2019年数学北师大版必修3新一线同步（讲义+课时跟踪检测）：模块综合检测

模块综合检测
(时间120分钟　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某校有学生4 500人，其中高三学生有1 500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本，则样本中高三学生的人数为(　　)
A．50人　　　　　　　　　 B．100人
C．150人 D．20人
解析：选B　因为该抽样是分层抽样，所以应在高三学生中抽取1 500×＝100(人)．
2．阅读如图所示的算法框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出y的值为(　　)
A．2 B．7
C．8 D．128
解析：选C　由算法框图知，y＝
∵输入x的值为1，比2小，∴执行的程序要实现的功能为9－1＝8，故输出y的值为8.
3．阅读下面的算法框图，运行相应的程序，则输出i的值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C　S＝10，i＝0，
i＝i＋1＝1，S＝S－i＝10－1＝9，不满足S≤1；
i＝i＋1＝2，S＝S－i＝9－2＝7，不满足S≤1；
i＝i＋1＝3，S＝S－i＝7－3＝4，不满足S≤1；
i＝i＋1＝4，S＝S－i＝4－4＝0，满足S≤1，
输出i＝4.
4．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为(　　)
A．0.4 B．0.6
C．0.8 D．1
解析：选B　记3件合格品为a1，a2，a3,2件次品为b1，b2，则任取2件构成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，共10个元素．
记“恰有1件次品”为事件A，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)}，共6个元素．
故其概率为P(A)＝＝0.6.
5.如图，正方形ABCD的边长为2，△EBC为正三角形．若向正方形ABCD内随机投掷一个质点，则它落在△EBC内的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　正方形的面积为4，S△EBC＝×2×＝，所以，质点落在△EBC内的概率为.
6．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是(　　)
A．45 B．50
C．55 D．60
解析：选B　成绩在[20,40)和[40,60)的频率分别是0.1,0.2，则低于60分的频率是0.3.设该班学生总人数为m，则＝0.3，m＝50.
7．一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的5张标签，有放回地随机选取两张标签，两张标签上的数字之和为奇数的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　基本事件的总数为25个，其中两张标签上的数字之和为奇数的情况有：(1,2)，(2,1)，(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，(2,5)，(5,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，共12个，
所以所求概率为P＝.
8.甲、乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别为x甲，x乙，则下列叙述正确的是(　　)
A．x甲>x乙；乙比甲成绩稳定
B．x甲>x乙；甲比乙成绩稳定
C．x甲D．x甲解析：选C　由题意可知，
x甲＝×(72＋77＋78＋86＋92)＝81，
x乙＝×(78＋88＋88＋91＋90)＝87.
故x甲又由方差公式可得s＝×[(81－72)2＋(81－77)2＋(81－78)2＋(81－86)2＋(81－92)2]＝50.4，
s＝×[(87－78)2＋(87－88)2＋(87－88)2＋(87－91)2＋(87－90)2]＝21.6，
因为s9．阅读下列程序：
输入x；
If　x＜0　Then
　y＝x＋3
Else
　If　x＞0　Then
　y＝－x＋5
　Else
　y＝0
　End If
End If
输出y.
如果输入x＝－2，则输出结果y为(　　)
A．3＋π B．3－π
C．π－5 D．－π－5
解析：选B　输入x＝－2，则x＝－2＜0成立，则y＝×(－2)＋3＝－π＋3，则输出3－π.
10．某农科院在2×2的4块试验田中选出2块种植某品种水稻进行试验，则每行每列都有一块试验田种植水稻的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　如图给4块试验田分别标号为A1，A2，B1，B2.
A1
A2
B1
B2
基本事件为：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(B1，B2)共6个基本事件，其中“每行每列都有一块试验田种植水稻”的基本事件有：(A1，B2)，(A2，B1)，共2个．
∴P(A)＝＝.
11．在面积为S的△ABC内部任取一点P，则△PBC的面积大于的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　设AB，AC上分别有点D，E满足AD＝AB且AE＝AC，则△ADE∽△ABC，DE∥BC且DE＝BC.∵点A到DE的距离等于点A到BC的距离的，∴DE到BC的距离等于△ABC高的.当动点P在△ADE内时，P到BC的距离大于DE到BC的距离，∴当P在△ADE内部运动时，△PBC的面积大于，∴所求概率为＝2＝.
