不可信，请你用所学的数学知识说明理由；
（2）若一列长度为228米的高铁以252千米/小时的速度通过时，则A单元用户受到影响时间有多长？
（温馨提示：≈1.4，≈1.7，≈6.1）
7. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，∠C＝30°点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）DF＝________；（用含t的代数式表示）
（2）求证：△AED≌△FDE；
（3）当t为何值时，△DEF是等边三角形？说明理由；
（4）当t为何值时，△DEF为直角三角形？（请直接写出t的值．）
类型三 解直角三角形
1．如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
2．小明沿着坡比为1：的山坡向上走了600m，则他升高了（ ）
A． m B．200m C．300 m D．200m
3．（2018?重庆）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米，升旗台坡面CD的坡度i=1：0.75，坡长CD=2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米，则旗杆AB的高度约为（ ）（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6）
A．12.6米 B．13.1米 C．14.7米 D．16.3米
4. （2018?长春）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（ ）
A．800sinα米 B．800tanα米 C．米 D．米
5. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是 ．
6. （2018?泰安）如图，在△ABC中，AC=6，BC=10，tanC=，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD=x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为 ．
7. （2018?枣庄）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为 米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601】
8. （2018?贵阳）如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：
∵sinA=，sinB=
∴c=，c=
∴=
根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．
9. （2018?绍兴）如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F．已知AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，BD=40cm．
（1）窗扇完全打开，张角∠CAB=85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数；
（2）窗扇部分打开，张角∠CAB=60°，求此时点A，B之间的距离（精确到0.1cm）．
（参考数据：≈1.732，≈2.449）
10. .如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接。图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F。已知AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，BD=40cm。
（1）窗扇完全打开，张角∠CAB=85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数。
（2）窗扇部分打开，张角∠CAB=60°，求此时点A，B之间的距离（精确到0.1cm）。（参考数据： ≈1.732， ≈2.449）
11. （2017?杭州一模）如图，由12个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知这个大矩形网格的宽为4，△ABC的顶点都在格点．
（1）求每个小矩形的长与宽；
（2）在矩形网格中找出所有的格点E，使△ABE为直角三角形；（描出相应的点，并分别用E1，E2…表示）
（3）求sin∠ACB的值．
备考2019中考数学高频考点剖析
专题十九 平面几何之直角三角形问题
考点扫描☆聚焦中考
直角三角形问题，是每年中考的必考重点内容之一，考查的知识点包括直角三角形的性质、勾股定理和解直角三角形三方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。关于解直角三角形主要是解析题。解析题主要以计算为主。结合2017、2018年全国各地中考的实例和2019年名校中考模拟试题，我们从三方面进行直角三角形问题的探讨：
（1）直角三角形的性质；
（2）勾股定理；
（3）解直角三角形．
考点剖析☆典型例题
例1如图所示，在Rt△ABC， ∠ACB=90°，AC=5，BC=12，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转60°，得到△BDE，若连结DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为（ ??）
A.?44??????B.?43?????C.?42???????D.?41
【考点】等边三角形的判定与性质，勾股定理
【分析】根据旋转的性质可得∠CBD=60°，△ACB≌△EDB，在Rt△ACB中，根据勾股定理求得AB=13，再由旋转的性质和等边三角形的判定可得△DCB为等边三角形，由C△ACF+C△BDF=AC+CF+AF+BF+DF+BD，代入数值计算即可得出答案.
