2．1 顺序结构与选择结构
预习课本P85～87，思考并完成以下问题
(1)算法框图有哪几种基本结构？
(2)常见的基本框图的符号和功能分别是什么？
1．常见的框图和它们各自表示的功能
框图
功能
终端框
(起止框)
表示一个算法的起始和结束
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息
处理框
赋值、计算
判断框
判断某一条件是否成立
2．顺序结构
(1)定义：
按照步骤依次执行的一个算法，称为具有“顺序结构”的算法，或者称为算法的顺序结构．
(2)算法框图：
(3)执行步骤的方式：
先执行步骤甲，再执行步骤乙．
[点睛] 顺序结构中，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序执行的，中间没有“转变”，也没有“回头”．
3．选择结构
(1)定义：
在算法中，需要判断条件的真假，依据判断的结果决定后面的步骤，像这样的结构通常称为选择结构．
(2)算法框图：
(3)执行步骤的方式：
每次仅能执行一个步骤．当条件为真时，执行步骤甲；当条件为假时，执行步骤乙．不能同时执行这两个步骤，也不能一个步骤也不执行．
[点睛] 凡是先根据条件作出判断，然后决定进行哪一个步骤的问题，在画算法框图时，必须引入判断框，应用选择结构．
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个算法都离不开顺序结构．( )
(2)任何一个算法都离不开选择结构．( )
(3)包含选择结构的算法框图中，算法的执行根据条件是否成立有不同的流向．( )
(4)算法执行过程中，顺序结构和选择结构可以不止有一个入口，一个出口．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．算法框图中矩形框的功能是( )
A．表示一个算法的起始和结束
B．表示一个算法输入和输出的信息
C．赋值、计算
D．判断某一条件是否成立
答案：C
3．下列关于算法框图的说法正确的是( )
①任何一个算法框图都必须有起止框；
②判断框是唯一具有超过一个出口的图框；
③对于一个算法框图而言，判断框中的条件是唯一的．
A．①②③ B．②③
C．① D．①②
解析：选D 任何一个算法都有开始和结束，因而必须有起止框，①正确．判断框只有一个入口，但有两个出口，其他图框的出口至多一个，故②正确．判断框中的条件不是唯一的，如a＞b也可写为a≤b，只不过此时需要对调“是”与“否”的位置，故③错误．
4.如图所示的算法框图中含有的基本结构是( )
A．顺序结构
B．选择结构
C．模块结构
D．顺序结构和选择结构
解析：选D 顺序结构是任何算法都离不开的一种算法结构，并且此算法流程中含有判断框，因此此算法框图中既含有顺序结构又含有选择结构．
顺序结构的算法框图
[典例] 已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，求线段AB的长度d及中点P的坐标，试设计算法，并画出算法框图．
[解] 算法步骤如下：
1．输入x1，y1，x2，y2；
2．计算d＝；
3．计算x0＝，y0＝；
4．输出d，x0，y0.
算法框图如图所示．
顺序结构指的是依次进行多个处理的结构，其特点是各部分按照出现的先后顺序执行．在使用顺序结构画框图时要注意：(1)正确使用各种图框；(2)要先输入，再运算，最后输出结果．
[活学活用]
已知f(x)＝x2－2x－3，求f(3)，f(－5)，f(5)，f(3)＋f(－5)＋f(5)的值．设计出解决该问题的一个算法，并画出算法框图．
解：算法步骤如下：
1．x＝3；
2．计算y1＝x2－2x－3；
3．x＝－5；
4．计算y2＝x2－2x－3；
5．x＝5；
6．计算y3＝x2－2x－3；
7．计算y＝y1＋y2＋y3；
8．输出y1，y2，y3，y.
算法框图如图所示．
选择结构的算法框图
[典例] 已知函数y＝写出求该函数值的算法并画出算法框图．
[解] 算法步骤如下：
1．输入x；
2．如果x＞0，那么使y＝－1；
如果x＝0，那么使y＝0；
如果x＜0，那么使y＝1；
3．输出函数值y.
算法框图如图所示：
画选择结构框图的思路
(1)先设计算法，再把算法步骤转化为框图的形式，注意细节．
(2)凡是先根据条件作出判断，再决定进行哪一个步骤的问题，在画算法框图时，都必须引入判断框，采用选择结构．
(3)在画出选择结构的框图后，可通过检查各选择分支与已知描述情况是否对应来判断所画框图是否正确．
[活学活用]
求过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率．设计解决该问题的一个算法并画出算法框图．
解：算法步骤如下：
1．输入x1，y1，x2，y2.
