【备考2019中考数学学案】第六单元 圆 第2节 与圆有关的位置关系

第六单元 圆
第2节 与圆有关的位置关系
考点一 点与圆的位置关系
位置关系
位置
数量关系
点在圆外
d＞r
在圆上
①____________
在圆内
②____________
确定圆
的条件
定理
③_______________的三个点确定一个圆.
外心
三角形外接圆的圆心，三角形④___________的交点.
【温馨提示】由d与r的大小关系可以确定点与圆的位置关系，反之亦然。
考点二 直线与圆的位置关系
位置关系
相离
相切
相交
公共点个数
0
1
2
d与r的关系
⑤________
⑥________
⑦________
考点三 切线的判定与性质
判定
到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线
过半径外端且⑧_____________这条半径的直线是圆的切线
性质
圆的切线⑨____________过切点的半径.
考点四 切线长定理
切线长
过圆外一点作圆的切线，这点和⑩________之间线段的长，叫做这点到圆的切线长
定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长?_________，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
考点五 三角形的内切圆
内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形.
内心
内切圆的圆心是三角形?_________的交点，叫做三角形的内心
考点六 反证法
反证法:从假设命题的结论?_________出发，由此推出?__________的结果，从而判断原假设不成立，得到原命题成立的方法叫做反证法.
【温馨提示】反证法的证明步骤:
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从这个命题出发，经过推理证明得出与已知或基本事实或定理等矛盾；
（3）由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确.
题型归类探究
类型一 与圆有关的位置关系（易错点）
【典例1】（1）（2018·湘西州）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定
（2）（2016·宜昌）在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等），现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为（ ）
A.E，F，G B.F，G，H C .G，H，E D.H，E，F
【思路导引】（1）通过比较圆心O到直线l的距离与半径的大小关系直接得到两者的位置关系；
（2）计算各点到O的距离，小于半径OA长的则需要移除，也可直接作出⊙O，通过观察即可得解。
【自主解答】
【方法技巧】判断直线和圆的位置关系“三步曲”:
（1）求值→根据题意求出圆心到直线的距离d和圆的半径r；
（2）比较→比较d与r的数量关系；
（3）结论→根据数量关系判断直线和圆的位置关系
【变式训练】
1.（2017·百色）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝-x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是（ ）
A.0≤b＜2 B.-2≤b≤2 C.-2＜b＜2 D.-2＜b＜2
类型二 切线的判定与性质（高频点）
【典例2】（2018·潍坊）如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，
且∠BAE＝∠C.
（1）求证:AE与⊙O相切于点A；
（2）若AE∥BC，BC＝2，AC＝2，求AD的长。
【思路导引】（1）连接OA交BC于点F，通过证明AE⊥OA得AE与⊙O相切；易知∠BAE＝∠C＝∠D＝∠DAO，而∠BAE＋∠OAB＝90°，可得∠OAE＝90°；（2）由条件可得OA⊥BC，AB＝AC，于是利用勾股定理，先在Rt△ABF中，求出AF的长，再在Rt△OFB中求出OB的长，最后在Rt△ABD中求出AD的长。
【自主解答】
【方法技巧】（1）证明切线的常用方法:①当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作平径证垂直”；③当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等干径，简称“作垂直，证半径”.（2）已知圆的切线时，常常连接圆心和切点，得到半径垂直于切线，通过构造直角三角形来解决问题，这是圆中常作的辅助线之一。
【变式训练】
2.（2018·菏泽）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F。
（1）求∠DAF的度数；
（2）求证:AE2＝EF·ED；
（3）求证:AD是⊙O的切线。
类型三 切线长定理（难点）
【典例3】（2017·河池）如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F.
（1）求证:∠FEB＝∠ECF；
（2）若BC＝6，DE＝4，求EF的长。
【思路导引】（1）利用直角三角形的性质与切线长定理，可知∠FEB＝∠OCB＝∠ECF；
（2）连接OD，由切线长定理，得CD＝BC＝6，故可Rt△EDO中，由勾股定理得半径长，再利用锐角三角函数或相似得比例式，求得EF的长。
【自主解答】
【方法技巧】切线长定理中的“钻石”图形:如图，PA，PB为⊙O的切线，此图形是切线长定理的基本图形，因为此图形的形状像一个“钻石”，我们常把它称为“钻石”图形，此图形中含有:（1）两个等腰三角形（△PAB，△OAB）；（2）一条特殊的角平分线（OP平分∠APB和∠AOB）；（3）三个垂直关系（OA⊥PA，OB⊥PB，OP⊥AB）。
【变式训练】
3.（2018·武汉）如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA＝PB.