【解析】【解答】 解：依题可得： ∠CBD=60°，△ACB≌△EDB， ∵AC=5，BC=12，∠ACB=90°， ∴AB==13， ∴BD=12，DE=5，BE=13， ∵∠CBD=60°，BC=BD=12， ∴△DCB为等边三角形， ∴CD=12， ∴C△ACF+C△BDF=AC+CF+AF+BF+DF+BD， =AC+CD+AB+BD， =5+12+13+12， =42. 故答案为：C. 例2如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）
A． 1，2，3 B． 1，1， C． 1，1， D． 1，2，
分析： A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；
B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；
C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．
解答： 解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；
B、∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；
C、底边上的高是=，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．
故选：D．
点评： 考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念．
例3长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是 cm．
【考点】平面展开-最短路径问题．
【分析】蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径．
【解答】解：如图所示，
路径一：AB==13；
路径二：AB==；
路径三：AB==；
∵＞13＞，
∴cm为最短路径．
【点评】此题关键是把长方体拉平后用了勾股定理求出对角线的长度．
例4将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入．图2是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器中牛奶的高度（结果精确到0.1cm）．（参考数据：≈1.73，≈1.41）
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】根据题意得出AP，BP的长，再利用三角形面积求法得出NP的长，进而得出容器中牛奶的高度．
【解答】解：过点P作PN⊥AB于点N，
∵由题意可得：∠ABP=30°，AB=8cm，
∴AP=4cm，BP=ABcos30°=4cm，
∴NP×AB=AP×BP，
∴NP===2（cm），
∴9﹣2≈5.5（cm），
答：容器中牛奶的高度约为：5.5cm．
【点评】此题主要考查了解直角三角形以及三角形面积求法等知识，得出PN的长是解题关键．
例5阅读下列材料，然后解决问题：和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，
截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
（1）如图1，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是________；
（2）问题解决：
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC，边CD上的两点，且∠EAF＝∠BAD，求证：BE+DF＝EF．
（3）问题拓展：
如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC交CA延长线于点E，F是AC上一点，且DF＝DB．
求证：AC﹣AE＝AF．
【分析】（1）延长AD到点E使DE＝AD，连接BE，利用SAS证明△ADC∽△EDB，利用全等三角形的性质，可知BE=AC，然后在△ABE中，利用三角形三边关系定理，就可求出AD的取值范围。 （2）延长CB到G，使BG＝DF，利用SAS在证明△ABG≌△ADF，再利用全等三角形的性质，易证AG＝AF，∠GAB＝∠FAD，再证明∠GAE＝∠FAE，利用SAS可证△AEG≌△AEF，从而可证得EF＝GE，然后根据 EF＝BE+BG可证得结论。 （3）作DH⊥AB于H，在AB上截取BR＝AF，利用已知条件易证 AB＝2AC，利用角平分线的性质，可证得DE＝DH，AH＝AE，再利用全等三角形的判定和性质，可证Rt△DEF≌Rt△DHB，△DAF≌△DRB，利用全等三角形的性质，可证得∠DFA＝∠DBA，DA＝DR，从而可证AH＝HR＝AE，然后由AF＝BR＝AB﹣AR＝2AC﹣2AE，即可证得结论。
【答案】（1）延长AD到点E使DE＝AD，连接BE，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝8，
AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即21﹣8＜2AD＜12+8，
∴2＜AD＜10，
故答案为：2＜AD＜10
（2）证明：延长CB到G，使BG＝DF，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，
∴∠ADC＝∠ABG，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠GAB＝∠FAD，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠FAD+∠BAE＝∠GAB+∠BAE＝∠BAD，
∴∠GAE＝∠FAE，
在△AEG和△AEF中，
，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EF＝GE，
∴EF＝BE+BG＝BE+DF
（3）证明：作DH⊥AB于H，在AB上截取BR＝AF，
∵∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC，
∵点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC，DH⊥AB，
∴DE＝DH，AH＝AE，
在Rt△DEF和Rt△DHB中，
