回扣验收特训（三） 概 率
1．一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个，若有放回地摸出一个球并记下颜色为一次试验，试验共进行三次，则至少摸到一次红球的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 所有的基本事件为：(红，红，红)，(红，红，蓝)，(红，蓝，红)，(蓝，红，红)，(红，蓝，蓝)，(蓝，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，蓝)，共8个．三次都是蓝球的基本事件只有1个，其概率是，根据对立事件的概率之间的关系，所求的概率为1－＝.选B.
2．已知直线y＝x＋b，b∈[－2,3]，则直线在y轴上的截距大于1的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 直线在y轴上的截距大于1，则b∈(1,3]，故所求概率P＝＝.
3．从含有a，b，c的集合中任取一个子集，所取的子集是含有两个元素的集合的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 所有子集共8个；其中含有2个元素的为{a，b}，{a，c}，{b，c}．
4．有4根木棍长度分别为2,5,7,10，从这4根木棍中任取3根，则所取的3根木棍首尾相接能构成一个三角形的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 从4根木棍中任取3根，基本事件有(2,5,7)，(2,5,10)，(2,7,10)，(5,7,10)，共4个，能构成三角形的只有(5,7,10)这一个基本事件，故所求概率P＝.
5．已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离都大于1的概率为( )
A. B．1－
C. D．1－
解析：选D 分别以A，B，C，D为圆心，1为半径作圆，圆与菱形ABCD重合部分的面积为2×π×12×＋2×π×12×＝π，而菱形ABCD的面积为8，所以所求概率为＝1－.
6.一只受伤的丹顶鹤向如图所示(直角梯形)的区域上空飞来，其中AD＝ km，DC＝2 km，BC＝1 km，丹顶鹤随机地落在该区域上任意一处，若落在扇形沼泽区域ADE以外，丹顶鹤能生还，则该丹顶鹤生还的概率是( )
A.－ B．1－
C．1－ D．1－
解析：选B 过点D作DF⊥AB于点F，在Rt△AFD中，易知AF＝1，∠A＝45°.
梯形ABCD的面积S1＝×(2＋2＋1)×1＝，扇形ADE的面积S2＝()2×π×＝，故丹顶鹤生还的概率P＝＝＝1－.
7．从两名男生和两名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为________．
解析：设两名女生为a1，a2，两名男生为b1，b2，则所有可能的结果如下：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a1)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b2，b1)，(b2，a1)，(b2，a2)，共12种，其中星期六安排一名男生、星期日安排一名女生包括4种情况，所以所求概率为P＝＝.
答案：
8．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与抛物线y＝x2＋1有交点的概率是________．
解析：易知过点(0,0)与抛物线y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使OA斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，由古典概型的概率计算公式知概率为P＝＝.
答案：
9．任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a，b，则点P(a，b)落在区域|x|＋|y|≤3中的概率为________．
解析：基本事件为6×6＝36，P(a，b)落在区域|x|＋|y|≤3中的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，所以P＝＝.
答案：
10．某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑，希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各随机选购一种型号的电脑．
(1)写出所有选购方案；
(2)如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号电脑被选中的概率是多少？(直接写出结果即可)
解：(1)画出树状图如图：
则选购方案为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)．
(2)A型号电脑被选中的情形为(A，D)，(A，E)，即基本事件为2种，所以A型号电脑被选中的概率为P＝＝.
11．已知甲袋中有1只白球、2只红球，乙袋中有2只白球、2只红球，现从两袋中各取一球．
(1)求两球颜色相同的概率；
(2)求至少有一只白球的概率．
解：将甲袋中1只白球记为a1,2只红球记为b1，b2；乙袋中2只白球记为a2，a3,2只红球记为b3，b4，所以“从两袋中各取一球”所包含的基本事件为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b3)，(a1，b4)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，b3)，(b2，b4)，共有12种．
(1)设A表示“从两袋中各取一球，两球颜色相同”，所以事件A包含基本事件(a1，a2)，(a1，a3)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，共6种．
所以P(A)＝＝.
(2)设B表示“从两袋中各取一球，至少有一只白球”，所以事件B包含基本事件(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b3)，(a1，b4)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b2，a2)，(b2，a3)，共8种，所以P(B)＝＝.
12．有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
6
(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选 1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽到的人数如下表：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
3
6
9
9
3
(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为：
由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝＝.
阶段质量检测(三) 概 率
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件：①如果a，b是实数，那么b＋a＝a＋b；②某地1月1日刮西北风；③当x是实数时，x2≥0；④一个电影院某天的上座率超过50%，其中是随机事件的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B ①③是必然事件，②④是随机事件．
2．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面朝上的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 抛掷一枚硬币，有正面朝上和反面朝上两种可能，概率均为，与第几次抛掷无关，故选D.
3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则从产品中任意抽查一件抽得正品的概率为( )
A．0.09 B．0.98
C．0.97 D．0.96
解析：选D 任意抽查一件抽得正品的概率为：
1－0.03－0.01＝0.96.
4．一个射手进行射击，记事件E1：“脱靶”，E2：“中靶”，E3：“中靶环数大于4”，E4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
解析：选B E1与E3，E1与E4均为互斥而不对立的事件．
5．方程x2＋x＋n＝0(n∈(0,1))有实根的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由题意知1－4n≥0，得n≤，
∴P＝＝.
6．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，以它们为顶点的四边形共有15个，其中能构成矩形的有3个，所以所求概率为＝.故选D.
7．从集合A＝{－1,1,2}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx＋b不经过第三象限的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 直线y＝kx＋b不经过第三象限，即k＜0，b＞0，总的基本事件个数是3×3＝9；k＜0，b＞0包含的基本事件有(－1,1)，(－1,2)，共2个，所以直线不经过第三象限的概率是P＝.
