预习课本P75～83，思考并完成以下问题
(1)算法的概念是什么？
(2)算法的特征有哪些？
(3)设计算法需要注意哪些问题？
1．算法的概念
在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些步骤称为解决这些问题的算法．这种描述不是算法的严格定义，但是反映了算法的基本思想．
[点睛]
算法与一般意义上数学问题的解法的联系和区别
(1)联系：算法和解法是一般与特殊，抽象与具体的关系．例如，教材给出二分法求根的算法，根据这样的求解步骤可以求得任意方程的近似根．
(2)区别：算法是解决一类问题的所需程序和步骤的统称，也可以理解为数学的“通法”，解法是解决一个具体问题的解题过程．
2．算法的主要特征
(1)有穷性：一个算法的步骤是有限的，它应在有限步操作之后停止，而不能是无限的．
(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行和得到确定的结果，而不应当模棱两可．
(3)有序性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都要准确无误，才能解决问题．
(4)不唯一性：求解某一个问题的算法不是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法．
(5)普遍性：很多具体的问题都可以设计合理的算法去解决．
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)算法就是某个问题的解题过程．( )
(2)解决某一个具体问题时，算法不同，结果不同．( )
(3)算法执行步骤的次数不可以很大，否则无法实施．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．下列描述不能看作算法的是( )
A．做米饭需要刷锅，淘米，添水，加热这些步骤
B．洗衣机的使用说明书
C．从济南到台湾旅游，先坐火车，再坐飞机
D．解方程2x2＋x－1＝0时需先判断判别式的符号
解析：选D 因为A、B、C都描述了解决问题的过程，可以看作算法，而D只描述了一个事实，没说明如何解决问题，不是算法．
3．下列关于算法的说法正确的是( )
A．某算法可以无止境地运算下去
B．一个问题的算法步骤是可逆的
C．完成一件事情的算法有且只有一种
D．算法的每一步操作都是明确的
解析：选D 根据算法的特征进行判断．选项A中，由于算法具有有穷性，因此不可以无止境地运算下去；选项B中，算法中的步骤是按顺序一步步进行下去的，因此是不可逆的；选项C中，由于算法具有不唯一性，因此完成一件事情的算法不是只有一种；D正确，算法中的每一个步骤应当是明确无误的，不应产生歧义．
算法的概念
[典例] 下列对算法的理解不正确的是( )
A．一个算法应包含有限的步骤，而不能是无限的
B．算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序构成的完整的解题步骤
C．算法中的每一步都应当有效地执行，并得到确定的结果
D．一个问题只能设计出一个算法
[解析] 由算法的特征可知，D不正确．
[答案] D
解答这类问题的方法为特征判断法，主要从以下三方面判断：
(1)看是否满足顺序性．算法实际上就是顺序化的解题过程，是指可以用计算机来解决某一类问题的程序或步骤．
(2)看是否满足明确性．算法的每一步都是确定的，而不是含糊的、模棱两可的．
(3)看是否满足有限性．一个算法必须在有限步后结束．如果一个解题步骤永远不能结束，那么就永远得不到答案．因此，有始无终的解题步骤不是算法．
此外，算法的不唯一性也要考虑到．
[活学活用]
有关算法的描述有下列几种说法：
①对一类问题都有效；
②对个别问题有效；
③计算可以一步一步地进行，每一步都有唯一的结果；
④是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果．
其中说法正确的是________．
解析：算法通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，所以①正确，②错误．由于程序必须是明确的，有效的，而且在有限步之内完成，故③④正确．综上知，①③④正确．
答案：①③④
算法的设计
[典例] 写出解方程组的一个算法．
[解] (加减消元法)：算法步骤如下：
1．①×5－②得(2×5－4)x＝7×5－11； ⑤
2．解⑤得x＝4；
3．①×2－②得(1×2－5)y＝7×2－11； ⑥
4．解⑥得y＝－1；
5．得到方程组的解为
设计具体问题的算法的一般步骤
(1)分析问题，找出解决问题的一般数学方法；
(2)借助有关变量或参数对算法加以表述；
(3)将解决问题的过程划分为若干步骤；
(4)用简练的语言将这个步骤表示出来．
[活学活用]
写出求1＋2＋3＋4＋5＋6的一个算法．
解：算法步骤如下：
1．计算1＋2得到3；
2．将步骤1中的运算结果3与3相加得到6；
3．将步骤2中的运算结果6与4相加得到10；
4．将步骤3中的运算结果10与5相加得到15；
5．将步骤4中的运算结果15与6相加得到21.
