回扣验收特训（一） 统 计
1．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
X
1
2
3
4
5
f
a
0.2
0.45
b
c
若所抽取的20件日用品，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，则a，b，c的值分别为( )
A．无法确定 B．0.2,0.75,0.05
C．0.1,0.15,0.1 D．0.2,0.15,0.1
解析：选C 由频率分布表得a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，即a＋b＋c＝0.35.因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，所以b＝＝0.15，c＝＝0.1，从而a＝0.35－b－c＝0.1.所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.
2．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数相同，则图中的m＋n＝( )
A.3 B．5
C．8 D．11
解析：选D 根据茎叶图，得乙的中位数是33，∴甲的中位数也是33，即m＝3；甲的平均数甲＝×(27＋39＋33)＝33，乙的平均数是乙＝×(20＋n＋32＋34＋38)＝33，∴n＝8，∴m＋n＝11.故选D.
3．对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归直线方程为y＝0.8x－155.
x
196
197
200
203
204
y
1
3
6
7
m
则实数m的值为( )
A．8 B．8.2
C．8.4 D．8.5
解析：选A 因为回归直线过样本点的中心(，)，
又 ＝×(196＋197＋200＋203＋204)＝200，
＝×(1＋3＋6＋7＋m)＝，所以把(，)代入y＝0.8x－155可得，＝0.8×200－155，解得m＝8.
4．某中学高中部有300名学生．为了研究学生的周平均学习时间，从中抽取了60名学生，先统计了他们某学期的周平均学习时间(单位：小时)，再将学生的周平均学习时间分成5组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]，并加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．则高中部学生的周平均学习时间为(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)( )
A．63.5小时 B．62.5小时
C．63小时 D．60小时
解析：选A 在高中部抽取的60名学生中，周平均学习时间分别落在[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]的人数依次为6,15,24,12,3.
所以高中部学生的周平均学习时间为
(6×45＋15×55＋24×65＋12×75＋3×85)÷60＝63.5(小时)．故选A.
5．某学校随机抽查了本校20名同学平均每天在课外从事体育锻炼的时间(单位：分钟)，根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是[0,5)，[5,10)，…，[35,40]，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是( )
解析：选B 根据频率分布直方图，样本数据位于区间[15,20)内的有20×0.02×5＝2个，位于区间[20,25)内的有20×0.04×5＝4个，据此检验只可能是选项B.
6．气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)．
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27，总体平均数为24；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体平均数为26，总体方差为10.8.
则肯定进入夏季的地区有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选C 甲地肯定进入，因为众数为22，所以22至少出现两次，若有一天低于22 ℃，则中位数不可能为24；丙地肯定进入，令x为其中某天的日平均温度，则10.8×5－(32－26)2＝18≥(x－26)2，若x≤21，上式显然不成立；乙地不一定进入，如13,23,27,28,29.故选C.
7．为了解某市甲、乙、丙三所学校高三数学模拟考试成绩，采取分层抽样方法，从甲校的1 260份试卷、乙校的720份试卷、丙校的900份试卷中进行抽样调研．若从丙校的900份试卷中抽取了45份试卷，则这次调研共抽查的试卷份数为________．
解析：抽取比例为，故抽取的试卷份数为(1 260＋720＋900)×＝144.
答案：144
8．一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是________，________.
解析：由题意得原来数据的平均数是80＋1.2＝81.2，方差不变，仍是4.4.
答案：81.2 4.4
9．利用随机数表法对一个容量为500，编号为000,001,002，…，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，选取方法是从随机数表第12行第5列、第6列、第7列数字开始由左到右依次选取三个数字(下面摘取了随机数表中的第11行至第12行)，根据下表，读出的第3个数是________．
18 18 07 92 45 44 17 16 58 09 79 83 86 19 62 06 76 50 03 10 55 23 64 05 05
26 62 38 97 75 84 16 07 44 99 83 11 46 32 24 20 14 85 88 45 10 93 72 88 71
解析：最先读到的数据的编号是389，向右读下一个数是775,775大于499，故舍去，再下一个数是841，舍去，再下一个数是607，舍去，再下一个数是449，再下一个数是983，舍去，再下一个数是114.故读出的第3个数是114.
