预习课本P54～59，思考并完成以下问题
(1)最小二乘法的概念是什么？
(2)线性回归方程的概念是什么？
(3)如何计算线性回归方程的系数a和b?
1．最小二乘法
(1)定义：如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度：[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2.使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．
(2)应用：利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散点图．如果散点图呈现出线性关系，可以用最小二乘法估计出线性回归方程；如果散点图呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的工具进行拟合．
2．线性回归方程
用表示，用表示，
由最小二乘法可以求得
b＝，a＝－b ，这样得到的直线方程y＝a＋bx称为线性回归方程，a，b是线性回归方程的系数．
[点睛] 由a＝－b可知，回归直线一定经过点(，)，因此点(，)通常称为样本点的中心．
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用最小二乘法求出的回归系数b可能是正的，也可能是负的．( )
(2)用最小二乘法求出的系数可以使回归直线更贴近实际情况．( )
(3)若回归系数b是负的，则y的值随x的增大而减小．( )
(4)根据最小二乘法求出回归系数，从而可以表示出线性回归方程，这个方程可以准确表示每一个数据．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．在最小二乘法中，用来刻画各样本点到直线y＝a＋bx“距离”的量是( )
A．|yi－| B．(yi－)2
C．|yi－(a＋bxi)| D．[yi－(a＋bxi)]2
解析：选D 最小二乘法的定义明确给出，用[yi－(a＋bxi)]2来刻画各个样本点与这条直线之间的“距离”(即二者之间的接近程度)，用它们的和表示这些点与这条直线的接近程度．
3．线性回归方程y＝a＋bx表示的直线必定过( )
A．(0,0)点 B．(，0)点
C．(0，)点 D．(，)点
解析：选D 回归系数a，b有公式a＝－b，即＝a＋b，所以直线y＝a＋bx必定过(，)点．
4．在一次实验中，测得(x，y)的四组值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y与x之间的线性回归方程为( )
A．y＝x＋1 B．y＝x＋2
C．y＝2x＋1 D．y＝x－1
解析：选A 法一：易知在直角坐标系中这四个点都在直线y＝x＋1上．
法二：因为＝＝2.5，＝3.5，而回归直线必过点(，)，所以把点(2.5,3.5)代入各个选项检验可知选A.
求线性回归方程
[典例] 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间．为此进行了10次试验，测得数据如下：
零件数/个
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
加工时间/分
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
请判断其是否具有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求线性回归方程．
[解] 在直角坐标系中画出数据的散点图，如图所示．
观察判断出散点在一条直线附近，故具有线性相关关系．由测得的数据列表如下：
i
xi
yi
x
xiyi
1
10
62
100
620
2
20
68
400
1 360
3
30
75
900
2 250
4
40
81
1 600
3 240
5
50
89
2 500
4 450
6
60
95
3 600
5 700
7
70
102
4 900
7 140
8
80
108
6 400
8 640
9
90
115
8 100
10 350
10
100
122
10 000
12 200
合计
550
917
38 500
55 950
平均
55
91.7
3 850
5 595
b＝＝≈0.668，
a≈－b＝91.7－0.668×55＝54.96.
所以线性回归方程为y＝54.96＋0.668x.
求线性回归方程的技巧和注意点
(1)求解线性回归方程时，需要进行复杂的计算，采用列表法会使计算进行得更有条理．表格可以参考如下方法设计：
i
xi
yi
x
xiyi
1
2
3
…
n
合计
平均
将需要计算的量列在表格中，再按照公式求解线性回归方程即可．
(2)若已知变量x，y成线性相关关系，无需检验相关性即可求解线性回归方程，否则需要根据散点图判断变量x，y之间是否存在线性相关关系，再求解线性回归方程．
[活学活用]
某化工厂为预测某产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系．现取了8对观测值，计算得i＝52，i＝228，＝478，iyi＝1 849，则y对x的线性回归方程是( )
A．y＝11.47＋2.62x B．y＝－11.47＋2.62x
C．y＝2.62＋11.47x D．y＝11.47－2.62x
解析：选A 利用题目中的已知条件可以求出＝6.5，＝28.5，然后利用线性回归方程的计算公式得b＝＝≈2.62，a≈－b＝11.47，因此线性回归方程为y＝11.47＋2.62x.
