备考2019中考数学高频考点剖析
专题二十 平面几何之和平行四边形问题
考点扫描☆聚焦中考
平行四边形问题，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括平行四边形的性质和平行四边形的判定两方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主，也有少量的解析题。解析题主要以简单的证明为主。结合近几年来，特别是2017、2018年全国各地中考的实例和2019年名校中考模拟试题，我们从三个方面进行平行四边形问题的探讨：
（1）平行四边形的性质；
（2）平行四边形的判定；
（3）平行四边形的综合应用．
考点剖析☆典型例题
例1如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F、G分别是BO、CO的中点，连接AO．若AO=6cm，BC=8cm，则四边形DEFG的周长是（ ）
A． 14cm B． 18cm C． 24cm D． 28cm
例2(2019杭州萧山区模拟)如图，?ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD＝60°，AD＝AB，连接OE．下列结论：①S?ABCD＝AD?BD；②DB平分∠CDE；③AO＝DE；④S△ADE＝5S△OFE，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例3图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点．
（1）请在图1，图2中，以4个标注点为顶点，各画一个平行四边形（两个平行四边形不全等）；
（2）图2中所画的平行四边形的面积为 ．
例4（2018·云南省曲靖）如图：在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF=CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EM=FN，连接AN，CM．
（1）求证：△AFN≌△CEM；
（2）若∠CMF=107°，∠CEM=72°，求∠NAF的度数．
例5在线段AB的同侧作射线AM和BN，若∠MAB与∠NBA的平分线分别交射线BN，AM于点E，F，AE和BF交于点P．如图，点点同学发现当射线AM，BN交于点C；且∠ACB=60°时，有以下两个结论：
①∠APB=120°；②AF+BE=AB．
那么，当AM∥BN时：
（1）点点发现的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请求出∠APB的度数，写出AF，BE，AB长度之间的等量关系，并给予证明；
（2）设点Q为线段AE上一点，QB=5，若AF+BE=16，四边形ABEF的面积为32，求AQ的长．
考点过关☆专项突破
类型一 平行四边形的性质
1. 如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=4，则AE的长为（?? ）
A.????????B.?2 ??C.?3 ??????D.?4
2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则∠AEB的正切值为（?? ）
A.????? B.?????? C.????????? D.?
3. （2018·浙江省台州·4分）如图，在?ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（ ）
A． B．1 C． D．
4. 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，∠AED＝26°，则∠C的度数为（?? ）
A.?26°???????B.?42°? ????C.?52°????D.?56°
5. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝3，则AE的边长为________．
6. △ABC与?DEFG按如图方式放置，点D、G分别在边AB、AC上，点E、F分别在边BC上，若BE＝DE，CF＝FG，则∠A的大小为________度．
7. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t，则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t＝________．
8. 如图，平行四边形ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长是多少？
9. 如图，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点M为BC上一点，连接AM，且AB＝AM，点E为BM中点，AF⊥AB，连接EF，延长FO交AB于点N．
（1）若BM＝4，MC＝3，AC＝ ，求AM的长度；
（2）若∠ACB＝45°，求证：AN+AF＝ EF．
类型二 平行四边形的判定
1. (2016·浙江省绍兴市·4分）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）
A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③
2．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（? ）
A. AB∥DC，AD∥BC? B. AB=DC，AD=BC? C. AO=CO，BO=DO D. AB∥DC，AD=BC
3．如图，线段AB=CD，AB与CD相交于O，且∠AOC=60°，CE是由AB平移所得，则AC+BD与AB的大小关系是（?? ）
A.?AC+BD＞AB????B.?AC+BD=AB?????C.?AC+BD≥AB?????D.?无法确定
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，过点E作EF∥CD，交BC的延长线于点F.