答案：114
10．为了了解小学生的体能情况，抽取某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数的测试，将数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)．已知图中从左到右前三个小组的频率分别为0.1,0.3,0.4，且第一小组的频数为5.
(1)求第四小组的频率；
(2)求参加这次测试的学生的人数；
(3)若一分钟跳绳次数在75次以上(含75次)为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率．
解：(1)第四小组的频率为1－0.1－0.3－0.4＝0.2.
(2)设参加这次测试的学生有x人，则0.1x＝5，∴x＝50，故参加这次测试的学生有50人．
(3)由题意，样本的达标率约为0.3＋0.4＋0.2＝0.9，∴该年级学生跳绳测试的达标率约为90%.
11．甲、乙两位同学进行投篮比赛，每人玩5局，每局在指定线外投篮，若第一次不进，再投第二次，依此类推，但最多只能投6次．当投进时，该局结束，并记下投篮的次数．当6次投不进，该局也结束，记为“×”．第一次投进得6分，第二次投进得5分，第三次投进得4分，依此类推，第6次投不进，得0分．两人的投篮情况如下：
第1局
第2局
第3局
第4局
第5局
甲
5次
×
4次
5次
1次
乙
×
2次
4次
2次
×
请通过计算，判断哪位同学投篮的水平高．
解：依题意，甲、乙的得分情况如下表：
第1局
第2局
第3局
第4局
第5局
甲
2
0
3
2
6
乙
0
5
3
5
0
甲＝×(2＋0＋3＋2＋6)＝2.6，
s甲＝
≈1.96，
乙＝×(0＋5＋3＋5＋0)＝2.6，
s乙＝
≈2.24，
因为甲得分的平均数为2.6，乙得分的平均数为2.6，
甲得分的标准差约为1.96，乙得分的标准差约为2.24，
所以甲得分的平均数与乙得分的平均数相等．
甲得分的标准差小于乙得分的标准差．
故甲投篮的水平高．
12．某零售店近5个月的销售额和利润额资料如下表：
商店名称
A
B
C
D
E
销售额x/千万元
3
5
6
7
9
利润额y/百万元
2
3
3
4
5
(1)画出散点图，观察散点图，说明两个变量有怎样的相关关系．
(2)用最小二乘法计算利润额y关于销售额x的回归直线方程．
(3)当销售额为4千万元时，利用(2)的结论估计该零售店的利润额(百万元)．
解：(1)散点图如图所示，两个变量有线性相关关系．
(2)设回归直线方程是y＝bx＋a，
由题中的数据可知＝6，＝3.4.
所以b＝＝
＝＝0.5.
a＝－b＝3.4－0.5×6＝0.4.
所以利润额y关于销售额x的回归直线方程为y＝0.5x＋0.4.
(3)由(2)知，当x＝4时，y＝0.5×4＋0.4＝2.4，所以当销售额为4千万元时，可以估计该商场的利润额为2.4百万元．
阶段质量检测(一) 统 计
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某班的60名同学已编号1,2,3，…，60，为了解该班同学的作业情况，老师收取了号码能被5整除的12名同学的作业本，这里运用的抽样方法是( )
A．简单随机抽样 B．系统抽样
C．分层抽样 D．抽签法
答案：B
2．某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是( )
A．2 B．3
C．5 D．13
解析：选C 所抽取的中型商店数是20×＝5.
3．某学校为调查学生的学习情况，对学生的课堂笔记进行了抽样调查，已知某班级一共有56名学生，随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知07号、21号、49号在样本中，那么样本中还有一个学生的号码应是( )
A．14 B．28
C．35 D．42
解析：选C 由系统抽样的原理知抽样的间隔为＝14，故第一组的号码应为01～14，所以选取的号码中07应为第一组内选取的样本号码，所以第二组抽取的样本号码应为07＋14＝21；
第三组抽取的样本号码应为07＋2×14＝35；
第四组抽取的样本号码应为07＋3×14＝49.
