【备考2019中考数学学案】第六单元 圆 第1节 圆的基本性质

第六单元 圆
第1节 圆的基本性质
考 点 知 识 清 单
考点一 圆的有关概念
圆
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点A所形成的图形叫做圆。
弧
定义
圆上①_____________的部分叫做弧。
分类
弧分优弧、劣弧、_____________。
弦
连接圆上任意两点的③____________叫做弦，经过圆心的弦叫做直径
对称性
圆既是轴对称图形，也是④___________________。
【温馨提示】 1.在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。另外，注意“半圆形”与“半圆”的区别，半圆指的是一条弧，不含其所对的直径。
2.把整个圆等分成360份，每一份这样的弧叫做1o的弧。
考点二 弧、弦、圆心角的关系
同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组相等，它们所对应的其余各组量也分别⑤_____________。
考点三 垂径定理
1.定理：垂直于弦的直径⑥___________，并且平分弦所对的两条弧。
2.推论：平分弦（不是直径）的直径⑦___________弦，并且⑧_________弦所对的两条弧。
【温馨提示】1.理解垂径定理要注意以下几点：
这里的“垂径”可以是直径、半径或过圆心的直线与线段，其本质是“过圆心”。
垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立。
垂径定理及其推论的内容可以概括为“知二推三”，即一条直线如果具有①经过圆心，②垂直于弦，③平分非直径弦，④平分弦所对的劣弧，⑤平分弦所对的优弧这五条中的任意两条，则能推出其余的三个结论。
考点四 圆周角定理及其推论
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑨___________。
推论：同弧或等弧所对的圆周角⑩___________。半圆（或直径）所对的圆周角是?__________；90o的圆周角所对的弦是直径。
【温馨提示】
顶点在圆上，角的两边在圆内的部分分别是圆的弦，这样的角叫做圆周角。
在运用圆周角的性质时，注意必须是在“同圆或等圆”中，一条弦对着两条弧，这两条弧所对的两圆周角是互补的，一条弧只对着一个圆心角，却对着无数个圆周角。
考点五 圆内接四边形
圆内接四边形的对角?____________。
【温馨提示】一般地，如果一个多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫多边形的外接圆。
题型归类探究
类型一 弧、弦、圆心角的关系（重难点）
【典例1】（2016·福州）如图，正方形ABCD的顶点都在⊙O上，M为AD的中点，连接BM，CM.
（1）求证:BM＝CM；
（2）当⊙O的半径为2时，求BM的长.
【思路导引】（1）结合正方形的性质，利用弦与弧之间的关系通过证BM与CM相等得结论；
（2）探寻BM的长与圆周长的倍分关系，从而可得结果。
【自主解答】
【温馨提示】（1）当证两个圆心角相等时，必须限定同圆或等圆这一前提条件；（2）当两弦相等推圆心角相等时，必须限定同圆或等圆；（3）当两弦相等推弧相等时，除了具备同圆或等圆的限定外，还需要限定两弧是同一类弧。
【变式训练】
1.（2017·南京）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE，若∠D＝78°，则∠ EAC = ____________。
类型二 垂径定理（重点）
【典例2】（2016·绍兴）如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为_________cm。
【思路异引】作出垂直与弦AB的直径（或半径），利用垂径定理获得相关线段长度，在直角三角形中利用勾脱定理到方程求解。
【自主解答】
【方法技巧】垂径定理基本图形的四变量和两关系:（1）四变量:如图，弦长为a，圆心到弦的距离为d，半径为r，弧的中点到弦的距离（弓形高）为h，这四个变量知任意两个可求其他两个；（2）两个关系:①，②h＋d＝r。
【变式训练】
2.（2017·广安）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB＝，BD＝5，则OH的长度为（ ）