（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；
（2）若四边形CDEF的周长是25 cm，AC的长为5 cm，求线段AB的长度．
5. （2018?湖南省永州市?10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．
（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；
（2）若AB=6，求平行四边形BCFD的面积．
类型三 平行四边形的综合应用
1．（2018·新疆生产建设兵团·8分）如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）若BD=EF，连接FB，DF．判断四边形EBFD的形状，并说明理由．
2．已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（点D不与B，C重合）△ADF是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交射线AC于点E，连接BF．
（1）如图1，求证：△AFB≌△ADC；
（2）请判断图1中四边形BCEF的形状，并说明理由；
（3）若D点在BC 边的延长线上，如图2，其它条件不变，请问（2）中结论还成立吗？如果成立，请说明理由．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝5cm，点D在BC上，且CD＝3cm.动点P、Q分别从A、C两点同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C移动；点Q以cm/s的速度沿CB向终点B移动．过点P作PE∥CB交AD于点E，设动点的运动时间为x秒．
（1）用含x的代数式表示EP；
（2）当Q在线段CD上运动几秒时，四边形PEDQ是平行四边形；
（3）当Q在线段BD(不包括点B、点D)上运动时，求当x为何值时，四边形EPDQ面积等于.
4. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
备考2019中考数学高频考点剖析
专题二十 平面几何之和平行四边形问题
考点扫描☆聚焦中考
平行四边形问题，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括平行四边形的性质和平行四边形的判定两方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主，也有少量的解析题。解析题主要以简单的证明为主。结合近几年来，特别是2017、2018年全国各地中考的实例和2019年名校中考模拟试题，我们从三个方面进行平行四边形问题的探讨：
（1）平行四边形的性质；
（2）平行四边形的判定；
（3）平行四边形的综合应用．
考点剖析☆典型例题
例1如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F、G分别是BO、CO的中点，连接AO．若AO=6cm，BC=8cm，则四边形DEFG的周长是（ ）
A． 14cm B． 18cm C． 24cm D． 28cm
考点： 平行四边形的判定与性质；三角形的重心；三角形中位线定理．
分析： 主要考查平行四边形的判定以及三角形中位线的运用，由中位线定理，可得EF∥AO，FG∥BC，且都等于边长BC的一半．分析到此，此题便可解答．
解答： 解：∵BD，CE是△ABC的中线，
∴ED∥BC且ED=BC，
∵F是BO的中点，G是CO的中点，
∴FG∥BC且FG=BC，
∴ED=FG=BC=4cm，
同理GD=EF=AO=3cm，
∴四边形EFDG的周长为3+4+3+4=14（cm）．
故选A．
点评： 本题考查了平行四边形的判定和三角形的中位线定理，三角形的中位线的性质定理，为证明线段相等和平行提供了依据．
例2(2019杭州萧山区模拟)如图，?ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD＝60°，AD＝AB，连接OE．下列结论：①S?ABCD＝AD?BD；②DB平分∠CDE；③AO＝DE；④S△ADE＝5S△OFE，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】求得∠ADB＝90°，即AD⊥BD，即可得到S?ABCD＝AD?BD；依据∠CDE＝60°，∠BDE30°，可得∠CDB＝∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△AOD中，AO＞AD，即可得到AO＞DE；依据OE是△ABD的中位线，即可得到OE∥AD，OE＝AD，进而得到△OEF∽△ADF，依据S△ADF＝4S△OEF，S△AEF＝2S△OEF，即可得到S△ADE＝6S△OFE．
【解答】解：∵∠BAD＝∠BCD＝60°，∠ADC＝120°，DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠DAE＝60°＝∠AED，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE＝AB，
∴E是AB的中点，