故另一个学生的号码为35.
4．一组样本数据，容量为150，按从小到大的顺序分成5个组，其频数如下表：
组号
1
2
3
4
5
频数
28
32
28
32
x
那么，第5组的频率为( )
A．120 B．30
C．0.8 D．0.2
解析：选D 易知x＝30，故第5组的频率为＝0.2.
5．图中的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).
已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为( )
A．2,5 B．5,5
C．5,8 D．8,8
解析：选C 由甲组数据的中位数是15，可得x＝5，由乙组数据的平均数为16.8，得y＝8.
6．下表是某厂1～4月份用水量情况(单位：百吨)的一组数据
月份x
1
2
3
4
用水量y
4.5
4
3
2.5
用水量y与月份x之间具有线性相关关系，其线性回归方程为y＝－0.7x＋a，则a的值为( )
A．5.25 B．5
C．2.5 D．3.5
解析：选A 线性回归方程经过样本的中心点，根据数据可得样本中心点为(2.5,3.5)，所以a＝5.25.
7．为了调查某社区的居民周末娱乐活动，对该社区2 500位居民进行分层抽样调查，若抽取的样本容量为50，相应的条形统计图如图所示．则可估计该社区中上网的居民人数为( )
A．450 B．500
C．900 D．1 200
解析：选C 由图形得，上网的居民的抽样比为＝.设该社区中上网的居民人数为x，则＝，解得x＝900，故选C.
8．设有两组数据x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn，它们的平均数分别是和，则新的一组数据2x1－3y1＋1,2x2－3y2＋1，…，2xn－3yn＋1的平均数是( )
A．2－3 B．2－3＋1
C．4－9 D．4－9＋1
解析：选B 设zi＝2xi－3yi＋1(i＝1,2，…，n)，
则＝(z1＋z2＋…＋zn)＝(x1＋x2＋…＋xn)－(y1＋y2＋…＋yn)＋＝2－3＋1.
9．某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：g)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100 g的个数是36，则样本中净重大于或等于98 g并且小于104 g的产品的个数是( )
A．90个 B．75个
C．60个 D．45个
解析：选A 净重小于100 g的频率是(0.050＋0.100)×2＝0.3，故这批产品的个数x满足＝0.3，即x＝120，净重大于或等于98 g且小于104 g的频率是(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，故所求产品的个数是120×0.75＝90(个)．
10．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分叉数后，计算出样本方差分别为s＝11，s＝3.4，由此可以估计( )
A．甲种水稻比乙种水稻分叉整齐
B．甲、乙两种水稻分叉整齐程度相同
C．乙种水稻比甲种水稻分叉整齐
D．甲、乙两种水稻分叉整齐程度不能比较
解析：选C 由于方差反映了样本数据的稳定性，且s>s，所以乙种水稻比甲种水稻分叉整齐．
11．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )
A．这种抽样方法是一种分层抽样
B．这种抽样方法是一种系统抽样
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
解析：选C 若抽样方法是分层抽样，男生、女生应分别抽取6人、4人，所以A错；由题目看不出是系统抽样，所以B错；这五名男生成绩的平均数1＝＝90，这五名女生成绩的平均数2＝＝91，故这五名男生成绩的方差为[(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)2]＝8，这五名女生成绩的方差为[(88－91)2×2＋(93－91)2×3]＝6，所以这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差，但该班男生成绩的平均数不一定小于女生成绩的平均数，所以D错．
12．某校有高中生1 470人，现采用系统抽样法抽取49人作问卷调查，将高一、高二、高三学生(高一、高二、高三分别有学生495人、493人、482人)按1,2,3…，1 470编号，若第一组用简单随机抽样的方法抽取的号码为23，则所抽样本中高二学生的人数为( )
A．15 B．16
C．17 D．18
解析：选C 由系统抽样法知，按编号依次每30个编号作为一组，共分为49组，高二学生的编号为496到988，在第17组到第33组内，第17组抽取的编号为16×30＋23＝503，为高二学生，第33组抽取的编号为32×30＋23＝983，为高二学生，故所抽样本中高二学生的人数为33－17＋1＝17，故选C.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．某制药厂月生产A，B，C三种药品共4 000件，为了保证产品质量，省质监局抽样检验，根据分层抽样的结果，省质监局的统计员制作了如下的统计表格：
产品类型
A
B
C
产品数量(件)
1 600
样本容量(件)
160
由于不小心，表格中A，C产品有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多20，根据以上信息，可得C产品的样本容量是________．
解析：因为＝，所以样本的总容量是400，设C产品样本容量是x，根据A产品的样本容量比C产品的样本容量多20，则A产品的样本容量是x＋20，由x＋x＋20＝240，得x＝110.