线性回归方程的应用
[典例] 下表是某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨标准煤)的几组对照数据.
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝a＋bx；
(3)已知该厂技术改进前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测该厂技术改进后生产100吨甲产品的生产能耗比技术改进前降低多少吨标准煤？
[解] (1)散点图如图所示，显然y与x是线性相关的．
(2)计算可得＝4.5，＝3.5,3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5,32＋42＋52＋62＝86.
代入公式得b＝＝0.7，a＝3.5－0.7×4.5＝0.35，
所以线性回归方程为y＝0.35＋0.7x.
(3)当x＝100时，y＝0.35＋0.7x＝70.35,90－70.35＝19.65，所以预测该厂技术改进后生产100吨甲产品的生产能耗比技术改进前降低19.65吨标准煤．
应用线性回归方程解题的常见思路
(1)利用回归直线过样本点的中心，可以求参数问题，参数可涉及回归方程或样本点数据．
(2)利用回归方程中系数b的意义，分析实际问题．
(3)利用回归直线进行预测时需关注两点：①所得的值只是一个估计值，不是精确值；②变量x与y成线性相关关系时，线性回归方程才有意义，否则即使求出线性回归方程也是毫无意义的，用其估计和预测的量也是不可信的．
[活学活用]
1．根据如下样本数据得到的回归方程为y＝bx＋a，则( )
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
解析：选B 画出散点图，如图所示．
观察图像可知，回归直线y＝bx＋a的斜率b＜0，截距a＞0.故a＞0，b＜0.
2．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
解析：选B 样本点的中心是(3.5,42)，则a＝－b＝42－9.4×3.5＝9.1，所以线性回归方程是y＝9.4x＋9.1，把x＝6代入得y＝65.5.
[层级一 学业水平达标]
1．已知x与y之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y与x的线性回归方程y＝bx＋a必过点( )
A．(2,2) B．(1.5,0)
C．(1,2) D．(1.5,4)
解析：选D 线性回归方程y＝bx＋a必过样本中心(，)，＝＝1.5，＝＝4.
2．有人收集了春节期间平均气温x(单位：℃)与某取暖商品的销售额y(单位：万元)的有关数据如下表：
平均气温x(℃)
－2
－3
－5
－6
销售额y(万元)
20
23
27
30
根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间的线性回归方程y＝a＋bx的系数b＝－2.4.则预测平均气温为－8 ℃时，该商品的销售额为( )
A．34.6万元 B．35.6万元
C．36.6万元 D．37.6万元
解析：选A 由已知得＝＝－4，＝＝25，所以a＝－b＝25＋2.4×(－4)＝15.4，即线性回归方程为y＝15.4－2.4x，当x＝－8时，y＝34.6.
3．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此确立的身高y(单位：cm)关于年龄x(单位：岁)的线性回归方程为y＝7.19x＋73.93，则这个孩子10岁时，下列叙述正确的是( )
A．身高在145.83 cm左右 B．身高在145.83 cm以上
C．身高在145.83 cm以下 D．身高一定是145.83 cm
解析：选A 当x＝10时，y＝145.83，利用线性回归方程预测时，估计值会存在偏差．
4．下列说法正确的是________(把正确说法的序号全填上)．
①已知线性回归方程为y＝0.5x＋2，则当x＝2时，变量y的值一定为3；
②已知一个线性回归方程为y＝1.5x＋45(xi＝1,5,7,13,19，则＝58.5；
③任给两组变量，我们都可以通过线性回归方程进行预测；
④散点图中的绝大多数点都表现出两变量线性相关，个别特殊点不影响线性回归．
解析：将x值代入线性回归方程所得的值是预测值，不一定是真实值，故①错；＝(1＋5＋7＋13＋19)＝9，代入线性回归方程，得＝58.5，故②正确；只有当两个变量具有线性相关关系时，求回归直线方程才有意义，因此当两个变量之间不具有线性相关关系时，我们不能通过线性回归方程进行预测，故③错；④显然正确．
答案：②④
[层级二 应试能力达标]
1．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到线性回归方程y＝bx＋a，那么下面说法不正确的是( )
A．直线y＝bx＋a必经过点(，)
B．直线y＝bx＋a至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点
C．直线y＝bx＋a的斜率为
D．直线y＝bx＋a与各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的接近程度yi－(bxi＋a)]2是该坐标平面上所有直线与这些点的最接近的直线
解析：选B 直线y＝bx＋a一定过点(，)，但不一定要过样本点．
2．设一个线性回归方程为y＝2＋1.2x，则变量x增加1个单位时( )
A．y平均增加1.2个单位
B．y平均减少1.2个单位
C．y平均增加2个单位
D．y平均减少2个单位
解析：选A 根据系数b的意义可得b＝1.2＞0，因此变量x增加1个单位时，y平均增加1.2个单位．
3．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y与x具有相关关系，线性回归方程为y＝0.66x＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )
A．83% B．72%
C．67% D．66%
解析：选A 将y＝7.675代入回归方程，可计算得x≈9.26，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.675÷9.26≈0.83，即约为83%.