∴DE＝BE，
∴∠BDE＝∠AED＝30°，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD，
∴S?ABCD＝AD?BD，故①正确；
∵∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，
∴∠CDB＝∠BDE，
∴DB平分∠CDE，故②正确；
∵Rt△AOD中，AO＞AD，
∴AO＞DE，故③错误；
∵O是BD的中点，E是AB的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥AD，OE＝AD，
∴△OEF∽△ADF，
∴S△ADF＝4S△OEF，且AF＝2OF，
∴S△AEF＝2S△OEF，
∴S△ADE＝6S△OFE，故④错误；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式以及相似三角形的判定与性质的综合运用，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．
例3图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点．
（1）请在图1，图2中，以4个标注点为顶点，各画一个平行四边形（两个平行四边形不全等）；
（2）图2中所画的平行四边形的面积为 ．
【分析】（1）依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得到所求的平行四边形；
（2）利用割补法，即可得到图2中平行四边形的面积．
【解答】解：（1）如图所示，四边形ABCD和四边形EFGH均为平行四边形；
（2）图2中所画的平行四边形的面积＝×6×（1+1）＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
例4（2018·云南省曲靖）如图：在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF=CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EM=FN，连接AN，CM．
（1）求证：△AFN≌△CEM；
（2）若∠CMF=107°，∠CEM=72°，求∠NAF的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠AFN=∠CEM，
∵FN=EM，AF=CE，
∴△AFN≌△CEM（SAS）．
（2）解：∵△AFN≌△CEM，
∴∠NAF=∠ECM，
∵∠CMF=∠CEM+∠ECM，
∴107°=72°+∠ECM，
∴∠ECM=35°，
∴∠NAF=35°．
例5在线段AB的同侧作射线AM和BN，若∠MAB与∠NBA的平分线分别交射线BN，AM于点E，F，AE和BF交于点P．如图，点点同学发现当射线AM，BN交于点C；且∠ACB=60°时，有以下两个结论：
①∠APB=120°；②AF+BE=AB．
那么，当AM∥BN时：
（1）点点发现的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请求出∠APB的度数，写出AF，BE，AB长度之间的等量关系，并给予证明；
（2）设点Q为线段AE上一点，QB=5，若AF+BE=16，四边形ABEF的面积为32，求AQ的长．
【考点】四边形综合题．
【分析】点点的两个结论：①利用三角形的角平分线和三角形的内角和即可得出结论；
②先判断出△PAG≌△PAF（SAS）得出∠AFP=∠AGP，结合同角的补角相等即可得出∠BGP=∠BEP，进而判断出△BPG≌△BPE（AAS），即可得出结论；
（1）由角平分线和平行线整体求出∠MAB+∠NBA，从而得到∠APB=90°，最后用等边对等角，即可．
（2）先根据条件求出AF，FG，求出∠FAG=60°，最后分两种情况讨论计算．
【解答】解：点点的结论：①∵∠ACB=60°，
∴∠BAC+∠ABC=120°，
∵∠MAB与∠NBA的平分线分别交射线BN，AM于点E，F，
∴∠PAB+∠PBA=（∠PAB+∠PBA）=60°，
∴∠APB=120°，
②如图，在AB上取一点G，使AG=AF，
∵AE是∠BAM的角平分线，
∴∠PAG=∠PAF，
在△PAG和△PAF中，，
∴△PAG≌△PAF（SAS），
∴∠AFP=∠AGP，
∵∠EPF=∠APB=120°，∠ACB=60°，
∴∠EPF+∠ACB=180°，
∴∠PFC+∠PEC=180°，
∵∠PFC+∠AFP=180°，
∴∠PEC=∠AFP，
∴∠PEC=∠AGP，
∵∠AGP+∠BGP=180°，
∴∠PEC+∠BGP=180°，
∵∠PEC+∠PEB=180°，
∴∠BGP=∠BEP，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠PBG=∠PBE，
在△BPG和△BPE中，，
∴△BPG≌△BPE（AAS），
∴BG=BE，
∴AF+BE=AB．
（1）原命题不成立，新结论为：∠APB=90°，AF+BE=2AB（或AF=BE=AB），
理由：∵AM∥BN，
∴∠MAB+∠NBA=180°，
∵AE，BF分别平分∠MAB，NBA，
∴∠EAB=∠MAB，∠FBA=∠NBA，