答案：110
14．如图是根据某中学为地震灾区自愿捐款的情况而制作的统计图，已知该校在校学生3 000人，请根据统计图计算该校共捐款________元．
解析：由扇形统计图可知，该中学高一、高二、高三分别有960人、990人、1 050人，由条形统计图知，该中学高一、高二、高三人均捐款分别为15元、13元、10元，所以共捐款15×960＋13×990＋10×1 050＝14 400＋12 870＋10 500＝37 770(元)．
答案：37 770
15．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．
(1)直方图中x的值为________；
(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．
解析：(1)根据频率和为1，得(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得x＝0.004 4.
(2)(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50×100＝70.
答案：(1)0.004 4 (2)70
16．某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样的方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h,1 020 h,1 032 h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________h.
解析：根据分层抽样知识可知，从3个分厂抽出的100件电子产品中，每个分厂抽取的个数之比也应为1∶2∶1，故从第一、二、三分厂抽取的电子产品的数量分别为25,50,25，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为×(980×25＋1 020×50＋1 032×25)＝1 013 (h)．
答案：1 013
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)小明家2015年的四个季度的用电量如下表：
季度
用电量(单位：千瓦时)
第一季度
250
第二季度
150
第三季度
400
第四季度
200
其中各种电器用电量如下表：
电器类型
用电量(单位：千瓦时)
空调
250
冰箱
400
照明
100
彩电
150
其他
100
根据如图所示三幅统计图回答：
(1)从哪幅统计图可看出各个季度用电量变化情况？
(2)从哪幅统计图可看出冰箱用电量超过总用电量的？
(3)从哪幅统计图可以清楚地看出空调用电量？
解：三幅统计图分别为折线统计图、扇形统计图和条形统计图，各自的优点如下：
条形
统计图
当数据量很大时，能够直观地反映数据分布的大致情况，并且能清晰地反映各个部分的具体数目
折线
统计图
可以表示数量的多少，直观地反映数量的增减情况，即变化趋势
扇形
统计图
能直观显示总体中各部分的分布情况
综上可得：(1)折线统计图；(2)扇形统计图；(3)条形统计图．
18．(本小题满分12分)从全校参加期末考试的试卷中抽取一个样本，考察成绩(均为整数)的分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，如下图中从左到右各小组的小矩形的高之比为2∶3∶6∶4∶1，最左边的一组频数是6.
(1)求样本容量；
(2)求105.5～120.5这一组的频数及频率；
(3)如果成绩大于120分为优秀，估计这次考试成绩的优秀率．
解：在直方图中频数之比等于频率之比且样本的所有频率之和等于1.
(1)小矩形的高之比为频率之比，
∴从左到右的频率之比为2∶3∶6∶4∶1.
∴最左的一组所占的频率为＝.
∴样本容量＝＝＝48.
(2)105.5～120.5这一组的频率为＝，
∴频数为48×＝18.
(3)成绩大于120分所占的比为＝，
∴考试成绩的优秀率为＝31.25%.
19.(本小题满分12分)某地区农科所为了选择更适应本地区种植的棉花品种，在该地区选择了5块土地，每块土地平均分成面积相等的两部分，分别种植甲、乙两个品种的棉花，收获时测得棉花的亩产量如图所示(单位：kg)．
(1)若甲品种的棉花的平均亩产量为103.6 kg，乙品种的棉花的亩产量的中位数是105 kg，求x，y；
(2)若x＝5，y＝3，则甲、乙两品种棉花哪种亩产量更稳定，并说明理由．
解：(1)由甲品种的棉花的平均亩产量为103.6 kg可知，×(95＋102＋100＋x＋107＋111)＝103.6，解得x＝3.由乙品种棉花的亩产量的中位数是105可知，y＝5.
