【备考2019中考数学学案】第六单元 圆 第3节 圆的有关计算

第六单元 圆
第3节 圆的有关计算
考 点 知 识 清 单
考点一 正多边形和圆
性质
n个顶点把圆n等分，顺次连接各分点可作出圆的内接正多边形
正多
边形
外心
正多边形①_________________________。
半径
正多边形②_________________________。
中心角
正多边形各边对的③________________________。
边心距
中心到正多边形的一边的距离。
【温馨提示】
1.正n边形的对称性:正n边形是轴对称图形，有n条对称轴，当n是偶数时，它也是中心对称图形，对称中心为正n边形的中心，
2.正n边形的有关计算:
（1）正n边形的内角＝；n正n边形的外角＝；正n边形的中心角。
（2）正n边形的半径R，边长a，边心距r的数量关系是:。
（3）正n边形的周长，面积S＝.
（4）正六边形的边长等于半径，正三角形的边长等于其半径的倍，正方形的边长等于其半径的倍。
3.等分圆周
（1）圆周n等分：以中心角为所对的弦长，依次截取圆周，即可把圆n等分。
（2）圆周四等分：两条互相垂直的直径即可把圆四等分。
（3）圆周六等分：在半径为R的圆上，依次截取等于半径的弦，即可把圆六等分。
周长
若圆的半径是R，则圆的周长＝2πR
弧长
若一条弧对的圆心角为n0，半径为R，则弧长l＝④_________
考点二 圆的周长和弧长
考点三 扇形的面积
S扇形＝⑤___________（R为半径，n为扇形的圆心角度数）。
S扇形＝⑥___________（R为半径，l为扇形的弧长）。
考点四 圆锥的侧面积与全面积
图形
简介
圆锥的侧面展开图是扇形。扇形的半径等于圆锥的⑦______，扇形的弧长就是圆锥的底面圆的周长。
侧面积
S圆锥侧=⑧__________________。
全面积
S圆锥全=⑨__________________。
题 型 归 类 探 究
类型一 正多边形和圆（易错点）
【典例1】（2017·达州）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【思路导引】首先求出圆内接正三角形、正方形和正六边形的边心距，然后再根据三边长识别三角形的特殊形状，最后利用三角形的面积公式计算求解。
【自主解答】
【方法技巧】进行正多边形的计算的要求:（1）明确正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念；（2）作辅助线:作半径和边心距，把问题转化为解直角三角形的问题来解决。
【变式训练】
1.（2018·株洲）如图，正五边形 ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝_______。
类型二 弧长与扇形面积的计算（重难点）
【典例2】（1）（2017·达州）如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次，若AB＝4，AD＝3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（ ）
A.2017π B.2034π C.3024π D.3026π
（2）（2017·温州）已知扇形的面积为3元，圆心角为120°，则它的半径为
【思路导引】（1）如图所示，旋转4次为一个循环，每个循环中的最后一次旋转中心是点A；利用弧长公式计算出每一个循环中顶点A所经过的路程，再探究连续旋转2017次的路程之和；（2）利用扇形面积公式直接求解圆的半径即可。
【自主解答】
【方法技巧】（1）平面图形滚动问题是绕固定顶点的旋转过程.动点经过的路径长度是几条弧的长度和，解题的关键是分析出路径的形成过程.