（1）求证:PB是⊙O的切线；
（2）若∠APC＝3∠BPC，求的值。
类型四 三角形的外接圆与内切圆（重难点）
【典例4】（2018·长沙）如图在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD＝∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC＝8，AD＝3。
（1）求CE的长；
（2）求证:△ABC为等腰三角形；
（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离。
【思路导引】（1）根据平行线分线段成比例定理与三角形中位线定理，可得CE＝2AD；（2）由（1）知AB＝AE，故只需再证AC＝AE，即得结论，这可通过已知条件证∠ACE＝∠E获得；（3）等腰△ABC的外心P与内心Q均在底边BC的垂直平分线AD上利用勾定理求出外接圈的半径，进而得PD的长，再借助面积求出内切圆的半径QD的长，两者之和即为外心P与内心Q的距离。
【自主解答】
【方法技巧】直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，内切圆半径为r.（1）由切线长定理，易得a-r＋b-r＝c，从而r＝；（2）面积法:根据三角形面积等于三角形的周长与三角形内切圆半径乘积的一半，得ab＝（a＋b＋c）r，从而。
【变式训练】
4.（1）（2016·金华）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好.如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在（ ）
A.点C B.点D或点E
C.线段DE（异于端点）上一点 D.线段CD（异于端点）上一点
（2）（2018·益阳）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，按以下步骤作图:①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线AE；④以同样的方法作射线BF.AE交BF于点O，连接OC，则OC＝_______________。
中考真题回放
考点一 与圆有关的位置关系
1.（2018·舟山）用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（ ）A.点在圆内 B.点在圆上 C.点在圆心上 D.点在圆上或圆内
2.（2017·枣庄）如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画图，选取的格点中除A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（ ）
A.2＜r＜ B.＜r＜3
C.＜r＜5 D.5＜r＜
3.（2015·烟台）如图，直线l:y＝x＋1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，m的值为_________。
考点二 切线的判定与性质
4.（2018·济南）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BP与⊙O相交于点D，C为⊙O上一点，分别连接CB，CD，∠BCD＝60°。
（1）求∠ABD的度数；
（2）若AB=6，求PD的长度。
5.（2018·澳州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB。
求证:（1）直线DC是⊙O的切线；
（2）AC2＝2AD·AO.
6.（2018·枣庄）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以BC为直径作⊙O交
AB于点D。
（1）求线段AD的长度；
（2）点E是线段AC上的一点，试问:当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由。
7.（2018·日照）如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一点，直线l经过点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD延长线交直线l于点F，点A是DE的中点.
（1）求证:直线l是⊙O的切线；
（2）若PA＝6，求PB的长.
8.（2018·聊域）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆。
（1）求证:AC是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长。
9.（2018·莱芜）如图，已知A、B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于D。
（1）求证:CD是⊙O的切线；
（2）E是AB的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE＝，BE＝BG，EG＝3，求⊙O的半径。
考点三 三角形的外接圆、内切圆与切线长
10.（2018·烟台）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（ ）
A.56° B.62°
C.68° D.78°
11.（2018·烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O、A、B、C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，A，B，C三点的圆的圆心坐标为___________。
12.（2018·临沂）如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形片的直径是_________cm.
13.（2018·威海）在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为___________。
14.（2018·临沂）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E.
（1）求证:AC是⊙O的切线；
（2）若BD＝，BE＝1，求阴影部分的面积。
参考答案及解析
【题型归类探究】
【典例1】
【自主解答】（1）B 解析:∵d＝5＝r，∴直线l与⊙O相切；
（2）A 解析:结合网格图，可知OA＝，OF＝OE＝2，OG＝1，OH＝2.所以E，F，G，H四棵树中需要被移除的为E， F，G.
【变式训练】1. D
【典例2】
【自主解答】（1）证明:连接OA交BC于点F，则OA＝OD，∴∠D＝∠DAO。
∵∠D＝∠C，∴∠C＝∠DAO。∵∠BAE＝∠C，∴∠BAE＝∠DAO，
∵BD是⊙O的直径，∴∠DAB＝90°，即∠DAO＋∠OAB＝90°，
∴∠BAE＋∠OAB＝90°，即∠OAE = 90o。∴AE⊥OA，∴AE与O相切于点A。
（2）∵AE∥BC，AE⊥OA，∴OA⊥BC。∴AB = AC，FB = BC.∴AB＝AC。
∵BC＝2，AC＝2，∴.BF＝.AB＝2，
在Rt△ABF中，AF＝＝1，在Rt△OFB中，OB2＝BF2＋(OB－AF)2，∴OB＝4，∴BD＝8，∴在Rt△ABD中，AD＝===2.
