华师大版八年级下册19.2.1 菱形的性质教学设计
课题
第1课时菱形的性质
单元
第十九章矩形、菱形与正方形
学科
数学
年级
八
学习
目标
知识目标：
1、探索并掌握菱形的概念及其特殊的性质．
2、能利用菱形的性质进行有关的计算和证明．
能力目标：
在探索过程中，发展学生的合情推理能力，进一步培养学生数学说理的习惯与能力．
情感目标：
学会合作，经过自己的努力获得新知，形成基本的科学态度和理性精神．
重点
探索菱形的概念及其特殊的性质．
难点
灵活应用菱形的性质进行有关的计算和证明．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师：请观察下列这些图形有什么共同特征？
生：都有一种特殊的平行四边形——菱形．
师：在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考：在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？
生：菱形．
观察课件发现生活中的特殊平行四边形——菱形．
通过观察图形和操作过程感受菱形的概念．
讲授新课
生：归纳菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形．
师：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形？
师：请同学们画出菱形的两条折痕，并通过折叠手中的图形回答以下问题：
1、菱形是中心对称图形吗？若是，对称中心是什么？
2、菱形是轴对称图形吗？菱形有几条对称轴？对称轴之间有什么关系？
生：观察课件通过小组合作归纳结论：菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，对称中心是对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线．
师：菱形是特殊的平行四边形所以它具有平行四边形所有的性质．除具有平行四边形的性质外，你能说出菱形有哪些特殊性质吗?
画出菱形的两条对称轴，从边、角、对角线三个方面猜想菱形具有哪些特殊的性质？如何证明？
生：画图，通过小组合作从边、角、对角线三个方面猜想菱形具有哪些特殊的性质．
猜想：1、菱形的四条边都相等．
2、菱形的对角线互相垂直，且每条对角线对平分一组对角．
师：如何验证以上的猜想？
生：根据命题“菱形的四条边都相等”．画出图形，写出已知、求证并证明．
生：根据命题“菱形的对角线互相垂直，且每条对角线对平分一组对角”．画出图形，写出已知、求证并证明．
师：请同学们对比平行四边形、矩形、菱形的性质，完成下表．
对称性
边
角
对角线
平行四边形的
一般性性质
矩形的
特殊性质
菱形的
特殊性质
师：菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形的面积吗?能利用对角线能计算菱形的面积公式吗?
生：归纳：S菱形 = 底×高 = 对角线乘积的一半．
例1 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，试求出∠B的大小，并说明△ABC是等边三角形．
例2 如图，已知菱形ABCD的边长为2 cm，∠BAD=120°，对角线AC、BD相交于点O．试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长．（结果保留根号）
例3 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分CD，垂足为点E．求∠BCD的大小．
归纳菱形的概念．
观察操作过程进行猜想．
观察课件归纳出菱形的对称性．
猜想菱形的特殊性质．
证明“菱形的四条边都相等”．
证明“菱形的对角线互相垂直，且每条对角线对平分一组对角”．
完成表格．
探究菱形的面积公式．
完成例1、例2、例3．
理解菱形的概念．
为探究四条边都相等的四边形是菱形做好铺垫．
通过探究活动掌握菱形的对称性．
从边、角、对角线三个方面猜想菱形具有的特殊性质．
证明“菱形的四条边都相等”．培养学生逻辑推理能力．
通过证明“菱形的对角线互相垂直，且每条对角线对平分一组对角”．培养学生逻辑推理能力．
通过对比掌握菱形的性质．
掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半．
通过例题的完成使学生熟练掌握菱形的性质，并能运用菱形的性质进行有关的证明和计算．
课堂练习
1、菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．对角线相等
2、下列说法错误的是（ ）
A．菱形的四边都相等
B．菱形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相平分且平分一组对角
D．菱形的对角线相等且互相平分
3、如图在菱形ABCD中，对角线AC，BD交与点O，下列说法错误的是（ ）
A． AB∥CD
B． AC=BD
C．AC ⊥BD
D．OA=OC
4、如图在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，AE ⊥BC于点E，则AE的长是（ ）
A．3
B．2
C．9.6
D．4.8
5、如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=6cm，BD=8cm，求菱形的高AE．
6、如图，在菱形ABCD中，过B作BE⊥AD于E，过B作BF⊥CD于F．
求证：AE=CF．
拓展提高
7、如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过C作CE⊥AC，交AB的延长线于点E．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠E=50°，求∠DAB的度数．
中考链接