∴∠EAB+∠FBA=（∠MAB+∠NBA）=90°，
∴∠APB=90°，
∵AE平分∠MAB，
∴∠MAE=∠BAE，
∵AM∥BN，
∴∠MAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
同理：AF=AB，
∴AF+BE=2AB（或AF=BE=AB）；
（2）如图1，
过点F作FG⊥AB于G，
∵AF=BE，AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AF+BE=16，
∴AB=AF=BE=8，
∵32=8×FG，
∴FG=4，
在Rt△FAG中，AF=8，
∴∠FAG=60°，
当点G在线段AB上时，∠FAB=60°，
当点G在线段BA延长线时，∠FAB=120°，
①如图2，
当∠FAB=60°时，∠PAB=30°，
∴PB=4，PA=4，
∵BQ=5，∠BPA=90°，
∴PQ=3，
∴AQ=4﹣3或AQ=4+3．
②如图3，
当∠FAB=120°时，∠PAB=60°，∠FBG=30°，
∴PB=4，
∵PB=4＞5，
∴线段AE上不存在符合条件的点Q，
∴当∠FAB=60°时，AQ=4﹣3或4+3．
考点过关☆专项突破
类型一 平行四边形的性质
1. 如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=4，则AE的长为（?? ）
A.????????B.?2 ??C.?3 ??????D.?4
【考点】等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质
【分析】连结EF，AE与BF交于点O，如图，根据等腰三角形的三线合一得出AO⊥BF，BO=FO=BF=3，根据平行四边形的对边平行得出AF∥BE，根据二直线平行，内错角相等得出∠1=∠3，又∠1=∠2，故∠2=∠3，根据等角对等边得出AB=EB，再根据等腰三角形的三线合一得出AE=2OA，由勾股定理算出AO的长度，从而即可得出答案。
【解析】【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图
∵AB=AF，AO平分∠BAD，
∴AO⊥BF，BO=FO= BF=3，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1=∠3， 又∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴AB=EB，
∵BO⊥AE，
∴AE=2OA，
在Rt△AOB中，AO= ，
∴AE=2AO=2 ．
故答案为：B．
2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则∠AEB的正切值为（?? ）
A.??????B.???????C.??????????D.?
【答案】 A
【考点】等腰三角形的性质，平行四边形的性质，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】BF交AG于H，如图，
由作法得AF＝AB，
∵AG平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
∴AE⊥BF，BH＝FH＝ BF＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴BE＝BA＝5，
在Rt△BEH中，HE＝ ，
∴tan∠3＝ ，
即∠AEB的正切值为．
故答案为：A．
【分析】BF交AG于H，如图，由作法得AF＝AB，∠1＝∠2，，根据等腰三角形的三线合一得出AE⊥BF，BH＝FH＝ BF＝3，根据平行四边形的对边平行得出AD∥BC，根据二直线平行，内错角相等得出∠2＝∠3，故∠1＝∠3，根据等角对等边得出BE＝BA＝5，在Rt△BEH中，利用勾股定理算出HE，然后根据正切函数的定义即可算出 ∠AEB的正切值。
3. （2018·浙江省台州·4分）如图，在?ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（ ）
A． B．1 C． D．
【分析】只要证明BE=BC即可解决问题；
【解答】解：∵由题意可知CF是∠BCD的平分线，
∴∠BCE=∠DCE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DCE=∠E，∠BCE=∠AEC，
∴BE=BC=3，
∵AB=2，
∴AE=BE﹣AB=1，
故选：B．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
4. 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，∠AED＝26°，则∠C的度数为（?? ）
A.?26°???????B.?42°? ????C.?52°????D.?56°
【答案】 C
【考点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE＝26°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAB＝2∠BAE＝52°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠C＝∠BAD＝52°，