12．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是(　　)
A．甲地：总体平均值为3，中位数为4
B．乙地：总体平均值为1，总体方差大于0
C．丙地：中位数为2，众数为3
D．丁地：总体平均值为2，总体方差为3
解析：选D　根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7，选项A中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能；选项B中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13.为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间调查了某地10 000位居民，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000位居民中再用分层抽样抽出100位居民做进一步调查，则在[2.5,3.0)(小时)时间段内应抽出的人数是________．
解析：抽出的100位居民中平均每天看电视的时间在[2.5,3.0)(小时)时间内的频率为0.5×0.5＝0.25，所以这10 000位居民中平均每天看电视的时间在[2.5，3.0)(小时)时间内的人数是10 000×0.25＝2 500，抽样比是＝，则在[2.5,3)(小时)时间段内应抽出的人数是2 500×＝25.
答案：25
14．已知变量x，y的回归方程为y＝bx＋a，若b＝0.51，＝61.75，＝38.14，则回归方程为________．
解析：因为a＝38.14－0.51×61.75＝6.647 5，所以回归方程为y＝0.51x＋6.647 5.
答案：y＝0.51x＋6.647 5
15．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
解析：从4只球中一次随机摸出2只球，有6种结果，其中这2只球颜色不同有5种结果，故所求概率为.
答案：
16．设点(p，q)在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现，则方程x2＋2px－q2＋1＝0的两根都是实数的概率为________．
解析：已知点(p，q)组成了边长为6的正方形，S正方形＝62＝36.
由方程x2＋2px－q2＋1＝0的两根都是实数得Δ＝(2p)2－4(－q2＋1)≥0，即p2＋q2≥1.所以当点(p，q)落在“正方形内且单位圆外”的阴影区域时，方程的两根都是正数．由图可知，阴影部分面积d＝S正方形－S圆＝36－π.
所以原方程两根都是实数的概率为1－.
答案：1－
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
天气
晴
雨
阴
阴
阴
雨
阴
晴
晴
晴
日期
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
天气
阴
晴
晴
晴
晴
晴
阴
雨
阴
阴
日期
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
晴
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
雨
(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
解：(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为＝.
(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为.
以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.
18．(本小题满分12分)(广东高考)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图所示．
(1)求直方图中x的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数；
(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？
解：(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1得x＝0.007 5，
∴直方图中x的值为0.007 5.
(2)月平均用电量的众数是＝230.
∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5，
∴月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a，则0.45＋0.012 5×(a－220)＝0.5，解得a＝224，即中位数为224.
(3)月平均用电量在[220,240)的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，同理可求月平均用电量为[240,260)，[260,280)，[280,300)的用户分别有15户、10户、5户，故抽取比例为＝，
∴从月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×＝5(户)．
19．(本小题满分12分)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.
组号
分组
频数
1
[4,5)
2
2
[5,6)
8
3
[6,7)
7
4
[7,8]
3
(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；
(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．
解：(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：
{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．
其中，没有1家的融合指数在[7,8]内的基本事件是：{B1，B2}，共1个．
所以所求的概率P＝1－＝.
(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于
4．5×＋5.5×＋6.5×＋7.5×＝6.05.
20．(本小题满分12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示.
(1)计算甲班的样本方差；
(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率．
解：(1)甲班的平均身高为
＝(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182)＝170，
甲班的样本方差为
s2＝[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.
(2)设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A，用(x，y)表示从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学的身高，则所有的基本事件有
(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件，
而事件A含有(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，共4个基本事件，
故P(A)＝＝.
21．(本小题满分12分)目前全世界面临能源紧张问题，降低油耗成为汽车制造厂家技术革新的目标．下表提供了某品牌汽车在技术革新后连续行驶x(百公里)与相应的油耗y(L)的几组对照数据.
x
1
2
3
4
y
6.4
13
18
25
(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出回归方程；
(2)若该品牌汽车在技术革新前行驶5百公里的油耗为33 L．试根据(1)求出的回归方程，预测现在汽车行驶5百公里比技术革新前降低多少升油耗．
解：(1)根据表中数据可分别求得：
＝2.5，＝15.6，iyi＝186.4，＝30.
所以b＝＝6.08.
a＝15.6－6.08×2.5＝0.4.
所以回归方程为y＝6.08x＋0.4.
(2)把x＝5代入(1)中所求的回归方程，估计该品牌汽车在技术革新后行驶5百公里的油耗为5×6.08＋0.4＝30.8 L，比技术革新前油耗降低了33－30.8＝2.2 L.
22．(本小题满分12分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有可能的结果；
②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．
解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.
(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．
因此，事件A发生的概率P(A)＝＝.