【变式训练】2.（1）解:∵AB＝AC，∠BAC＝36o，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∠C＝72o。∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C＝72o，
∵∠FAC=∠FBC=36o，∴∠DAF＝36°。
（2）证明:∵AD∥BC，∴∠D＝∠DBC。∵∠DBC＝∠FAE，∴∠D＝∠FAE。
在△DAE和△AFE中， ∴△DAE∽△AFE，
∴，∴AE2 = EF·ED。
（3）证明:连接AO、OB、OC，延长AO交BC于点P.
∵∴△OAB≌△OAC（SSS）∴∠BAO = ∠CAO，
∴AP⊥BC。∵AD∥BC,∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线。
【典例3】
【自主解答】（1）证明:CB，CD分别切⊙O，EF⊥OG，
∴∠B＝∠EFC＝90o，∠BCF＝∠ECF。∵∠EOF＝∠COB，
∴∠FEB＝∠BCF，∴∠FEB＝∠ECF。
（2）解:连接DO。由（1）知CD＝CB，OD＝OB.∠ODC＝∠EFC=∠B=90o。
∵BC＝6，DE＝4，∴CD＝CB＝6.在Rt△CEB中，由股足理得:EB＝8。
设OB＝OD＝r。在Rt△EDO中，42＋r2＝（8-x）2，解得r=3，∴OD＝OB＝3.
在Rt△CDO中，OC2＝62＋32＝45，∴OC=3.
在Rt△CDO和Rt△CEF中，sin∠ECF=sin∠DCO，即，解得EF＝2。
【变式训练】3.（1）证明:方法1:分别连接OB，OP，在△OAP和△OBP中，
∵OA＝OB，OP＝OP，AP＝BP，∴△OAP≌△OBP（SSS），∴∠OBP＝∠OAP，
∵PA是⊙O的切线，∴∠OBP＝∠OAP=90o，∴PB是⊙O的切线。
方法2:连接OB。∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90o。
∵OA＝OB，PA＝PB，∴∠OAB＝∠OBA，∠PAB＝∠PBA。
∴∠PBO＝∠PAO＝90o，∴PB是⊙O的切线。
（2）解:连接BC，设AB与OP交于点F，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90o，
∵PA，PB是⊙O的切线，∴PO垂直平分AB，PO平分∠APB。
∴OP∥BC，∴∠OPC＝∠PCB。∵∠APC＝3∠BPC，∴∠OPC＝∠CPB，
∴∠PCB＝∠CPB。∴CB＝BP。
设OF＝t，则CB＝BP＝2t，由△PBF∽△POB，得PB2＝PF·PO。
即（2t）2＝PF·（PF+t）。解得。（取正值）
∵△PFE∽△CBE，∴，∴。
【典例4】
【自主解答】（1）解:∵点D为BC的中点，AD∥CE，∴A为BE中点，∴AD＝CE。
∵AD＝3，∴CE＝6。
（2）证明:∵∠BAD＝∠CAD，CE∥AD，∴∠BAD＝∠E，∠ACE＝∠CAD。
∴∠ACE＝∠E，∴AC＝AE。
由（1）得AB＝AE，∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形。
（3）解:如图，等腰△ABC的内心Q与外心P均在底边BC的垂直平分线AD上，连接BP。
∵AD＝3，BD＝4，∴AB＝5。
设⊙P半径为R，⊙Q半径为r，在Rt△BDP中，R2 -（R - 3）2＝42，∴R＝。
∴PD＝ - 3＝。
在△ABC中，BC·AD＝AB·r＋AC·r＋BC·r，
∴r＝，∴QD＝。∴PQ＝＋＝。
【变式训练】4.（1）C
（2） 解析:∵AB＝5，AC＝4，BC＝3，∴AC2＋BC2＝42＋32＝25＝AB2，∴△ABC是直角三角形，由作法可知AO，BO分别是∠BAC，∠ABC的角平分线，∴点O是△ABC内切圆的圆心，其内切圆半径为，由勾股定理得OC＝。
【中考真题回放】
1.D 2.B 3.2-2或2＋2
4.解:（1）连接AD。∵∠BCD和∠BAD为同弧所对的圆周角，
∴∠BAD＝∠BCD＝60°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝900，
∴∠ABD＝90°- 600＝300。
（2）∵AP是⊙O的切线，∴AB⊥AP，∵∠ABD=30o，AB=6，
∴AP＝2，∠P＝60°，∴在Rt△APD中，PD＝AP=。
5.证明:（1）连接OC，∵AC平分∠DAB，所以∠DAC=∠OAC，
由题意可知OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，又∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90o，∴∠ADC=∠OCD＝90°，
∴直线DC是⊙O的切线。
（2）连接BC，因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90o，所以∠ACB＝∠ADC＝90o，
∠DCA=∠BAC，所以△ADC∽△ACB，所以，
所以AC2=AD·AB，所以AC2=2AD·AO。
6.解:（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90o，∴AB=5cm。
连接CD，∵BC为直径，∴∠ADC=∠BDC=90o，∵∠A=∠A，∠ADC=ACB，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，∴，。
（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切。
证明:连接OD，∵DE是Rt△ADC的中线；∴ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，
∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90o，
∴ED⊥OD，∴ED与⊙O相切。
7.（1）证明，连接OA，∵OA=OP。∴∠OAP=∠OPA。
∵点A是弧DE的中点，∴弧DA=弧AE，∴∠DPA=∠APB，∴∠OAP=∠APB。
∵PB⊥l，∴∠ABP=90o，∴∠PAB+∠APB=90o,∴∠PAB+∠OAP=90o,
即OA⊥l，∴直线l是⊙O的切线。
（2）解：连接AD，∵PD是直径，∴∠PAD＝90o.