[层级一 学业水平达标]
1．下列对算法的理解不正确的是( )
A．算法只能用自然语言来描述
B．算法可以用图形方式来描述
C．算法一般是“机械的”，有时要进行大量重复的计算，它的优点是可以解决一类问题
D．设计算法要本着简单、方便、可操作的原则
解析：选A 算法有三种描述方式：自然语言、框图(流程图)、计算机语言，故A不正确，B正确；算法通常是指可以用计算机来解决某一类问题的程序或步骤，所以C正确；选项D所给出的是设计算法的一般原则，其中最重要的原则是可操作性，即算法的可行性，不能够执行的算法步骤是无意义的，所以D正确．
2．下列语句中是算法的有( )
①从广州到北京旅游，先坐火车到上海，再坐飞机抵达；
②解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；
③方程x2－1＝0有两个实根；
④求1＋2＋3＋4的值，先计算1＋2＝3，再由3＋3＝6，6＋4＝10得最终结果是10.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C ①中说明了从广州到北京的行程安排，完成任务；②中给出了一元一次方程这一类问题的解决方式；④中给出了求1＋2＋3＋4的一个过程，最终得出结果；对于③，并没有说明如何去算，故①②④是算法，③不是算法．
3．下列各式中S值不可以用算法求解的是( )
A．S＝10＋20＋30＋40
B．S＝12＋22＋32＋…＋1002
C．S＝1＋＋…＋
D．S＝1＋2＋3＋4＋…
解析：选D 由算法的有穷性知，选D.
4．比较两个实数a与b的大小的一个算法为：
(1)若a－b＞0，则a＞b；
(2)________；
(3)若a－b＜0，则a＜b.
请将上面的算法补充完整．
答案：若a－b＝0，则a＝b
[层级二 应试能力达标]
1．使用配方法解方程x2－4x＋3＝0的算法的正确步骤是( )
①配方得(x－2)2＝1；②移项得x2－4x＝－3；
③解得x＝1或x＝3；④开方得x－2＝±1.
A．①②③④ B．②①④③
C．②③④① D．④③②①
解析：选B 使用配方法的步骤应按移项、配方、开方、得解的顺序进行．
2．第一步，输入不小于2的正整数n.
第二步，判断n是否为2.若n＝2，则n满足条件；若n＞2，则执行第三步．
第三步，依次从2到n－1检验能不能整除n，若不能整除，则n满足条件．
上述算法满足条件的n是( )
A．质数 B．奇数
C．偶数 D．合数
解析：选A 依据质数、奇数、偶数和合数的定义可以判断满足条件的n是质数．
3．阅读下面的算法：
(1)输入两个实数a，b.
(2)若a＜b，则交换a，b的值，否则执行第三步．
(3)输出a.
这个算法输出的是( )
A．a，b中的较大数 B．a，b中的较小数
C．原来的a的值 D．原来的b的值
解析：选A 第二步中，若a＜b，则交换a，b的值，那么a是a，b中的较大数；若a＜b不成立，即a≥b，那么a也是a，b中的较大数．
4．小明早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤，下列选项中最好的一种算法是( )
A．①洗脸刷牙；②刷水壶；③烧水；④泡面；⑤吃饭；⑥听广播
B．①刷水壶；②烧水同时洗脸刷牙；③泡面；④吃饭；⑤听广播
C．①刷水壶；②烧水同时洗脸刷牙；③泡面；④吃饭同时听广播
D．①吃饭同时听广播；②泡面；③烧水同时洗脸刷牙；④刷水壶
解析：选C 因为A选项共用时间36 min，B选项共用时间31 min，C选项共用时间23 min，D选项的算法步骤不符合常理．
5．在下面求15和18的最小公倍数的算法中，其中不恰当的一步是________．
(1)先将15分解素因数：15＝3×5；
(2)然后将18分解素因数：18＝32×2；
(3)确定它们的所有素因数：2,3,5；
(4)计算出它们的最小公倍数：2×3×5＝30.
解析：(4)步不恰当，正确的应该是：先确定素因数的指数：2,3,5的指数分别为1,2,1；然后计算出它们的最小公倍数：2×32×5＝90.
答案：(4)
6．求1×3×5×7×9×11的值的一个算法是：
(1)求1×3，得结果3.
(2)将第一步所得结果3乘以5，得到结果15.
(3)______________________________________．
(4)再将第三步所得结果105乘以9，得到945.
(5)再将第四步所得结果945乘以11，得到10 395，即为最后结果．
答案：再将第二步所得结果15乘以7，得到结果105
7．已知一个学生的语文成绩为89分，数学成绩为96分，外语成绩为99分，求它的总分和平均分的一个算法如下，请将其补充完整：
(1)取A＝89，B＝96，C＝99.
(2)______________________．
(3)______________________．
答案：计算总分D＝A＋B＋C 计算平均分E＝
8．写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法．
解：法一：算法步骤如下：
1．移项得x2－2x＝3.①
2．①两边同加1并配方得(x－1)2＝4.②
3．②两边开方得x－1＝±2.③
4．解③得x＝3或x＝－1.