∴Rt△DEF≌Rt△DHB（HL）
∴∠DFA＝∠DBA，
在△DAF和△DRB中，
，
∴△DAF≌△DRB（SAS）
∴DA＝DR，
∴AH＝HR＝AE＝AR，
∵AF＝BR＝AB﹣AR＝2AC﹣2AE
∴AC﹣AE＝AF．
【考点】三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质
考点过关☆专项突破
类型一 直角三角形基本性质
1. 如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，作CM⊥AD，垂足为M，下列结论不正确的是(??? )
A.?AD=CE?????B.?MF=????C.?∠BEC=∠CDA????D.?AM=CM
【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形
【分析】根据等边三角形的性质可证得∠B=∠ACD=60°=∠ACB，AB=BC=AC，由BD=AE，可知BE=CD，再利用SAS证明△BEC≌△CDA，利用全等三角形的性质，可证得AD=CE，∠BEC=∠CDA，∠BCE=∠DAC，可对A、C作出判断；利用三角形外角的性质去证明∠MFC=60°，然后利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可对B作出判断，由已知不能证明AM=CM，从而可得出答案。
【解析】解：∵△ABC是等边三角形 ∴∠B=∠ACD=60°=∠ACB，AB=BC=AC ∵BD=AE ∴BE=CD 在△BEC和△CDA中 ∴△BEC≌△CDA（SAS） ∴AD=CE，故A不符合题意； ∴∠BEC=∠CDA，故B你符合题意； ∵∠MFC=∠DAC+∠ACE，△BEC≌△CDA ∴∠BCE=∠DAC ∴∠MFC=∠BCE+∠ACE=∠ACB=60° ∵CM⊥AD ∴∠FMC=90° ∴∠FCM=90°-60°=30° ∴MF=CF，故C不符合题意； 不能证明AM=CM，故D符合题意； 故答案为：D 2.如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD= 2 ．
【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠ACP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．
【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵∠BOP=∠AOP=15°，
∴∠AOB=30°，
∵PC∥OB，
∴∠ACP=∠AOB=30°，
∴在Rt△PCE中，PE=PC=×4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴PD=PE=2，
故答案是：2．
3. （2018·云南省曲靖·3分）如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是 18 ．
【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴AC=2DE=5，AC∥DE，
AC2+BC2=52+122=169，
AB2=132=169，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∵AC∥DE，
∴∠DEB=90°，又∵E是BC的中点，
∴直线DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC=BD，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18，
故答案为：18．
4. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD=1，则BD= 2 ．
【分析】根据角平分线性质求出∠BAD的度数，根据含30度角的直角三角形性质求出AD即可得BD．
【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
AD平分∠CAB，
∴∠BAD=30°，
∴BD=AD=2CD=2，
故答案为2．
6. 如图，OA＝ ，以OA为直角边作Rt△OAA1 ， 使∠AOA1＝30°，再以OA1为直角边作Rt△OA1A2 ， 使∠A1OA2＝30°，……，依此法继续作下去，则A1A2的长为（?? ）
A.????? B.????? C.????? D.?
【考点】含30度角的直角三角形，勾股定理
【分析】由30度所对的直角边等于斜边的一半，可以得到2AA1=A1O，根据勾股定理可以求得A1O=2，再由2A1A2=A2O，求得A1A2=
【解析】【解答】解：∵∠OAA1＝90°，OA＝，∠AOA1＝30°，
∴AA1＝OA1 ，
由勾股定理得：OA2+AA12＝OA12 ，
即（ ）2+（OA1 ）2＝OA12 ，
解得：OA1＝2，
∵∠A1OA2＝30°，
∴A1A2的长＝=，
故答案为：B
7. （2018?湘潭）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为 x2+32=（10﹣x）2 ．
【分析】设AC=x，可知AB=10﹣x，再根据勾股定理即可得出结论．
【解答】解：设AC=x，
∵AC+AB=10，
∴AB=10﹣x．
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10﹣x）2．
故答案为：x2+32=（10﹣x）2．
8. 已知AD是△ABC的外角平分线．
（1）如图（1），当AB＝AC时，求证：AD∥BC；
（2）如图（2），当AB＜AC时，BC的垂直平分线交AD于点P，PM⊥BA，交BA的延长线于点M，求证：AC＝2AM+AB；
（3）在（2）的条件下，如图（3）连接PC，若∠ACP＝30°，PM＝2AM，AC＝PC，AM＝5，求AB的长．
【考点】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质可证得∠B＝∠C，利用角平分线的性质可证得∠B＝∠C，再利用三角形外角的性质，去证明∠EAD＝∠B，利用平行线的判定可证得结论。 （2）过点P作PN⊥AC于点N，连接BP、CP，利用角平分线的性质，易证PM=PN， 再根据垂直平分线的性质，可证PB=PC，利用HL证明Rt△PMA≌Rt△PNA，利用全等三角形的性质可证得AN＝AM然后根据AC=AN+NC，即可证得结论。 （3）利用30°所对的直角边等于斜边的一半，就可求出PC=2PN，再根据已知条件求出AM、AC的长，再由（2）的结论可求出AB的长。