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的对边平行得出AB∥CD，根据二直线平行内错角相等得出∠DEA＝∠BAE＝26°，根据角平分线的定义得出∠DAB＝2∠BAE＝52°，最后根据平行四边形的对角相等得出∠C＝∠BAD＝52°。
5. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝3，则AE的边长为________．
【答案】
【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质
【分析】根据角平分线的定义得出∠DAE＝∠BAE，根据平行四边形的对边平行得出DC∥AB，根据二直线平行内错角相等得出∠BAE＝∠DFA，故∠DAE＝∠DFA，根据等角对等边得出AD＝FD，根据线段中点的定义得出DF＝CF=4，故AD=4，在Rt△ADG中，根据勾股定理算出AG的长，根据等腰三角形的三线合一得出AF=2AG，从而得出AG的长度，然后利用AAS判断出△ADF≌△ECF，根据全等三角形对应边相等得出AF＝EF，由AE=2AF即可算出答案。
【解析】【解答】解：∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵DC∥AB，
∴∠BAE＝∠DFA，
∴∠DAE＝∠DFA，
∴AD＝FD，
又F为DC的中点，
∴DF＝CF，
∴AD＝DF＝DC＝AB＝4，
在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG＝ ，
则AF＝2AG＝2 ，
∵平行四边形ABCD中，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠E，∠ADF＝∠ECF，
在△ADF和△ECF中， ，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF＝EF，
则AE＝2AF＝2×2＝4，
故答案为：4
6. △ABC与?DEFG按如图方式放置，点D、G分别在边AB、AC上，点E、F分别在边BC上，若BE＝DE，CF＝FG，则∠A的大小为________度．
【答案】 90
【考点】三角形的外角性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质
【分析】根据等边对等角得出∠B＝∠BDE，∠C＝∠CGF，根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，得出∠DEF＝∠B+∠BDE＝2∠B，同理∠EFG＝2∠C，根据平行四边形的邻角互补得出∠DEF+∠EFG＝180°，进而得出∠B+∠C＝90°，根据三角形的内角和即可算出∠A的度数。
【解析】解：∵BE＝DE，CF＝FG，
∴∠B＝∠BDE，∠C＝∠CGF，
∠DEF＝∠B+∠BDE＝2∠B，同理∠EFG＝2∠C，
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴∠DEF+∠EFG＝180°，
∴（∠DEF+∠EFG）＝∠B+∠C＝90°，
∴∠A＝90°．
故答案为：90．
7. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t，则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t＝________．
【答案】或
【考点】平行四边形的性质，几何图形的动态问题
【分析】①当点F在线段BM上，根据路程等于速度乘以时间得出：AE=t，CF=3t，故FM=CF-CM=3t-3,由于AD∥BC,故AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，从而列出方程，求解即可算出t的值；②当F在线段CM上，根据路程等于速度乘以时间得出：AE=t，CF=3t，故FM=MC-CF=3-3t,由于AD∥BC，故AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，从而列出方程，求解即可算出t的值,综上锁所述即可得出答案。
【解析】解：①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝9+3t﹣12，解得t＝，
②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝12﹣9﹣3t，解得t＝，
综上所述，t＝或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：或
8. 如图，平行四边形ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长是多少？
【答案】 ∵四边形ABCD为平行四边形 ∴BO=OD=6 在三角形DBC中，∵O点和E点分别为BD和DC的中点 ∴OE=BC， 又∵E为CD的中点 ∴OE+DE=（BC+DC）=（四边形ABCD周长）=9 ∴三角形DOE周长=9+6=15.
