2019年数学北师大版必修3新一线同步（讲义+课时跟踪检测）：复习课(三)　概　率

复习课(三)　概　率　
古典概型
此类问题主要考查古典概型的求法，题型既有选择题、填空题，也有解答题，且常与统计等问题综合考查．

1．互斥事件与对立事件的概率
(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．
(2)当事件A与B互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，当事件A与B对立时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，即P(A)＝1－P(B)．
(3)求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P()求解．
2．古典概型的求法
对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式P(A)＝求出事件发生的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某种顺序，以保证不重复、不遗漏．
[典例]　柜子里有3双不同的鞋，随机地取出 2只，试求下列事件的概率：
(1)取出的鞋不成双；
(2)取出的鞋都是左脚的；
(3)取出的鞋都是同一只脚的；
(4)取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双．
[解]　用A1，A2；B1，B2；C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚，
则从6只鞋中取2只所有的取法有：
A1A2，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，
A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，
B1B2，B1C1，B1C2，
B2C1，B2C2，
C1C2，共15种．
(1)取出的鞋不成双的所有取法有：
A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，
A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，
B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，共12种．
其概率为P1＝＝.
(2)取出的鞋都是左脚的所有取法有：
A1B1，B1C1，A1C1，共3种．
其概率为P2＝＝.
(3)取出的鞋都是同一只脚的所有取法有：
A1B1，B1C1，A1C1，A2B2，A2C2，B2C2，共6种．
其概率为P3＝＝.
(4)取出的鞋一只左脚的，一只右脚的但不成双的所有取法有：
A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1，共6种．
其概率为P4＝＝.
[类题通法]
在古典概型中，计算概率的关键是准确找到基本事件的数目，这就需要我们能够熟练运用图表和树状图，把基本事件一一列出．而有许多试验，它们的可能结果非常多，以至于我们不可能将所有结果全部列出，这时我们不妨找找其规律，算出基本事件的数目．

1．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C　从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为.故选C.
2．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
8
5
未参加演讲社团
2
30
(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
解：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，
故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，
所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝＝.
(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个．
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．
事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：
{A1，B2}，{A1，B3}，共2个．
因此A1被选中且B1未被选中的概率为P＝.
几何概型
此类问题多以选择题、填空题的形式考查几何概型、概率的求法，属于低档题．

1．几何概型的基本特征：基本事件的无限性、每个事件发生的等可能性．
2．几何概型的概率计算公式：
P(A)＝.
[典例]　(1)在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条弦，则其长超过圆内接等边三角形的边长的概率是多少？
(2)在半径为1的圆内，过一条直径上任意一点作垂直于直径的弦，求弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率．
(3)以半径为1的圆内任一点为中点作弦，求弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率．
[解]　(1)记事件A＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，取圆内接等边△BCD的顶点B为弦的一个端点，当另一点在劣弧CD上时，|BE|＞|BC|，而劣弧CD的弧长是圆周长的，所以由几何概率公式得P(A)＝.
(2)记事件A＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如图所示，不妨在过等边△BCD的顶点B的直径BE上任取一点作垂直于直径的弦，显然当弦为CD时就是边长，弦长大于|CD|长的条件是圆心O到弦的距离小于|OF|，由几何概率公式得P(A)＝＝.即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是.
(3)记事件A＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如图所示，作等边三角形的内切圆，当以小圆上任一点为切点作弦时，弦长等于等边三角形的边长，所以弦长超过内接三角形边长时，当且仅当弦的中点在小圆内，小圆半径为，所以由几何概率公式得P(A)＝＝.即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是.
[类题通法]
三个题目都是在圆内任意作弦使得弦长超过圆内接等边三角形的边长，但三个题目中由于“等可能”的含义不同，得到的概率不同．因而在解决几何概率问题时，必须找准观察角度，明确随机选取的含义，判断好基本事件的等可能性．

1．在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　不等式－1≤log≤1可化为log2≤log≤log，即≤x＋≤2，解得0≤x≤，故由几何概型的概率公式得P＝＝.
2.如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝的图象上. 若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　因为f(x)＝B点坐标为(1,0)，所以C点坐标为(1,2)，D点坐标为(－2,2)，A点坐标为(－2,0)，故矩形ABCD的面积为2×3＝6，阴影部分的面积为×3×1＝，故P＝＝.
3．在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥”的概率 ，p2为事件“|x－y|≤”的概率，p3为事件“xy≤”的概率，则(　　)
A．p1＜p2＜p3 B．p2＜p3＜p1
C．p3＜p1＜p2 D．p3＜p2＜p1
解析：选B　满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA及其边界上．事件“x＋y≥”对应的图形为图①所示的阴影部分；事件“|x－y|≤”对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy≤”对应的图形为图③所示的阴影部分．对三者的面积进行比较，可得p2＜p3＜p1.