(2)当x＝5，y＝3时，由茎叶图可知甲品种棉花的平均亩产量为甲＝×(95＋102＋105＋107＋111)＝104，方差为s＝×[(95－104)2＋(102－104)2＋(105－104)2＋(107－104)2＋(111－104)2]＝28.8.
乙品种棉花的平均亩产量为乙＝×(98＋103＋103＋106＋110)＝104，方差为s＝[(98－104)2＋(103－104)2＋(103－104)2＋(106－104)2＋(110－104)2]＝15.6.
因为甲＝乙，s＞s，所以乙品种棉花的平均亩产量更稳定．
20．(本小题满分12分)2016年春节前，公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人有一个停车休息的场所．交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行一次省籍询问，询问结果如图所示：
(1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？
(2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5人，则四川籍的应抽取几人？
解：(1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样法．
(2)从题图中可知，被询问了省籍的驾驶人员中广西籍的有5＋20＋25＋20＋30＝100(人)；
四川籍的有15＋10＋5＋5＋5＝40(人)．
设四川籍的驾驶人员应抽取x人，依题意得＝，解得x＝2，即四川籍的应抽取2人．
21．(本小题满分12分)某种瓶装溶液，因为装瓶机的不稳定性，所以很可能使每瓶的含量都不是标准的含量，我们随机抽出了20瓶，测得它们的含量(单位：百毫升)如下：
12．1 11.9 12.2 12.2 12.0 12.1 12.9 12.1
12．3 12.5 11.7 12.4 12.3 11.8 11.3 12.1
11．4 11.6 11.2 12.2
(1)根据数据列出频率分布表，画出频率分布直方图；
(2)计算出这组数据的平均数和标准差(结果精确到0.01)；
(3)结合(1)、(2)的结果，根据实际意义写一个简短的报告(对总体情况作出估计)．
解：(1)频率分布表如下：
分组
频数
频率
[11.0,11.5)
3
0.15
[11.5,12.0)
4
0.20
[12.0,12.5)
11
0.55
[12.5,13.0]
2
0.10
频率分布直方图如图所示．
(2)平均数＝×(12.1＋11.9＋12.2＋…＋12.2)≈12.02.
标准差s≈
≈0.41.
(3)标准差相对于平均数来说比较小．从频率分布直方图中可以看出，每瓶的含量大致位于1 150毫升到1 250毫升之间．因此判断装瓶机工作稳定．
22．(本小题满分12分)下表数据是退火温度x(℃)对黄铜延长性y(%)效应的试验结果，y是以延长度计算的，且对于给定的x，y为正态变量，其方差与x无关.
x(℃)
300
400
500
600
700
800
y(%)
40
50
55
60
67
70
(1)画出散点图；
(2)指出x，y是否线性相关；
(3)若线性相关，求y对x的线性回归方程；
(4)估计退火温度是1 000 ℃时， 黄铜延长性的情况．
解：(1)散点图如下：
(2)由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近，可见y与x线性相关．
(3)列出下表并用科学计算器进行有关计算.
i
1
2
3
4
5
6
xi
300
400
500
600
700
800
yi
40
50
55
60
67
70
xiyi
12 000
20 000
27 500
36 000
46 900
56 000
x
90 000
160 000
250 000
360 000
490 000
640 000
＝550；＝57；
＝1 990 000；iyi＝198 400
于是可得
b＝＝≈0.058 86，
a＝－b ＝57－0.058 86×550≈24.627.
因此所求的线性回归方程为：y＝0.058 86x＋24.627.
(4)将x＝1 000代入线性回归方程得
y＝0.058 86×1 000＋24.627＝83.487，即退火温度是1 000 ℃时，黄铜延长性大约是83.487%.