1、【2018?大连】如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=5，AC=6，则BD的长是（ ）
A．8
B．7
C．4
D．3
2、【2018?淮安】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（ ）
A．20
B．24
C．40
D．48
完成课堂练习．
通过练习的完成进一步掌握菱形的性质，培养学生运用所学的知识解决问题的能力．
课堂小结
从知识和思想方法上谈谈你的收获？
1．知识上：
1个定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
2个公式：S菱形=底×高= 两对角线积的一半．
3个特性：“边、对角线、对称性”．
2．思想方法：
（1）菱形转化成直角三角形或等腰三角形．
（2）探究问题的思维方法：观察—猜想—实验—验证．
对本节课所学的知识和数学思想方法进行归纳．
通过对本节课所学的知识和思想进行归纳使学生能系统掌握本节课所学的知识，培养学生归纳的能力．
板书
菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，
对称中心是对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线．
菱形的性质定理1：菱形的四条边都相等．
菱形的性质定理2：
菱形的对角线互相垂直，
且每条对角线对平分一组对角．
例1
例2
例3
华师大版八年级下册19.2.1 菱形的性质 同步练习
时间：30分钟，总分：100分 班级：_____________ 姓名：_____________
一、选择题（每小题5分，共30分）
1.在菱形ABCD中，下列结论错误的是（ ）
A．BO=DO B．∠DAC=∠BAC C．AC⊥BD D．AO=DO
2. 如图，菱形ABCD中，已知∠D=110°，则∠BAC的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
3. 如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，若BD=6，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
4. 如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于（ ）
A．6米 B．6米 C．3米 D．3米
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA=OB；③∠ADB=∠CDB；④△ABC是等边三角形，其中一定成立的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①③
6．在菱形ABCD中，下列结论一定正确的是（ ）
A．AD=BD B．菱形ABCD的面积是AC和BD的积
C．∠DAC=∠BAC D．∠ACB=30°
二．填空题（每小题5分，共30分）
7．菱形ABCD的边长AB=5cm，则菱形ABCD的周长为_________cm．
8．在菱形ABCD中，对角线AC、BD分别为6cm、10cm，则菱形ABCD的面积为___________．
9．如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，则对角线AC长为_________cm．
10．如图．菱形ABCD中，∠A=130°，M在BD上，MB=MC．则∠MCB的度数等于________．
11．如图所示的衣帽架是现在流行的一种可活动的新式菱形衣帽架，若墙上钉子的距AB=BC=16cm，且∠AMB=∠BNC=60°，那么做这样一个衣帽架至少需要_______cm长的材料．（制作过程中的损耗忽略不计）．
12．如图，菱形ABCD中，E是AB中点，DE⊥AB，则∠ADC的度数为_______．
三、解答题（共40分）
13．（本题满分12分）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O是对角线BD的中点，过O点作OE丄AB，垂足为E．
（1）求∠ABD的度数；
（2）求线段BE的长．
14．（本题满分14分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是AB和BC上的点，且BE=BF，求证：△ADE≌△CDF．
15．（本题满分14分）在菱形ABCD中，∠B=60°，点E在射线BC上运动，∠EAF=60°，点F在射线CD上．
（1）当点E在线段BC上时（如图1），求证：EC+CF=AB；
（2）当点E在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明．
参考答案
一、选择题：
1．【答案】D．
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠DAC=∠BAC，BO=DO，故A，B，C正确，D错误．故选D．
2．【答案】B．
【解析】∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥AB，∴∠BAD=180°﹣∠D=180°﹣110°=70°，∵四边形ABCD为菱形，∴AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠BAD=35°．故选B．
3．【答案】C．
【解析】∵菱形ABCD的周长是20，∴AB=5，AC⊥BD，OB=BD=3，∴OA==4，∴AC=2OA=8，∴菱形ABCD的面积是：AC?BD=×8×6=24．故选C．
4．【答案】A．
【解析】∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD=6（米），∵∠BAD=60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD=AB=6（米），OD=OB=3（米），在Rt△AOB中，根据勾股定理得：OA==3（米），则AC=2OA=6米，故选A．