【考点】平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质求出BNO=OD，根据三角形的中位线定理，将平行四边形的周长转化为OE+DE，求三角形DOE的和即可得到答案。
9. 如图，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点M为BC上一点，连接AM，且AB＝AM，点E为BM中点，AF⊥AB，连接EF，延长FO交AB于点N．
（1）若BM＝4，MC＝3，AC＝ ，求AM的长度；
（2）若∠ACB＝45°，求证：AN+AF＝ EF．
【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由等腰三角形三线合一可判断出AE⊥BM，再利用勾股定理即可求出AM长； （2）由四边形对角互补可知四点共圆，从而得到∠AFE＝∠ACE＝45° ， ∠EFA＝∠EFG＝45°，根据HL易证Rt△EHA≌Rt△EGC，Rt△EHF≌Rt△EGF，根据ASA可证△AON≌△COF，通过计算即可得到AN+AF＝EF。
【答案】 （1）解：如图1中，连接AE．
∵AB＝AM，BE＝EM，
∴AE⊥BM，
在Rt△ACE中，∵AC＝ ，EC＝EM+CM＝5，
∴AE＝ ＝ ，
在Rt△AEM中，AM＝ ＝
（2）解：如图，连接AE，作EH⊥AF于F，EG⊥DC交DC的延长线于E．
∵∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴∠AEC+∠AFC＝90°，
∴A，E，C，F四点共圆，
∴∠AFE＝∠ACE＝45°，
∴∠EFA＝∠EFG＝45°，
∵EH⊥FA，EG⊥FG，
∴EH＝EG，
∵∠ACE＝∠EAC＝45°，
∴AE＝EC，
∴Rt△EHA≌Rt△EGC（HL），
∴AH＝CG，
∵EF＝EF，EH＝EG，
∴Rt△EHF≌Rt△EGF（HL），
∴FH＝FG，
∵AB∥CD，
∴∠OAN＝∠OCF，
∵∠AON＝∠COF，OA＝OC，
∴△AON≌△COF（ASA），
∴AN＝CF，
∴AN+AF＝FC+AF＝FG﹣CG+FH+AH＝2FH，
∵EF＝FH，
∴AN+AF＝EF
类型二 平行四边形的判定
1. (2016·浙江省绍兴市·4分）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）
A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③
【考点】平行四边形的判定．
【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
【解答】解：∵只有②③两块角的两边互相平行，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选D．
2．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（??? ）
A. AB∥DC，AD∥BC? B. AB=DC，AD=BC? C. AO=CO，BO=DO D. AB∥DC，AD=BC
【答案】 D
【考点】平行四边形的判定
【分析】A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，由“AB∥DC，AD∥BC”可知该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，由“AB=DC，AD=BC”可知，该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，由“AO=CO，BO=DO”可知，该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也可以是等腰梯形，故由“AB∥DC，AD=BC”判断不出，该四边形是平行四边形．故本选项符合题意。
【解析】A、由“AB∥DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
D、由“AB∥DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意；
故答案为：D．
3．如图，线段AB=CD，AB与CD相交于O，且∠AOC=60°，CE是由AB平移所得，则AC+BD与AB的大小关系是（?? ）
A.?AC+BD＞AB????B.?AC+BD=AB?????C.?AC+BD≥AB?????D.?无法确定
【考点】等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，平移的性质
【分析】根据平移的基本性质可得四边形ACEB是平行四边形，再分D、B、E共线或不共线来解答.
【解答】解：由平移的性质知，AB与CE平行且相等，
所以四边形ACEB是平行四边形，BE=AC，
当B、D、E不共线时，
∵AB∥CE，∠DCE=∠AOC=60°，
∵AB=CE，AB=CD，
∴CE=CD，
∴△CED是等边三角形，
∴DE=AB，
根据三角形的三边关系知BE+BD=AC+BD＞DE=AB，
即AC+BD＞AB．
当D、B、E共线时，AC+BD=AB．
故答案为：C．
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，过点E作EF∥CD，交BC的延长线于点F.