∵PB⊥l，∴∠PBA＝90°，∴∠PAD＝∠PBA。∵DPA＝∠APB，∴△PAD∽△PBA，
∴,即，∴PB=。
8.（1）证明，连接OE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB.
∵BE平分∠ABC，∠OBE＝∠EBC，∴∠OBE=∠EBC。∴OE∥BC。
又∵∠C=90°，∴∠OEA＝90°，即AC⊥OE。又∵OE是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线。
（2）解:在△BCE与△BED中，∵∠C =∠BED＝90°，∠EBC＝∠DBE，
∴△BCE∽△BED，∴。∵BE＝4，BD是⊙O的直径，BD＝5，
∴，又∵OE∥BC，∴，∵AO＝AD＋2.5，AB＝AD＋5，
∴，解得AD＝。
9.（1）证明:连接OC，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC。∵∠OBC=∠CBD，
∴∠OCB=∠CBD。∴OC∥BD。∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，
∴∠OCD＝90o，∴OC⊥CD。∴CD是⊙O的切结
（2）解:连接OE交AB于H，∵E是弧AB的中点，∴OE⊥AB，∠AFE＝∠ABE。
∵tan∠AFE=，∴tan∠ABE＝。设EH=3m，则BH＝4m，BE＝5m。
∵BG＝BE，∴GH＝m。在Rt△GEH中，EG2＝GH2＋EH2，∴，解得：m=3。
∴EH＝9，B＝12。设⊙O的半径为r，在Rt△OHB中，OB2＝OH2＋BH2，
∴r2＝（r - 9）2＋122，∴r＝。
10.C 解析:由∠AIC＝124°，知∠IAC＋∠ICA＝180°－∠AIC＝180°－124o＝56o。
又点I是△ABC的内心，∴点I是△ABC三个内角角平分线的交点。
∴∠BAC＋∠BCA＝56o×2＝112o。
∴∠B＝180°－（∠BAC＋∠BCA）＝180o－112o＝68o。
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE＝∠B＝68°。
11.（－1，－2）
12. 解析:能够将△ABC完全覆盖的最小圆形片是如图所示的△ABC外接圆⊙O，
连接OB，OC，则∠BOC=2∠BAC＝120°，过点O作OD⊥BC于点D，
∴∠BOD=∠BOC＝60°，由垂径定理得BD=BC=cm，
∴，
∴能够将△ABC完全覆盖的最小圆形片的直径是。
13.135o 解析：连接CE，∵∠ADC=90o，∴∠DAC+∠DCA=90o，
∵⊙E内切于△ADC，∴∠EAC＋∠ECA＝45°，∴∠AEC＝135°；
∵△AEC≌△AEB，∴∠AEB＝∠AEC＝135°。
14.（1）证明:过点O作OF⊥AC，垂足为点F，连接OD，OA。
∵△ABC是等腰三角形，点O是底边BC的中点，
∴OA也是△ABC的高线，也是∠BAC的平分线，
∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB，又∵OF⊥AC，
∴OF＝OD，即OF是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线.
（2）解:在Rt△BOD中，设OD＝OE＝x，则OB＝x＋1，
由勾股定理，得:（x＋1）2＝x2＋（）2，解得:x＝1，即OD＝OF＝1.
∵sin∠BOD，∴∠BOD＝60°，∴∠AOD＝90°－∠BOD＝30°，
∴AD＝AF＝OD× tan∠AOD＝。
∴S阴影＝S四边形ADOF－S扇形DOF＝AD×OD×2－×12＝。