（2）①扇形面积公式S＝与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径R看成高即可；②已知S，n，R中的任意两个，求第三个时，用公式S扇形＝；已知S，，R中的任意两个，求第三个时，用公式S扇形＝。
【变式训练】
2.（2018·哈尔滨）一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是_______ cm2。
类型三 阴影面积的计算（高频点）
【典例3】
（2018·十堰）如图，扇形OAB中，∠AOB＝100°，OA＝12，C是OA的中点，CD⊥OA交弧AB于点D，以OC为半径的弧CE交OB于点E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A.12π＋18 B.12π＋36 C.6π＋18 D.6π＋36
【思路导引】
连接OD，易证△OCD是含60°角的直角三角形，于是阴影部分面积。
【自主解答】
【方法技巧】（1）求不规则图形的面积时，要将不规则图形转化为与其面积相等的规则图形求解，或将不规则图形转化为规则图形的面积的和（或差）的形式进行求解。（2）弓形是弦和弦所对的弧所围成的图形，利用扇形面积可求出弓形面积：①当弓形所含的弧是劣弧时，如图1，；②当弓形所含的弧是优弧时，如图2，；③当弓形所含的弧是半圆时，如图3，。
【变式训练】
3.（2018·龙东）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将
△ABC绕点A逆时针方向旋转40°得到△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为（ ）
A.π－6 B.π C.π－3 D.＋π
类型四 圆锥的有关计算（易错点）
【典例4】（2016·自贡）圆锥的底面半径为4 cm，高为5 cm，则它的表面积为（ ）
A.12πcm2 B.26π cm2 C.π cm2 D.（4＋16）cm2
【思路导引】圆锥的表面积也就是它的全面积，等于底面圆面积与侧面积之和只需利用勾股定理求出圆锥的母线长，然后套用公式直接计算求值即可。
【自主解答】
【方法技巧】圆锥和侧面展开图之间转换的“两个对应”:（1）圆锥的母线与展开后扇形的半径的对应；（2）展开后扇形的弧长与圆锥底面周长的对应。
【变式训练】
4.（2018·仙桃）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是（ ）A.120° B.180° C.240° D.300°
中 考 真 题 回 放
考点一 正多边形和圆
1.（2017·滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（ ）
A. B.2 C. D.1
2.（2018·烟台）如图，点O为正六边形 ABCDEF的中心，点M为AF中点.以点O为圆心、以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心、以DE的长为半径画弧得到扇形DEF.把扇形MON的两条半径OM、ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1，将扇形DEF以同方法围成的圆锥的底面半径记为r2.则r1:r2＝_____________。
3.（2018·宜宾）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S=__________.（结果保留根号）
考点二 弧长
4.（2018·滨州）已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC＝25°，则劣弧AC的长为（ ）
A.π B .π C .π D .
5.（2018·酒泉）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为______________。
6.（2018·潍坊）如图，点A1的坐标为（2，0），过点A1，作x轴的垂线交直线:y＝x于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2，作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；…，按此作法进行下去，则弧A2019B2018的长是_____________。
考点三 阴影面积的计算
7.（2018·德州）如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（ ）
A. m2 B. m2
C.πm2 D. 2πm2
8.（2018·威海）如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E为BC中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是（ ）
A.18＋36π B.24＋18π C.18＋18π D.12＋18π
9.（2018·济南）如图1，一扇形纸片的圆心角为90°，半径为6.如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重叠部分，则阴影部分的面积为（ ）
B.
C. D.
10.（2018·青岛）如图，Rt△ABC，∠B＝90°，∠C＝30°，O为AC上一点，OA＝2，以O为圆心，以OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE，OF，则图中阴影部分的面积是_____________。
11.（2017·日照）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD是平行四边形，AB＝6，则扇形（图中阴影部分）的面积是__________。
考点四 圆锥的有关计算
12.（2018·聊城）用一块圆心角为216°的扇形铁皮，做一个高为40cm的圆锥形工件（接缝忽略不计），那么这个扇形铁皮的半径是________cm.
13.（2017·聊城）已知圆锥形工件的底面直径是40cm，母线长为30cm，其侧面展开图圆心角的度数为____________。
14.（2017·莱芜）圆锥的底面周长为，母线长为2，点P是母线OA的中点，一根细绳（无弹性）从点P绕圆锥侧面一周回到点P，则细绳的最短长度为_____________。
参考答案及解析
【题型归类探究】
【典例1】
【自主解答】A 解析:如图1，OD＝2×sin30°＝1；如图2，OE＝2×sin45°＝；如图3，OD＝2×cos30°＝.则三角形的三边长为1，，，满足.所以该三角形是直角三角形，其面积为×1×＝。
【变式训练】1.48° 解析:连接AO，则有∠AOM＝×360°＝120°，∠AOB＝×360°＝72°，∴∠BOM＝∠AOM－∠AOB＝120°－72°＝48°。
【典例2】
【自主解答】（1）D解析:由题意可知，旋转4次是一个循环，其中第4次是绕A点旋转，点A不移动距离，每一个循环，所转过的弧长之和是，2017＝4×504＋1，因此连续旋转2017次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是504×6π＋2π＝3026π。
（2）3 解析:根据题意，得S扇形=，解得R＝3.