【答案】 （1）解：如图1，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD是△ABC外角平分线，
∴∠EAD＝∠DAC，
∴∠EAC＝2∠EAD＝∠B+∠C＝2∠B，
∴∠EAD＝∠B，
∴AD∥BC
（2）解：如图2，过点P作PN⊥AC于点N，连接BP、CP，
∵AD是△ABC外角平分线、PM⊥AB、PN⊥AC，
∴PM＝PN，
∵PF是BC的垂直平分线，
∴PB＝PC，
∴Rt△PMB≌Rt△PNC，
∴NC＝MB，
∵PN＝PM、AP＝AP，
∴Rt△PMA≌Rt△PNA，
∴AN＝AM，
∴AC＝AN+NC＝AM+BM＝AM+AM+AB，
∴AC＝2AM+AB
（3）解：如图3，
由（2）知在Rt△PNC中，∵∠ACP＝30°，
∴PC＝2PN，
∵PN＝PM，
∴PC＝2PN＝2PM，
∵PM＝2AM、AC＝PC、AM＝5，
∴PC＝2PM＝4AM＝20、AC＝PC＝24，
由（2）知AC＝2AM+AB，
∴AB＝14
类型二 勾股定理
1. 如图，△ABC的两条高线BD，CE相交于点F，已知∠ABC=60°，AB=10，CF=EF，则△ABC的面积为（ ）
A．20 B．25 C．30 D．40
【考点】KQ：勾股定理；KO：含30度角的直角三角形．
【分析】连接AF延长AF交BC于G．设EF=CF=x，连接AF延长AF交BC于G．设EF=CF=x，因为BD、CE是高，所以AG⊥BC，由∠ABC=60°，∠AGB=90°，推出∠BAG=30°，在Rt△AEF中，由EF=x，∠EAF=30°可得AE=x，在Rt△BCE中，由EC=2x，∠CBE=60°可得BE=x．可得x+x=10，解方程即可解决问题．
【解答】解：连接AF延长AF交BC于G．设EF=CF=x，
∵BD、CE是高，
∴AG⊥BC，
∵∠ABC=60°，∠AGB=90°，
∴∠BAG=30°，
在Rt△AEF中，∵EF=x，∠EAF=30°，∴AE=x，
在Rt△BCE中，∵EC=2x，∠CBE=60°，∴BE=x．
∴x+x=10，
∴x=2，
∴CE=4，
∴S△ABC=?AB?CE=×10×4=20．
故选A．
【点评】本题考查勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会关键方程解决问题，属于中考常考题型．
3．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DF=50cm，EF=30cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=20m，则树高AB为（ ）
A．12 m B．13.5 m C．15 m D．16.5 m
【解答】解：∵∠DEF=∠BCD=90°∠D=∠D
∴△DEF∽△DCB
∴=
∵DF=50cm=0.5m，EF=30cm=0.3m，AC=1.5m，CD=20m，
∴由勾股定理求得DE=40cm，
∴=
∴BC=15米，
∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5米，
故选：D．
4. （2018·湖北荆州·3分）为了比较+1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得+1 ．（填“＞”或“＜”或“=”）
【解答】解：∵∠C=90°，BC=3，BD=AC=1，
∴CD=2，AD==，AB==，
∴BD+AD=+1，
又∵△ABD中，AD+BD＞AB，
∴+1＞，
故答案为：＞．
5. （2018·云南省·3分）在△ABC中，AB=，AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为 9或1 ．
【分析】△ABC中，∠ACB分锐角和钝角两种：
①如图1，∠ACB是锐角时，根据勾股定理计算BD和CD的长可得BC的值；
②如图2，∠ACB是钝角时，同理得：CD=4，BD=5，根据BC=BD﹣CD代入可得结论．
【解答】解：有两种情况：
①如图1，∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
由勾股定理得：BD===5，
CD===4，
∴BC=BD+CD=5+4=9；
②如图2，同理得：CD=4，BD=5，
∴BC=BD﹣CD=5﹣4=1，
综上所述，BC的长为9或1；
故答案为：9或1．
【点评】本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是关键，并注意运用了分类讨论的思想解决问题．
6. (嘉兴模拟)按照有关规定：距高铁轨道 200米以内的区域内不宜临路新建学校、医院、敬老院和集中住宅区等噪声敏感建筑物．
如图是一个小区平面示意图，矩形ABEF为一新建小区，直线MN为高铁轨道，C、D是直线MN上的两点，点C、A、B在一直线上，且DA⊥CA，∠ACD=30°．小王看中了①号楼A单元的一套住宅，与售楼人员的对话如下：
（1）小王心中一算，发现售楼人员的话不可信，请你用所学的数学知识说明理由；
（2）若一列长度为228米的高铁以252千米/小时的速度通过时，则A单元用户受到影响时间有多长？
（温馨提示：≈1.4，≈1.7，≈6.1）
【考点】勾股定理的应用．
【分析】（1）作过点A作AG⊥MN，垂足为G，根据三角函数可求AG的长，再与200米比较大小即可求解；
（2）在MN上找到点S、T，使得AS=AT=200米，根据勾股定理可求GT，根据三角函数可求ST，依此可求速度，进一步得到A单元用户受到影响的时间．
【解答】解：（1）作过点A作AG⊥MN，垂足为G，
∵∠ACD=30°，DA⊥CA，
∴∠ADC=60°，
∵AD=220米，
∴AG=ADsin60°=110≈187＜200，
∴A单元用户会受到影响，售楼人员的说法不可信．
（2）在MN上找到点S、T，使得AS=AT=200米
∴GT=GS==10米
∴ST=2GT=20≈122米
又∵速度V==70（米/秒）
∴时间t==5秒，即受影响的时间为5秒．
7. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，∠C＝30°点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）DF＝________；（用含t的代数式表示）
（2）求证：△AED≌△FDE；