2．如果x1＝x2，输出“斜率不存在”；否则，k＝.
3．输出k.
算法框图如图所示．
实际应用题的框图设计
[典例] 设计房租收费的算法，其要求是：住房面积90 m2以内，每平方米收费3元；住房面积超过90 m2时，超过部分，每平方米收费5元．画出算法框图，要求输入住房面积数，输出应付的房租．
[解] 算法如下：
1．输入住房面积S.
2．根据面积选择计费方式：若S≤90，则租金为M＝S×3；若S>90，则租金为M＝270＋(S－90)×5.
3．输出房租M的值．
算法框图如下：
对于实际问题的算法，解决的关键是读懂题意，建立合适的模型，找到问题的计算公式，然后选择合适的算法结构表示算法过程．
[活学活用]
某居民区的物业部门每月向居民收取卫生费，计算方法如下：3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元．设计一个算法，根据输入的人数，计算应收取的卫生费，只需画出算法框图即可．
解：依题意费用y与人数n之间的关系为
y＝
算法框图如图所示：
算法框图的读图问题
[典例] 阅读如图所示的算法框图，回答下列问题：
(1)该算法框图解决了一个什么问题？
(2)若输入的x值为0和4，输出的y值相等，问当输入的x值为3时，输出的y值为多大？
(3)依据(2)的条件，要想使输出的y值最大，应输入的x值为多大？
[解] (1)该框图是求二次函数y＝－x2＋mx的函数值．
(2)令f(x)＝－x2＋mx，已知当输入的x值为0和4时，输出的y值相等，即f(0)＝f(4)，解得m＝4，
所以f(x)＝－x2＋4x，
所以f(3)＝－32＋4×3＝3，即当输入的x值为3时，输出的y值为3.
(3)由(2)可知f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
故当输入的x值为2时，输出的y值最大，最大值为4.
(1)顺序结构的读图问题，按照自上而下的顺序依次执行即可．
(2)选择结构的读图问题，一般是据图分析算法框图的功能，或补充判断框中的条件及判断框下方的执行框里的内容．解题时，一般按照从上到下、从左到右的顺序读图．读图时需注意两点：一是确认框图的作用，二是确定判断框的条件及出口对应的内容．对于补充判断框中的条件问题，需注意判断框内的条件是否有不同的表达．
[活学活用]
阅读如图所示的算法框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．[－2，－1]
C．[－1,2] D．(2，＋∞)
解析：选B 若x?[－2,2]，
则f(x)＝2?，不符合题意；
当x∈[－2,2]时，由f(x)＝2x∈，
得x∈[－2，－1]．
[层级一 学业水平达标]
1．下面关于算法框图的说法中正确的个数是( )
①算法框图虽然可以描述算法，但不如用自然语言描述算法直观；
②在算法框图中，输入框只能紧接在起始框之后；
③输入、输出框可用在算法中任何需要输入、输出的位置；
④在算法框图中，一个判断框有两个出口．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 相对于自然语言，用算法框图描述算法的优点是直观、形象，容易理解，在步骤表达上简单了许多，故①不正确；输入框不一定紧接在起始框之后，故②不正确；依据输入、输出框的意义可知③正确；由于判断框的功能是判断某一条件是否成立，所以有两个出口并分别标明“是”和“否”，故④正确．
2．已知函数y＝输入自变量x的值，求对应的函数值，设计算法框图时所含有的基本逻辑结构是( )
A．顺序结构 B．选择结构
C．顺序结构、选择结构 D．以上都不是
解析：选C 任何算法框图中都有顺序结构，由于自变量在不同的范围内，有不同的对应法则，用选择结构．
3．如图给出了一个算法框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 分段函数表达式为y＝
由x2＝x，得x＝0或1；
由2x－3＝x，得x＝3；
由x＝得x＝±1，在x＞5范围内无解．
共3个值符合要求．
4．如图是一个算法的框图，当输入的值为3时，输出的结果是________．
解析：∵3<5，∴y＝32－1＝8.
答案：8
[层级二 应试能力达标]
1．如图所示的算法框图表示的算法意义是( )
A．求边长为3,4,5的直角三角形面积
B．求边长为3,4,5的直角三角形内切圆面积
C．求边长为3,4,5的直角三角形外接圆面积
D．求以3,4,5为弦的圆面积
解析：选B 直角三角形内切圆半径r＝.