【变式训练】 2.6π
【典例3】
【自主解答】 C 解析:连接OD.在Rt△OCD中，cos∠COD＝，
∴∠COD＝60°，∠BOD＝100°－60°＝40°。由勾股定理，得CD＝。
S阴影＝S扇形OBD＋S△COD－S扇形OCE＝。
【变式训练】3.B 解析:△ABC中，∵AB＝5，AC＝3，BC＝4，∴AC2＋BC2＝25＝AB2，
∴∠ACB＝90°，∵△ABC绕点A逆时针方向旋转40°得到△ADE，
∴S△ABC＝S△EAD，S阴影＝S△EAD＋S扇形DAB－S△ABC＝S扇形DAB＝。
【典例4】
【自主解答】D 解析:圆锥的母线长＝（cm），
∴圆锥的侧面积为πr＝（cm2）；底面圆的面积为16πcm2，
故它的表面积为（4＋16）πcm2。
【变式训练】4. B
【中考真题回放】
1.A 2.
3.2 解析:由题意，易知:OE⊥EG，OG为∠FOE的角平分线，即∠EOG＝30°，
∴EG＝OE× tan30°＝，S＝12××1×=2。
4.C 5.πa
6. 解析:直线的解析式为y＝x，则在Rt△OA1B1中，tan∠A1OB1＝＝，
∴∠A1OB1＝60°∵OA1＝2，∴OB1＝2OA1＝4，OA2＝OB1＝4.
同理可求OA3＝8，…，即有OA1＝21，OA2＝4＝22，OA3＝8＝23，…，OA2019＝22019，
∴弧A2019B2018的长是。
7.A
8.C 解析:如图，取CD的中点M，连接AM、EM、DF、CF，MF；
S半圆CFD＝πr2＝π×62＝18π，S△CDF＝×12×6＝36，
∵点F是半圆的中点、M是CD的中点，故MF垂直CD，所以AD∥MF，
又∵△ADF、△ADM的底相同，高相等，∴S△ADF＝S△ADM＝×12×6＝36.
同理，S△CEF＝×6×6＝18，∴S阴影部分＝S△ADF＋S△CEF＋S半圆CFD－S△CDF＝18π＋18。
9.A 解析:如图，连接OD，AD，由折叠性质可知，AD＝OD，CD⊥AO.又OA＝OD，
则△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，
在Rt△COD中，OD＝6，则OC＝3，CD＝3，
S阴影＝S扇形AOD－S△COD＝。
10. 解析:在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，∠C＝30°，∴∠A＝60°。
∵OA＝OF，∴△OAF是等边三角形，∴∠AOF＝60°，∴∠COF＝120°。
∵BC与⊙O相切于点E，∴OE⊥BC.在Rt△OCE中，
∠OEC＝90°，∠C＝30°，OE＝2，
∴OC＝2×2＝4.在Rt△ABC中，∠C＝30°，AC＝AO＋OC＝2＋4＝6，
∴AB＝3，BC＝AC·cosC＝6×＝3.如图，设⊙O与AC相交于点D，过O作OG⊥AF于点G，则OG＝OA·sinA＝2×＝.∵S△ABC＝×AB×BC＝×3×3＝，
S△AOF＝×AF×OG＝×2×＝，S扇形DOF，
∴S阴影部分＝S△ABC－S△AOF－S扇形DOF＝。
6π
50 解析:设扇形铁皮的半径为R cm，圆锥工件的底面半径为r cm，
根据题意得，，解方程组，得,所以扇形铁皮的半径为50cm.
240o 14.1