5．【答案】D．
【解析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得：①正确；②错误；根据菱形的对角线平分一组内角可得③正确．④错误．故选D．
6．【答案】C．
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD=AB=BC，菱形ABCD的面积是AC和BD的积的一半，∠DAC=∠BAC，故A，B，D错误，C正确．故选C．
二、填空题：
7．【答案】20．
【解析】如图所示，AB=5cm，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=5cm，∴菱形ABCD的周长=4×5=20cm．
8．【答案】30cm2．
【解析】∵菱形ABCD的对角线AC=6cm，BD=10cm，∴菱形ABCD的面积为：AC?BD=×6×10=30cm2．
9．【答案】24．
【解析】∵BD=10cm，∴BE=5cm，又菱形ABCD对角线AC⊥BD，∴AE===12cm，∴AC=2AE=24cm．
10．【答案】25°．
【解析】如右图所示，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠ABD=∠CBD，又∵∠A=130°，∴∠ABC=50°，∴∠ABD=∠CBD=25°，∵MB=MC，∴∠MCB=∠CBM=25°．
11．【答案】192．
【解析】∵∠AMB=∠BNC=60°，∴△AMB和△BNC均为等边三角形；∴AM=BM=BN=CN=AB=BC=16cm；即三个菱形的边长都是16cm；因此所需材料的长度为16×12=192cm．
12．【答案】120°．
【解析】连接BD，∵E为AB的中点，DE⊥AB，∴AD=BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠A=60°，∴∠ADC=120°．
三、解答题：
13．【答案】（1）60°；（2）1．
【解析】（1）在菱形ABCD中，∵AB=AD，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∴∠ABD=60°；
（2）∵O是对角线BD的中点，∴OB=BD=2，∵∠ABD=60°，△ABD为等边三角形，∴∠BOE=30°，BE=1．
14．【答案】见解析
【解析】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠A=∠C，AB=CB，AD=DC，∵BE=BF，∴AE=CF，在△ADE和△CDF中，,∴△ADE≌△CDF（SAS）．
15．【答案】（1）见解析；（2）CF﹣CE=AB．
【解析】（1）证明：连接AC，如下图所示：在菱形ABCD中，∠B=60°，∠EAF=60°，△ABC和△ACD为等边三角形，∴，∴△AEC≌△AFD（ASA），∴EC+CF=DF+CF=CD=AB．
（2）解：线段EC、CF、AB的关系为：CF﹣CE=AB．
课件27张PPT。菱形的性质数学华师大版 八年级下新知导入请观察下列这些图形有什么共同特征？ 都有一种特殊的平行四边形——菱形新知讲解在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考：在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？ 平行四边形 邻边相等菱形如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？新知讲解菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形．新知讲解将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形？菱形新知讲解画出菱形的两条折痕，并通过折叠手中的图形回答以下问题：2、菱形是轴对称图形吗？菱形有几条对称轴？
对称轴之间有什么关系？1、菱形是中心对称图形吗？若是，对称中心是什么？菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点．菱形是轴对称图形，
对称轴有两条是对角线所在的直线，两条对称轴互相垂直．菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，对称中心是对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线．新知讲解具备平行四边形所有的性质对称性：边：角：对角线：既是轴对称图形又是中心对称图形菱形是特殊的平行四边形，因此菱形除具有平行四边形的性质外，还有它的特殊性质．你能说出菱形有哪些特殊性质吗?新知讲解画出菱形的两条对称轴，从边、角、对角线三个方面猜想菱形具有哪些特殊的性质？如何证明？猜想：
1、菱形的四条边都相等．
2、菱形的对角线互相垂直，且每条对角线对平分一组对角．如何验证以上的猜想？ 新知讲解命题：菱形的四条边都相等．已知：如图，四边形ABCD是菱形．
求证：AB=BC=CD=AD．证明： ∵四边形ABCD是菱形，
∴ AB=BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=DC，AD=BC，
∴ AB=BC=CD=AD．定理：菱形的四条边都相等．新知讲解命题：菱形的对角线互相垂直，且每条对角线对平分一组对角．已知：如图，四边形ABCD是菱形．
求证：AC⊥BD ；
AC平分∠DAB和∠DCB；BD平分∠ADC和∠ABC．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA=AB，OB＝OD，
在等腰△DAC中，∵AO=CO，
∴DB⊥AC，DB平分∠ADC（三线合一）．
同理AC平分∠BCD；BD平分∠ABD和∠ADC．定理：菱形的对角线互相垂直，且每条对角线对平分一组对角．新知讲解对边平行且相等邻边垂直四个角都是直角中心对称图形既是中心对称图形又是轴对称图形对角相等