2．如图是计算函数y＝的函数值的算法框图，在①②③处应分别填入的是( )
A．y＝ln(－x)，y＝3x，y＝2x
B．y＝ln(－x)，y＝2x，y＝3x
C．y＝3x，y＝2x，y＝ln(－x)
D．y＝3x，y＝ln(－x)，y＝2x
解析：选B 依题意得，当x≤－2时，y＝ln(－x)，因此①处应填y＝ln(－x)；
当－2当x>3时，y＝2x，因此②处应填y＝2x.
3．执行如图所示的算法框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )
A．[－3,4] B．[－5,2]
C．[－4,3] D．[－2,5]
解析：选A 算法框图的功能是求分段函数s＝的值．所以当－1≤t＜1时，s＝3t∈[－3,3)；当1≤t≤3时，s＝4t－t2＝－(t－2)2＋4，此时3≤s≤4.
综上，可得输出的s∈[－3,4]．
4．如图所示的框图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分．当x1＝6，x2＝9，p＝8.5时，x3等于( )
A．11 B．10
C．8 D．7
解析：选C 显然满足p＝8.5的可能为＝8.5或＝8.5.若x3＝11，不满足|x3－x1|＜|x3－x2|，则x1＝11，p＝＝10，不满足题意；若x3＝8，不满足|x3－x1|＜|x3－x2|，则x1＝8，p＝＝8.5，满足题意．
5．如图所示的算法框图能判断任意输入的整数x的奇偶性，其中判断框内的条件是________．
解析：x除以2的余数是0或1，当余数为0时，x为偶数；当余数为1时，x为奇数．
答案：m＝1(或m≠0)
6．如图(2)所示的框图是计算图(1)(其中大正方形的边长为a)中空白部分面积的算法，则①中应填________．
解析：由平面几何知识可得空白部分的面积为
S＝a2－a2.
答案：S＝a2－a2
7．某种电子产品的采购商指导价为每台200元，若一次采购达到一定量，还可享受折扣．如图为某位采购商根据折扣情况设计的算法框图，则该程序运行时，在输入一个正整数x之后，输出的S值的实际意义是______________；若一次采购85台该电子产品，则S＝________元．
解析：根据算法框图可知各分支中p表示该电子产品的实际采购价格，因此S表示一次采购共需花费的金额．因为85∈(50,100]，所以采购价格为200×0.9＝180(元/台)，所以S＝180×85＝15 300(元)．
答案：一次采购共需花费的金额 15 300
8.如图所示是解决某个问题而绘制的算法框图，仔细分析各图框内的内容及图框之间的关系，回答下面的问题：
(1)该框图解决的是怎样的一个问题？
(2)若最终输出的结果y1＝3，y2＝－2，当x取5时输出的结果5a＋b的值应该是多大？
(3)在(2)的前提下，输入的x值越大，输出的ax＋b是不是越大？为什么？
(4)在(2)的前提下，当输入的x值为多大时，输出结果ax＋b等于0?
解：(1)该框图解决的是求函数f(x)＝ax＋b的函数值的问题．其中输入的是自变量x的值，输出的是x对应的函数值．
(2)y1＝3，即2a＋b＝3.①
y2＝－2，即－3a＋b＝－2.②
由①②得a＝1，b＝1.
∴f(x)＝x＋1.
∴当x取5时，5a＋b＝f(5)＝5×1＋1＝6.
(3)输入的x值越大，输出的函数值ax＋b越大，
因为f(x)＝x＋1是R上的增函数．
(4)令f(x)＝x＋1＝0，得x＝－1，所以当输入的x值为－1时，输出的函数值为0.
9．算法框图如图所示，根据该算法框图回答以下问题：
(1)该算法框图是为什么问题而设计的？
(2)若输入的四个数分别为5,2,7,22，则最后输出的结果是什么？
解：(1)“a＜b且a＜c且a＜d”是判断a是否为最小的数，如果成立，则输出a，此时输出了a，b，c，d中最小的数；如果不成立，也就是a不是最小数，从而进入“b＜c且b＜d”，它是判断当a不是最小数时，b是否为最小数，如果成立，则输出b，说明此时也是输出了a，b，c，d中最小的数；如果不成立，就说明a与b都不是最小的数，从而进入“c＜d”，它是判断当a，b都不是最小数时，c是否为最小数，如果成立，则输出c，说明此时输出了a，b，c，d中最小的数；如果不成立，则输出d，此时d是a，b，c，d中最小的数．故算法框图是为“输出a，b，c，d四个数中的最小数”而设计的．
(2)当输入的四个数分别为5,2,7,22时，最后输出的结果是2.