4．已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y＝bx＋a.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
A．b＞b′，a＞a′ B．b＞b′，a＜a′
C．b＜b′，a＞a′ D．b＜b′，a＜a′
解析：选C 法一：由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y＝2x－2，故b′＝2，a′＝－2.
而利用线性回归方程回归系数b，a的计算公式与已知表格中的数据，可求得
b＝＝＝，
a＝－b＝－×＝－，
所以b＜b′，a＞a′.
法二：根据所给数据画出散点图(如图所示)直接判断，斜率b′＞b，截距a＞a′.
5．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
解析：由线性回归方程中b的意义可知年饮食支出平均增加0.254万元．
答案：0.254
6．某地区近10年居民的年收入x与支出y之间的关系大致符合y＝0.8x＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则年支出估计是________亿元．
解析：由题意知，y＝0.8×15＋0.1＝12.1(亿元)，即年支出估计是12.1亿元．
答案：12.1
7．已知x，y之间的一组数据如下表：
x
2
3
4
5
6
y
3
4
6
8
9
对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y＝x＋1；②y＝2x－1；③y＝x－；④y＝x.则根据最小二乘法的思想求得拟合程度最好的直线是________(填序号)．
解析：由题意知＝4，＝6，∴b＝＝，
∴a＝－b＝－，∴y＝x－，故填③.
答案：③
8．随着网络的普及，网上购物的方式已经受到越来越多年轻人的青睐，某家网络店铺商品的成交量x(件)与店铺的浏览量y(次)之间的对应数据如下表所示：
x/件
2
4
5
6
8
y/次
30
40
50
60
70
(1)画出表中数据的散点图；
(2)根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程；
(3)要使这种商品的成交量突破100件(含100件)，则这家店铺的浏览量至少为多少？
解：(1)散点图如图所示．
(2)根据散点图，变量x与y之间具有线性相关关系．
数据列成下表：
i
xi
yi
x
xiyi
1
2
30
4
60
2
4
40
16
160
3
5
50
25
250
4
6
60
36
360
5
8
70
64
560
合计
25
250
145
1 390
由上表计算出＝＝5，＝＝50，代入公式得b＝＝＝7，a＝－b＝50－7×5＝15，故所求的线性回归方程是y＝15＋7x.
(3)根据上面求出的线性回归方程，当成交量突破100件(含100件)，即x＝≥100时，y≥715，所以店铺的浏览量至少为715次．
9．李军为了研究某种细菌个数y(个)随温度x(℃)变化的关系，收集有关数据，如下表所示：
x/℃
14
16
18
20
22
y/个
12
10
7
5
3
(1)画出表中数据的散点图；
(2)求细菌个数y关于温度x的线性回归方程；
(3)当细菌的个数为9时，预测温度是多少(精确到0.1)．
解：(1)散点图如图所示．
(2)由图可知，y与x之间具有线性相关关系．
＝＝18，
＝＝7.4，
＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660，
iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
则b＝＝＝－＝－1.15，
a＝－b＝7.4＋1.15×18＝28.1，
所以线性回归方程为y＝28.1－1.15x.
(3)由上述线性回归方程可知，当细菌的个数为9时，则由9＝28.1－1.15x，得x≈16.6，即预测温度是16.6 ℃.