8．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由已知得，点P的分界点恰好是边CD的四等分点，由勾股定理可得AB2＝2＋AD2，解得2＝，即＝，故选D.
9．下课以后，教室里最后还剩下2位男同学，2位女同学，如果一个一个的走出去，则第2位走的是男同学的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 法一：已知有2位女同学和2位男同学，所有走的可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男), 所以第2位走出的是男同学的概率P＝＝.
法二：由于每一位同学走出的概率是相同的，因此第2位走出的是男同学的概率P＝＝.
10．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任选2张，这2张卡片上的字母顺序恰好相邻的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 从5张卡片中任选2张的基本事件总数为10，事件“2张卡片上的字母顺序恰好相邻”的基本事件为AB，BC，CD，DE，共有4个，∴P＝＝.
11.如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的图形，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则相邻两个图形颜色不相同的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 用两种颜色为图形涂色的结果，分组表示为以下情形：(红，蓝，蓝)，(红，蓝，红)，(红，红，蓝)，(红，红，红)，(蓝，蓝，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，红，蓝)，(蓝，红，红)，共8个基本事件．相邻两个图形颜色不相同的情形为：(红，蓝，红)，(蓝，红，蓝)，共2个基本事件．所以所求的概率为P＝＝.
12．阅读如图所示的算法框图，如果函数的定义域为(－3,4)，则输出函数的值在内的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由算法框图得，
f(x)＝若－1≤x≤1，令<2x＋1<，即<2x<，∴－21，令<2－x＋1<，即<2－x<，∴1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．在正方形ABCD内任取一点P，则使∠APB<90°的概率是________．
解析：如图所示，以AB为直径作半圆，当点P落在上时，∠APB＝90°，所以使∠APB<90°的点落在图中的阴影部分．设正方形的边长为1，“在正方形ABCD内任取一点P，使∠APB<90°”为事件A，则SΩ＝1，SA＝1－π×2＝1－，
∴P(A)＝1－.
答案：1－
14．在10支铅笔中，有8支正品和2支次品，从中不放回地任取2支，至少取得1支次品的概率是________．
解析：“至少取到1支次品”的对立事件为“取到的2支铅笔均为正品”，所以所求事件的概率为1－＝.
答案：
15．在一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的3个小球，其中一个红色球，两个黄色球，如果第一次先从袋中摸出1个球后再放回，第二次再从袋中摸出1个球，那么两次都摸到黄色球的概率是________．
解析：从袋中取出两个球，画出树状图如图所示．
由树状图知，基本事件的总数为9，两次都摸到黄色球所包含的基本事件的个数为4，所以两次都摸到黄色球的概率是.
答案：
16．设集合A＝，B＝，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为________．
解析：点P的所有可能值为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，点P(a，b)落在直线x＋y＝n上(2≤n≤5，n∈N)，且事件Cn的概率最大，当n＝3时，P点可能是(1,2)，(2,1)．当n＝4时，P点可能为(1,3)，(2,2)，即事件C3，C4的概率最大，故n＝3或4.
答案：3或4
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示：
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；
(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．
解：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为＝，用频率估计概率，可得甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.
(2)根据频数分布图可得寿命大于200小时的两种品牌产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品有75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是＝.据此估计已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.
18．(本小题满分12分)某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．
(1)求中三等奖的概率；
(2)求中奖的概率．
解：设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B，
从四个小球中有放回地取两个有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共16种不同的结果．
(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有：(1,3)，(2,2)，(3,1)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)，共7种结果，则中三等奖的概率为P(A)＝.
(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种；
两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2,3)，(3,2)．
两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：(3,3)．
中奖的概率为P(B)＝＝.
19．(本小题满分12分)随机地排列数字1,5,6得到一个三位数，计算下列事件的概率．
(1)所得的三位数大于400；
(2)所得的三位数是偶数．
解：使用1,5,6三个数字可以排成156,165,516,561,615,651，共6个不同的三位数．
(1)大于400的三位数的个数为4个，所以相应的概率P＝＝.
(2)三位数为偶数的有156,516，共2个，所以相应的概率P＝＝.
20．(本小题满分12分)设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的条件为a≥b.
基本事件共12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P(A)＝＝.
21．(本小题满分12分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A，B，C区中分别有18,27,18个工厂．
(1)求从A，B，C区中分别抽取的工厂个数；
(2)若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．
解：(1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数比为＝，所以从A，B，C三个区中分别抽取的工厂个数为2,3,2.
(2)设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，C1，C2为在C区中抽得的2个工厂，在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能的结果有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，
(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共有21种．
随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区的结果(记为事件X)有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，共有11种．
所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)＝.
22．(本小题满分12分)某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组；第二组，…，第五组.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图：
(1)若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；
(2)设m，n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m，n∈∪.求事件“|m－n|>1”的概率．
解：(1)由题中的频率分布直方图知，成绩在内的人数为50×(0.16×1)＋50×(0.38×1)＝27，所以该班成绩良好的人数为27.
(2)设事件M：“|m－n|>1”．
由频率分布直方图知，成绩在的人数为50×0.06×1＝3，
设这3人分别为x，y，z；
成绩在的人数为50×0.08×1＝4，设这4人分别为A，B，C，D.
若m，n∈时，则有xy，xz，yz，共3种情况；
若m，n∈时，则有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种情况；
若m，n分别在和内时，此时有|m－n|>1.列出下表，可得共有12种情况.
A
B
C
D
x
xA
xB
xC
xD
y
yA
yB
yC
yD
z
zA
zB
zC
zD
所以基本事件总数为3＋6＋12＝21种，事件“|m－n|>1”所包含的基本事件个数有12种．
故所求概率P(M)＝＝.