（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；
（2）若四边形CDEF的周长是25 cm，AC的长为5 cm，求线段AB的长度．
【考点】平行四边形的性质，平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线定理求出ED∥FC，2DE=BC，根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形进行证明即可； （2）在直角三角形中，根据斜边上的中线等于斜边的一半求出AB=2DC，即可得到四边形DCFE的周长=AB+BC，根据勾股定理求解即可。
【答案】 （1）证明：∵D点E点分别为AB和AC的中点 ∴ED为三角形ABC的中位线 ∴ED∥FC，BC=2DE 又∵EF∥DC ∴四边形CDEF为平行四边形 （2）解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DC=EF ∵DC为直角三角形ABC斜边的中线， ∴AB=2DC ∴四边形DCFE的周长=AB+BC 又∵四边形DCFE的周长为25，AC=5 ∴BC=25-AB 在直角三角形ABC中，根据勾股定理得，AB=13。
5. （2018?湖南省永州市?10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．
（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；
（2）若AB=6，求平行四边形BCFD的面积．
【分析】（1）在Rt△ABC中，E为AB的中点，则CE=AB，BE=AB，得到∠BCE=∠EBC=60°．由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60°．又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60度．所以FC∥BD，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以AD∥BC，即FD∥BC，则四边形BCFD是平行四边形．
（2）在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解决问题；
【解答】（1）证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°．
在等边△ABD中，∠BAD=60°，
∴∠BAD=∠ABC=60°．
∵E为AB的中点，
∴AE=BE．
又∵∠AEF=∠BEC，
∴△AEF≌△BEC．
在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，
∴CE=AB，BE=AB．
∴CE=AE，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠BCE=∠EBC=60°．
又∵△AEF≌△BEC，
∴∠AFE=∠BCE=60°．
又∵∠D=60°，
∴∠AFE=∠D=60°．
∴FC∥BD．
又∵∠BAD=∠ABC=60°，
∴AD∥BC，即FD∥BC．
∴四边形BCFD是平行四边形．
（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AB=6，
∴BC=AB=3，AC=BC=3，
∴S平行四边形BCFD=3×=9．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
类型三 平行四边形的综合应用
1．（2018·新疆生产建设兵团·8分）如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）若BD=EF，连接FB，DF．判断四边形EBFD的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据SAS即可证明；
（2）首先证明四边形EBFD是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是菱形即可证明；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
在△DEO和△BOF中，
∴△DOE≌△BOF．
（2）解：结论：四边形EBFD是菱形．
理由：∵OD=OB，OE=OF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BD=EF，
∴四边形EBFD是菱形．
【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（点D不与B，C重合）△ADF是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交射线AC于点E，连接BF．
（1）如图1，求证：△AFB≌△ADC；
（2）请判断图1中四边形BCEF的形状，并说明理由；
（3）若D点在BC 边的延长线上，如图2，其它条件不变，请问（2）中结论还成立吗？如果成立，请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，根据等式的性质得出∠FAB=∠DAC，然后利用SAS判断出△AFB≌△ADC； （2）根据全等三角形的对应角相等得出∠ABF=∠C=60°，根据等边三角形的三个内角都是60o得出∠BAC=∠C=60°，故∠ABF=∠BAC，根据内错角相等二直线平行得出FB∥AC，又BC∥EF，根据两组对应分别平行的四边形是平行四边形得出结论：四边形BCEF是平行四边形； （3）成立，理由如下：还是利用SAS判断出△AFB≌△ADC，根据全等三角形的对应角相等得出∠AFB=∠ADC，根据角的和差及三角形外角的定理得出∠ADC+∠DAC=60°，∠EAF+∠DAC=60°，根据等式的性质得出∠ADC=∠EAF，进而根据等量代换得出∠AFB=∠EAF，根据内错角相等二直线平行得出BF∥AE，又BC∥EF，根据两组对应分别平行的四边形是平行四边形得出结论：四边形BCEF是平行四边形。
【答案】（1）证明：∵△ABC和△ADF都是等边三角形，
∴AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，
又∵∠FAB=∠FAD﹣∠BAD，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD，
∴∠FAB=∠DAC，
在△AFB和△ADC中，
，
∴△AFB≌△ADC（SAS）
（2）解：四边形BCEF是平行四边形，理由如下： 由①得△AFB≌△ADC，
∴∠ABF=∠C=60°．
又∵∠BAC=∠C=60°，
∴∠ABF=∠BAC，
∴FB∥AC，
又∵BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形
（3）解：成立，理由如下：
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，
又∵∠FAB=∠FAD﹣∠BAD，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD，
∴∠FAB=∠DAC，
在△AFB和△ADC中，
，
∴△AFB≌△ADC（SAS）；
∴∠AFB=∠ADC．
又∵∠ADC+∠DAC=60°，∠EAF+∠DAC=60°，
∴∠ADC=∠EAF，
∴∠AFB=∠EAF，
∴BF∥AE，
又∵BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝5cm，点D在BC上，且CD＝3cm.动点P、Q分别从A、C两点同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C移动；点Q以cm/s的速度沿CB向终点B移动．过点P作PE∥CB交AD于点E，设动点的运动时间为x秒．
（1）用含x的代数式表示EP；
（2）当Q在线段CD上运动几秒时，四边形PEDQ是平行四边形；
（3）当Q在线段BD(不包括点B、点D)上运动时，求当x为何值时，四边形EPDQ面积等于.