A. B. C.1 D.
类型三 圆周角定理及其推论（重难点）
【典例3】（2018·宜宾）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E且DE交AC于点F，DB交AC于点G，若，则___________。
【思路导引】连接AD，BC，则有∠ADB＝∠C＝90°，故sin∠CBD.易知∠CBD＝∠ABD＝∠ADE ＝∠DAC，可得AF＝DF，于是结合勾股定理，在Rt△ADE中求sin∠ADE，即为的值。
【自主解答】
【方法技巧】（1）在同圆或等圆中，要证弧相等，可考虑证明这两条弧所对的圆周角或圆心角相等.反之亦然。（2）如果已知条件中出现了圆的直径，可以考虑构造直径所对的圆周角，最终转化为研究直角三角形的问题。（3）圆周角的性质和弧、弦、圆心角的关系定理使不同量之间架起了桥梁，使其可以互相转化，为证明角相等、线段相等、弧相等提供了重要途径。
【变式训练】
3.（2018·扬州）如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝_______。
中考真题回放
考点一 圆的概念及弧、弦、圆心角的关系
1.（2015·滨州）如图，在直角O的内部有一滑动杆 AB.当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动.如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（ ）
A.直线的一部分 B.圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分
2.（2014·贵港）如图所示，AB是⊙O的直径，BC＝CD＝DE,∠COD＝34°,则∠AEO的度数是（）
A.51° B.56° C.68° D.78°
3.（2017·海南）如图，AB是⊙O的弦，AB＝5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°.若点M，N分别是AB，AC的中点，则MN长的最大值是___________。
考点二 垂径定理
4.（2018·威海）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为AB的中点，若∠ABC＝30o，则弦AB的长为（ ）
A. B.5 C. D.5
5.（2018·枣庄）如图，AB是⊙O的直径，与弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（ ）
A. B.2 C.2 D.8
6.（2017·潍坊）点A，C为半径是3的圆周上两点，点B为AC的中点，以线段BA，BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（ ）
A.或2 B.或2 C.或2 D.或2
7.（2015·东营）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m则排水管内水的深度为________m。
考点三 圆周用及其推论
8.（2018·聊城）如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC，若∠A＝60°，
∠ADC＝85°，则∠C的度数是（ ）
A.25° B.27.5o C.30° D.35°
9.（2018·菏泽）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA的度数是（ ）
A.64° B.58° C.32° D.26°
10.（2018·青岛）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B是AC的中点，则∠D的度数是（ ）
A.70° B.55° C.35.5o D.35o
11.（2016·烟台）如图，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC＝40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D.若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数为（ ）
A.40° B.70° C.70°或80° D.80°或140o
12.（2018·泰安）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（ ）
A.3 B.4 C.6 D.8
13.（2018·济宁）如图，点B、C、D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（ ）
A.50° B.60°
C.80° D.100°
14.（2018·泰安）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BC＝4，则⊙O的直径为__________。
15.（2017·临沂）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.（1）求证:DE＝DB；
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC的外接圆半径。
16·临沂）如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D。（1）求证:△ABC是等边三角形；
（2）若∠PAC＝90°，AB＝2，求PD的长。
17.（2016潍坊）如图，正方形ABCD内接于⊙O，在劣弧AB上取一点E，连接DE，BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF，AF，且AF与DE相交于点G.求证:（1）四边形EBFD是矩形； （2）DG＝BE.
参考答案及解析
【题型归类探究】
【典例1】
【自主解答】（1）证明:∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD∴AB＝CD.
∵M为AD的中点，∴AM＝DM
∴AB＋AM＝CD＋DM，即BM＝CM.∴BM＝CM
（2）解:如图，连接OM，OB，OC.∵BM＝CM，∴∠BOM＝∠COM。
∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠BOC＝＝90°∴∠BOM＝135°。
由弧长公式，得BM的长。
【变式训练】1.27°
解析:易求∠DAC＝51°，AEC＝DCE，∴∠DAE＝∠D＝78°，∴∠EAC＝78°－51°＝27°。
【典例2】
【自主解答】25 解析:如图，设圆心为O，连接OB，OC，则OC⊥AB.设垂足为点D，圆的半径为r cm.由垂径定理，得BD＝20cm，OD＝（r-10）cm.根据勾股定理，
得（r-10）2＋202＝r2，解得r＝25.
【变式训练】2.D
【典例3】
【自主解答】 解析:连接AD，BC，
∵AB为直径，∠ADB＝∠C＝90°又DE⊥AB，可得
∠ABD＝∠ADE。∵D是AC的中点，∴∠CBD＝∠ABD＝∠DAC，∴∠ADE＝∠DAC，∴AF＝DF.∵，故可设EF＝3k，AE＝4k，∴DF＝AF＝5k，∴DE＝8k，∴AD＝4k，则sin∠ADE＝＝sin∠CBD＝。
【变式训练】3. 2 解析:在优弧AB上任取一点D，连接AD，BD，由∠ACB＝135°，得∠D＝45°，∴∠AOB＝90°。∴△OAB为等腰直角三角形，∵OA＝OB＝2，∴AB＝2。
【中考真题回放】
1.B 2.A 3. 4.D 5.C
6.D 解析:分两种情况讨论；如图所示，
0.8 8.D 9.D 10.D 11.D
12.C 解析:连接OP，则OP为Rt△APB斜边上的中线，∴AB＝2OP.连接OM，则当点P为OM与⊙M的交点时，OP最短，则AB也最短，根据勾股定理，得OM＝＝5，∴OP＝OM-PM＝5-2＝3，
∴AB＝2OP＝6，即AB的最小值为6。
13.D 14. 4
15.（1）证明:连接BD，CD。∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD。
又∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD。∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE。
∴∠DBE＝∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.又∵∠BED＝∠ABE＋∠BAD，
∴∠DBE＝∠BED，∴BD＝DE。
（2）解:∵∠BAC＝90°，∴BC是直径，∴∠BDC＝90°。
∵AD平分∠BAC，BD＝4，∴BD＝CD＝4.
∴BC＝＝4，∴半径为2.
16.（1）证明:∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°。
∴∠ACB＝60°∴△ABC是等边三角形。
（2）解:∵∠PAC＝90°，∠APC＝∠ACB＝60°，∴∠D＝∠DAB＝∠PCB＝30°∴BD＝AB＝2.
又∵∠PBD＝∠PAC＝90°，∴PD＝＝4。
17.证明:（1）∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠BED＝∠BAD＝90°，∠BFD＝∠BCD＝90°。
又∵DF∥BE，∴∠EDF＋∠BED＝180°。∴∠EDF＝90°，∴四边形EBFD是矩形。
（2）∵正方形ABCD内接于⊙O，∴AD的度数是90°∴∠AFD＝45°。
又∵∠GDF＝90°，∴∠DGF＝∠DFG＝45°∴DG＝DF。
又∵在矩形EBFD中，BE＝DF，∴DG＝BE。