邻角互补对角线互相平分对角线相等既是中心对称图形又是轴对称图形四条边相等对角线互相垂直平行四边形、矩形、菱形的性质对比新知讲解菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形的面积吗?思考：计算菱形的面积除了上式方法外，利用对角线能计算菱形的面积公式吗?E【菱形的面积公式】 S菱形 = 底×高 = 对角线乘积的一半．新知讲解例1 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，试求出∠B的大小，并说明△ABC是等边三角形．解：在菱形ABCD中，∵∠BAD+∠B=180°，∠BAD=2∠B，
∴∠B=60°．
在菱形ABCD中，
∵AB=BC（菱形的四条边都相等），∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形．新知讲解例2 如图，已知菱形ABCD的边长为2 cm，∠BAD=120°，对角线AC、BD相交于点O．试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长．（结果保留根号）新知讲解例3 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分CD，垂足为点E．求∠BCD的大小．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC=CB=BA（菱形的四条边都相等）．
又∵AE垂直平分CD，
∴AC=AD，
∴AC=AD=DC=CB=BA，
即△ADC与△ABC都为等边三角形．
∴∠ACD=∠ACB=60°，
∠BCD=120°．课堂练习1、菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．对角线相等
2、下列说法错误的是 （ ）
A．菱形的四边都相等
B．菱形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相平分且平分一组对角
D．菱形的对角线相等且互相平分BD课堂练习3、如图在菱形ABCD中，对角线AC，BD交与点O，下列说法错误的是（ ）
A． AB∥CD
B． AC=BD
C．AC ⊥BD
D．OA=OC
4、如图在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，AE ⊥BC于点E，则AE的长是（ ）
A．3 B．2
C．9.6 D．4.8BD课堂练习5、如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=6cm，BD=8cm，求菱形的高AE．
课堂练习6、如图，在菱形ABCD中，过B作BE⊥AD于E，过B作BF⊥CD于F．
求证：AE=CF．证明：∵菱形ABCD，
∴BA=BC，∠A=∠C，
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BEA=∠BFC=90°，
在△ABE与△CBF中
∠BEA＝∠BFC＝90° ，∠A＝∠C，BA＝BC ，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴AE=CF．拓展提高7、如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过C作CE⊥AC，交AB的延长线于点E．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠E=50°，求∠DAB的度数．拓展提高（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，DC∥BE，
又∵CE⊥AC，
∴BD∥EC，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD，
∵四边形BECD是平行四边形，∴DB∥CE，
∴∠CEA=∠DBA=50°，
∴∠ADB=50°，
∴∠DAB=180°-50°-50°=80°．中考链接1、【2018?大连】如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=5，AC=6，则BD的长是（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
2、【2018?淮安】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（ ）
A．20 B．24 C．40 D．48 AA课堂总结2．思想方法：S菱形=底×高= 两对角线积的一半．从知识和思想方法上谈谈你的收获？（2）探究问题的思维方法：观察—猜想—实验—验证．1．知识上：特性＂特＂在“边、对角线、对称性”．有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．1个定义；2个公式；3个特性；（1）菱形转化成直角三角形或等腰三角形．板书设计菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形的性质定理1：菱形的四条边都相等．菱形的性质定理2：
菱形的对角线互相垂直，
且每条对角线对平分一组对角．例1
例2
例3菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，
对称中心是对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线．作业布置教材113页第1题、第2题、第3题．谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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