【考点】平行四边形的判定，梯形，相似三角形的判定与性质，几何图形的动态问题
【解析】【分析】（1）抓住已知条件PE∥CB，证明△AEP∽△ADC，再根据相似三角形的性质得出对应边成比例，可得出EP的长。 （2）根据已知可知PE∥CB，要证四边形PEDQ是平行四边形，则EP＝DQ1 ， 建立关于x的方程，求出x的值，再写出x的取值范围即可。 （3）根据PE∥CB，可证得四边形EPDQ是梯形，根据梯形的面积=， 建立关于x的方程，再解方程求解即可。
【答案】（1）解:如图所示，
∵PE∥CB，
∴∠AEP＝∠ADC.?
又∵∠EAP＝∠DAC，
∴△AEP∽△ADC，
∴ ＝ ，?
∴ ＝ ，
∴EP＝ x.
（2）解：由四边形PEDQ1是平行四边形，可得EP＝DQ1.?
即 x＝3－ x，所以x＝1.5.
∵0＜x＜2.4
∴当Q在线段CD上运动1.5秒时，四边形PEDQ是平行四边形
（3）解： S四边形EPDQ2＝ ( x＋ x－3)·(4－x)＝－x2＋x－6，
∵四边形EPDQ面积等于，
∴－x2＋x－6＝，
整理得：2x2－11x＋15＝0.
解得：x＝3或x＝2.5，
∴当x为3或2.5时，四边形EPDQ面积等于.
4. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【考点】平行四边形的判定与性质，几何图形的动态问题
【解析】【分析】（1） 根据路程等于速度乘以时间得出 CD＝4t，AE＝2t， 根据三角形的内角和得出 ∠C＝30°， 根据含30°的直角三角形的边之间的关系得出 AB＝AC＝30， DF＝CD＝2t， 故 DF＝AE， 根据同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得出 DF∥AE ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论： 四边形AEFD是平行四边形 ； （2） 根据路程等于速度乘以时间得出 CD＝4t，AE＝2t，则AD=60-4t，分类讨论：① 当∠EDF＝90°时，如图①， △DEF为直角三角形 ，根据二直线平行同位角相等得出 ∠ADE＝∠C＝30°， 根据含30°的直角三角形的边之间的关系得出 AD＝2AE ，从而列出方程，求解即可得出t的值； ② 当∠DEF＝90°时，如图②， △DEF为直角三角形 ，根据平行线的性质得出 DE⊥AC， 根据含30°的直角三角形的边之间的关系得出 AE＝2AD ，从而列出方程，求解即可得出t的值，综上所述即可得出答案。
【答案】 （1）证明：∵∠B＝90°，∠A＝60°，
∴∠C＝30°，
∴AB＝AC＝30，
由题意得，CD＝4t，AE＝2t，
∵DF⊥BC，∠C＝30°，
∴DF＝CD＝2t，
∴DF＝AE，
∵DF∥AE，DF＝AE，
∴四边形AEFD是平行四边形
（2）解：当∠EDF＝90°时，如图①，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C＝30°，
∴AD＝2AE，即60﹣4t＝2t×2，
解得，t＝，
当∠DEF＝90°时，如图②，
∵AD∥EF，
∴DE⊥AC，
∴AE＝2AD，即2t＝2×（60﹣4t），
解得，t＝12，
综上所述，当t＝或12时，△DEF为直角三角形．