法二：1.计算方程的判别式并判断其符号：Δ＝22＋4×3＝16>0；
2．将a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x＝，得x1＝3，x2＝－1.
9．有蓝和黑两个墨水瓶，但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换回来，请设计一个算法解决这个问题．
解：算法步骤如下：
(1)取一只空的墨水瓶，设其为白色；
(2)将黑墨水瓶中的蓝墨水装入白瓶中并将黑墨水瓶洗干净；
(3)将蓝墨水瓶中的黑墨水装入黑墨水瓶中并将蓝墨水瓶洗干净；
(4)将白瓶中的蓝墨水装入蓝墨水瓶中．
课时跟踪检测（九） 算法的基本思想
1．使用配方法解方程x2－4x＋3＝0的算法的正确步骤是( )
①配方得(x－2)2＝1；②移项得x2－4x＝－3；
③解得x＝1或x＝3；④开方得x－2＝±1.
A．①②③④ B．②①④③
C．②③④① D．④③②①
解析：选B 使用配方法的步骤应按移项、配方、开方、得解的顺序进行．
2．第一步，输入不小于2的正整数n.
第二步，判断n是否为2.若n＝2，则n满足条件；若n＞2，则执行第三步．
第三步，依次从2到n－1检验能不能整除n，若不能整除，则n满足条件．
上述算法满足条件的n是( )
A．质数 B．奇数
C．偶数 D．合数
解析：选A 依据质数、奇数、偶数和合数的定义可以判断满足条件的n是质数．
3．阅读下面的算法：
(1)输入两个实数a，b.
(2)若a＜b，则交换a，b的值，否则执行第三步．
(3)输出a.
这个算法输出的是( )
A．a，b中的较大数 B．a，b中的较小数
C．原来的a的值 D．原来的b的值
解析：选A 第二步中，若a＜b，则交换a，b的值，那么a是a，b中的较大数；若a＜b不成立，即a≥b，那么a也是a，b中的较大数．
4．小明早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤，下列选项中最好的一种算法是( )
A．①洗脸刷牙；②刷水壶；③烧水；④泡面；⑤吃饭；⑥听广播
B．①刷水壶；②烧水同时洗脸刷牙；③泡面；④吃饭；⑤听广播
C．①刷水壶；②烧水同时洗脸刷牙；③泡面；④吃饭同时听广播
D．①吃饭同时听广播；②泡面；③烧水同时洗脸刷牙；④刷水壶
解析：选C 因为A选项共用时间36 min，B选项共用时间31 min，C选项共用时间23 min，D选项的算法步骤不符合常理．
5．在下面求15和18的最小公倍数的算法中，其中不恰当的一步是________．
(1)先将15分解素因数：15＝3×5；
(2)然后将18分解素因数：18＝32×2；
(3)确定它们的所有素因数：2,3,5；
(4)计算出它们的最小公倍数：2×3×5＝30.
解析：(4)步不恰当，正确的应该是：先确定素因数的指数：2,3,5的指数分别为1,2,1；然后计算出它们的最小公倍数：2×32×5＝90.
答案：(4)
6．求1×3×5×7×9×11的值的一个算法是：
(1)求1×3，得结果3.
(2)将第一步所得结果3乘以5，得到结果15.
(3)______________________________________．
(4)再将第三步所得结果105乘以9，得到945.
(5)再将第四步所得结果945乘以11，得到10 395，即为最后结果．
答案：再将第二步所得结果15乘以7，得到结果105
7．已知一个学生的语文成绩为89分，数学成绩为96分，外语成绩为99分，求它的总分和平均分的一个算法如下，请将其补充完整：
(1)取A＝89，B＝96，C＝99.
(2)______________________．
(3)______________________．
答案：计算总分D＝A＋B＋C 计算平均分E＝
8．写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法．
解：法一：算法步骤如下：
1．移项得x2－2x＝3.①
2．①两边同加1并配方得(x－1)2＝4.②
3．②两边开方得x－1＝±2.③
4．解③得x＝3或x＝－1.
法二：1.计算方程的判别式并判断其符号：Δ＝22＋4×3＝16>0；
2．将a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x＝，得x1＝3，x2＝－1.
9．有蓝和黑两个墨水瓶，但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换回来，请设计一个算法解决这个问题．
解：算法步骤如下：
(1)取一只空的墨水瓶，设其为白色；
(2)将黑墨水瓶中的蓝墨水装入白瓶中并将黑墨水瓶洗干净；
(3)将蓝墨水瓶中的黑墨水装入黑墨水瓶中并将蓝墨水瓶洗干净；
(4)将白瓶中的蓝墨水装入蓝墨水瓶中．