课时跟踪检测（八） 最小二乘估计
1．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到线性回归方程y＝bx＋a，那么下面说法不正确的是( )
A．直线y＝bx＋a必经过点(，)
B．直线y＝bx＋a至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点
C．直线y＝bx＋a的斜率为
D．直线y＝bx＋a与各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的接近程度yi－(bxi＋a)]2是该坐标平面上所有直线与这些点的最接近的直线
解析：选B 直线y＝bx＋a一定过点(，)，但不一定要过样本点．
2．设一个线性回归方程为y＝2＋1.2x，则变量x增加1个单位时( )
A．y平均增加1.2个单位
B．y平均减少1.2个单位
C．y平均增加2个单位
D．y平均减少2个单位
解析：选A 根据系数b的意义可得b＝1.2＞0，因此变量x增加1个单位时，y平均增加1.2个单位．
3．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y与x具有相关关系，线性回归方程为y＝0.66x＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )
A．83% B．72%
C．67% D．66%
解析：选A 将y＝7.675代入回归方程，可计算得x≈9.26，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.675÷9.26≈0.83，即约为83%.
4．已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y＝bx＋a.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
A．b＞b′，a＞a′ B．b＞b′，a＜a′
C．b＜b′，a＞a′ D．b＜b′，a＜a′
解析：选C 法一：由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y＝2x－2，故b′＝2，a′＝－2.
而利用线性回归方程回归系数b，a的计算公式与已知表格中的数据，可求得
b＝＝＝，
a＝－b＝－×＝－，
所以b＜b′，a＞a′.
法二：根据所给数据画出散点图(如图所示)直接判断，斜率b′＞b，截距a＞a′.
5．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
解析：由线性回归方程中b的意义可知年饮食支出平均增加0.254万元．
答案：0.254
6．某地区近10年居民的年收入x与支出y之间的关系大致符合y＝0.8x＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则年支出估计是________亿元．
解析：由题意知，y＝0.8×15＋0.1＝12.1(亿元)，即年支出估计是12.1亿元．
答案：12.1
7．已知x，y之间的一组数据如下表：
x
2
3
4
5
6
y
3
4
6
8
9
对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y＝x＋1；②y＝2x－1；③y＝x－；④y＝x.则根据最小二乘法的思想求得拟合程度最好的直线是________(填序号)．
解析：由题意知＝4，＝6，∴b＝＝，
∴a＝－b＝－，∴y＝x－，故填③.
答案：③
8．随着网络的普及，网上购物的方式已经受到越来越多年轻人的青睐，某家网络店铺商品的成交量x(件)与店铺的浏览量y(次)之间的对应数据如下表所示：
x/件
2
4
5
6
8
y/次
30
40
50
60
70
(1)画出表中数据的散点图；
(2)根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程；
(3)要使这种商品的成交量突破100件(含100件)，则这家店铺的浏览量至少为多少？
解：(1)散点图如图所示．
(2)根据散点图，变量x与y之间具有线性相关关系．
数据列成下表：
i
xi
yi
x
xiyi
1
2
30
4
60
2
4
40
16
160
3
5
50
25
250
4
6
60
36
360
5
8
70
64
560
合计
25
250
145
1 390
由上表计算出＝＝5，＝＝50，代入公式得b＝＝＝7，a＝－b＝50－7×5＝15，故所求的线性回归方程是y＝15＋7x.
(3)根据上面求出的线性回归方程，当成交量突破100件(含100件)，即x＝≥100时，y≥715，所以店铺的浏览量至少为715次．
9．李军为了研究某种细菌个数y(个)随温度x(℃)变化的关系，收集有关数据，如下表所示：
x/℃
14
16
18
20
22
y/个
12
10
7
5
3
(1)画出表中数据的散点图；
(2)求细菌个数y关于温度x的线性回归方程；
(3)当细菌的个数为9时，预测温度是多少(精确到0.1)．
解：(1)散点图如图所示．
(2)由图可知，y与x之间具有线性相关关系．
＝＝18，
＝＝7.4，
＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660，
iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
则b＝＝＝－＝－1.15，
a＝－b＝7.4＋1.15×18＝28.1，
所以线性回归方程为y＝28.1－1.15x.
(3)由上述线性回归方程可知，当细菌的个数为9时，则由9＝28.1－1.15x，得x≈16.6，即预测温度是16.6 ℃.