（3）当t为何值时，△DEF是等边三角形？说明理由；
（4）当t为何值时，△DEF为直角三角形？（请直接写出t的值．）
【答案】 （1）t （2）证明：∵∠CFD＝90°，∠B＝90°，
∴DF∥AB，
∴∠AED＝∠FDE．
在△AED和△FDE中，AF＝FD＝t,∠AED＝∠FDE,DE＝DE，
∴△AED≌△FDE（SAS）．
（3）∵△AED≌△FDE，
∴当△DEF是等边三角形时，△EDA是等边三角形．
∵∠A＝90°﹣∠C＝60°，
∴AD＝AE．
∵AE＝t，AD＝AC﹣CD＝10﹣2t，
∴t＝10﹣2t，
∴t＝ ，
∴当t为 时，△DEF是等边三角形．
（4）∵△AED≌△FDE，
∴当△DEF为直角三角形时，△EDA是直角三角形．
当∠AED＝90°时，AD＝2AE，即10﹣2t＝2t，
解得：t＝；
当∠ADE＝90°时，AE＝2AD，即t＝2（10﹣2t），
解得：t＝4．
综上所述：当t为或4时，△DEF为直角三角形．
【考点】三角形全等的判定，等边三角形的判定，含30度角的直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵DF⊥BC，
∴∠CFD＝90°．
在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∠C＝30°，CD＝2t，
∴DF＝CD＝t．
故答案为：t．
【分析】（1）根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半可得DF＝CD＝t．（2）根据两直线平行内错角相等可得 ∠AED＝∠FDE，由SAS即可判断△AED≌△FDE ；（3）由 △AED≌△FDE可知， 当△DEF是等边三角形时，△EDA是等边三角形，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得当 AD＝AE，即 t＝10﹣2t时， △DEF是等边三角形，解方程求出t值即可.（4）由△AED≌△FDE可知 ，当△DEF为直角三角形时，△EDA是直角三角形． ① 当∠ADE＝90°时 ，根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半可得 AE＝2AD，即t＝2（10﹣2t）， 解方程求出t值即可.② 当∠AED＝90°时，根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半可得 AD＝2AE，即10﹣2t＝2t，解方程求出t值即可.
类型三 解直角三角形
1．如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【考点】锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．
【分析】根据正切的定义即可求解．
【解答】解：∵点A（t，3）在第一象限，
∴AB=3，OB=t，
又∵tanα==，
∴t=2．
故选：C．
2．小明沿着坡比为1：的山坡向上走了600m，则他升高了（ ）
A． m B．200m C．300 m D．200m
【解答】解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，
∵坡度：i=1：，
∴tan∠A=1： =，
∴∠A=30°，
∵AB=600m，
∴BE=AB=300（m）．
∴他升高了300m．
故选：C．
3．（2018?重庆）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米，升旗台坡面CD的坡度i=1：0.75，坡长CD=2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米，则旗杆AB的高度约为（ ）（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6）
A．12.6米 B．13.1米 C．14.7米 D．16.3米
【分析】如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形．在Rt△CDJ中求出CJ、DJ，再根据，tan∠AEM=构建方程即可解决问题；
【解答】解：如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形．
在Rt△CJD中， ==，设CJ=4k，DJ=3k，
则有9k2+16k2=4，
∴k=，
∴BM=CJ=，BC=MJ=1，DJ=，EM=MJ+DJ+DE=，
在Rt△AEM中，tan∠AEM=，
∴1.6=，
解得AB≈13.1（米），
故选：B．
4. （2018?长春）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（ ）
A．800sinα米 B．800tanα米 C．米 D．米
【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=，即可解决问题；
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，
∴tanα=，
∴AB==．
故选：D．
5. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是 ．
【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．
【解答】解：如图，连接BE，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD，
∴BF＝CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，
∴DP：DF＝1：2，
∴DP＝PF＝CF＝BF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2，
∵∠APD＝∠BPF，
∴tan∠APD＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
6. （2018?泰安）如图，在△ABC中，AC=6，BC=10，tanC=，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD=x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为 S=x2 ．
【分析】可在直角三角形CED中，根据DE、CE的长，求出△BED的面积即可解决问题．
【解答】解：（1）在Rt△CDE中，tanC=，CD=x
∴DE=x，CE=x，
∴BE=10﹣x，
∴S△BED=×（10﹣x）?x=﹣x2+3x．
∵DF=BF，
∴S=S△BED=x2，
故答案为S=x2．
7. （2018?枣庄）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为 6.2 米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601】
【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴BC=AB?sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米），
答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．
故答案为：6.2．
8. （2018?贵阳）如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：
∵sinA=，sinB=
∴c=，c=
∴=
根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．
【分析】三式相等，理由为：过A作AD⊥BC，BE⊥AC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义表示出AD，在直角三角形ADC中，利用锐角三角函数定义表示出AD，两者相等即可得证．
【解答】解： ==，理由为：
过A作AD⊥BC，BE⊥AC，
在Rt△ABD中，sinB=，即AD=csinB，
在Rt△ADC中，sinC=，即AD=bsinC，
∴csinB=bsinC，即=，
同理可得=，
则==．
9. （2018?绍兴）如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F．已知AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，BD=40cm．
（1）窗扇完全打开，张角∠CAB=85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数；
（2）窗扇部分打开，张角∠CAB=60°，求此时点A，B之间的距离（精确到0.1cm）．
（参考数据：≈1.732，≈2.449）
【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质可以解答本题；
（2）根据锐角三角函数和题意可以求得AB的长，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）∵AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∴AC∥DE，
∴∠DFB=∠CAB，
∵∠CAB=85°，
∴∠DFB=85°；
（2）作CG⊥AB于点G，
∵AC=20，∠CGA=90°，∠CAB=60°，
∴CG=，AG=10，
∵BD=40，CD=10，
∴CB=30，
∴BG==，
∴AB=AG+BG=10+10≈10+10×2.449=34.49≈34.5cm，
即A、B之间的距离为34.5cm．
10. .如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接。图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F。已知AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，BD=40cm。
（1）窗扇完全打开，张角∠CAB=85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数。
（2）窗扇部分打开，张角∠CAB=60°，求此时点A，B之间的距离（精确到0.1cm）。（参考数据： ≈1.732， ≈2.449）
【考点】平行四边形的判定与性质，锐角三角函数的定义，解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形ACDE是平行四边形，根据平行四边形的对边平行得出CA∥DE，根据二直线平行，同位角相等得出答案；
（2）过点C作CG⊥AB于点G，在Rt△AGC中，根据余弦函数的定义由AG=20cos60°得出AG的长，根据正弦函数的定义由CG=20sin60°得出CG的长，在Rt△BCG中，由勾股定理得出BG的长，根据AB=AG+BG得出答案。
【答案】（1）解 ;∵AC=DE，AE=CD， ∴四边形ACDE是平行四边形， ∴CA∥DE， ∴∠DFB=∠CAB=85° （2）如图，过点C作CG⊥AB于点G，
∵∠CAB=60° ∴AG=20cos60°=10，
CG=20sin60°=
∵BD=40，CD=10 ∴BC=30 在Rt△BCG中，BG=
∴AB=AG+BG=10+ ≈34.5cm。
11. （2017?杭州一模）如图，由12个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知这个大矩形网格的宽为4，△ABC的顶点都在格点．
（1）求每个小矩形的长与宽；
（2）在矩形网格中找出所有的格点E，使△ABE为直角三角形；（描出相应的点，并分别用E1，E2…表示）
（3）求sin∠ACB的值．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）设每个小矩形的长为x，宽为y，根据图形可知小矩形的长与宽间的数量关系有两个：2个矩形的宽=矩形的长；两个矩形的宽+1个矩形的长=4，据此列出方程组，并解答即可；
（2）利用图形和勾股定理逆定理进行解答；
（3）利用面积法求得边AC上的高，然后由锐角三角函数的定义进行解答．
【解答】解：（1）设每个小矩形的长为x，宽为y，
依题意得：，
解得，
所以每个小矩形的长为2，宽为1；
（2）如图所示：
；
（3）由图可知，S△ABC=4，设AC边上的高线为h，可知， AC?h=4．
∵由图可计算AC=2，BC=，
∴h=，
∴sin∠ACB===．
【点评】本题考查了四边形综合题，需要掌握二元一次方程组的应用、勾股定理、勾股定理的逆定理以及锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力，求三角函数值需构建直角三角形是解此类题的常用作法．