课时跟踪检测（十） 顺序结构与选择结构
1．如图所示的算法框图表示的算法意义是( )
A．求边长为3,4,5的直角三角形面积
B．求边长为3,4,5的直角三角形内切圆面积
C．求边长为3,4,5的直角三角形外接圆面积
D．求以3,4,5为弦的圆面积
解析：选B 直角三角形内切圆半径r＝.
2．如图是计算函数y＝的函数值的算法框图，在①②③处应分别填入的是( )
A．y＝ln(－x)，y＝3x，y＝2x
B．y＝ln(－x)，y＝2x，y＝3x
C．y＝3x，y＝2x，y＝ln(－x)
D．y＝3x，y＝ln(－x)，y＝2x
解析：选B 依题意得，当x≤－2时，y＝ln(－x)，因此①处应填y＝ln(－x)；
当－2当x>3时，y＝2x，因此②处应填y＝2x.
3．执行如图所示的算法框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )
A．[－3,4] B．[－5,2]
C．[－4,3] D．[－2,5]
解析：选A 算法框图的功能是求分段函数s＝的值．所以当－1≤t＜1时，s＝3t∈[－3,3)；当1≤t≤3时，s＝4t－t2＝－(t－2)2＋4，此时3≤s≤4.
综上，可得输出的s∈[－3,4]．
4．如图所示的框图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分．当x1＝6，x2＝9，p＝8.5时，x3等于( )
A．11 B．10
C．8 D．7
解析：选C 显然满足p＝8.5的可能为＝8.5或＝8.5.若x3＝11，不满足|x3－x1|＜|x3－x2|，则x1＝11，p＝＝10，不满足题意；若x3＝8，不满足|x3－x1|＜|x3－x2|，则x1＝8，p＝＝8.5，满足题意．
5．如图所示的算法框图能判断任意输入的整数x的奇偶性，其中判断框内的条件是________．
解析：x除以2的余数是0或1，当余数为0时，x为偶数；当余数为1时，x为奇数．
答案：m＝1(或m≠0)
6．如图(2)所示的框图是计算图(1)(其中大正方形的边长为a)中空白部分面积的算法，则①中应填________．
解析：由平面几何知识可得空白部分的面积为
S＝a2－a2.
答案：S＝a2－a2
7．某种电子产品的采购商指导价为每台200元，若一次采购达到一定量，还可享受折扣．如图为某位采购商根据折扣情况设计的算法框图，则该程序运行时，在输入一个正整数x之后，输出的S值的实际意义是______________；若一次采购85台该电子产品，则S＝________元．
解析：根据算法框图可知各分支中p表示该电子产品的实际采购价格，因此S表示一次采购共需花费的金额．因为85∈(50,100]，所以采购价格为200×0.9＝180(元/台)，所以S＝180×85＝15 300(元)．
答案：一次采购共需花费的金额 15 300
8.如图所示是解决某个问题而绘制的算法框图，仔细分析各图框内的内容及图框之间的关系，回答下面的问题：
(1)该框图解决的是怎样的一个问题？
(2)若最终输出的结果y1＝3，y2＝－2，当x取5时输出的结果5a＋b的值应该是多大？
(3)在(2)的前提下，输入的x值越大，输出的ax＋b是不是越大？为什么？
(4)在(2)的前提下，当输入的x值为多大时，输出结果ax＋b等于0?
解：(1)该框图解决的是求函数f(x)＝ax＋b的函数值的问题．其中输入的是自变量x的值，输出的是x对应的函数值．
(2)y1＝3，即2a＋b＝3.①
y2＝－2，即－3a＋b＝－2.②
由①②得a＝1，b＝1.
∴f(x)＝x＋1.
∴当x取5时，5a＋b＝f(5)＝5×1＋1＝6.
(3)输入的x值越大，输出的函数值ax＋b越大，
因为f(x)＝x＋1是R上的增函数．
(4)令f(x)＝x＋1＝0，得x＝－1，所以当输入的x值为－1时，输出的函数值为0.
9．算法框图如图所示，根据该算法框图回答以下问题：
(1)该算法框图是为什么问题而设计的？
(2)若输入的四个数分别为5,2,7,22，则最后输出的结果是什么？
解：(1)“a＜b且a＜c且a＜d”是判断a是否为最小的数，如果成立，则输出a，此时输出了a，b，c，d中最小的数；如果不成立，也就是a不是最小数，从而进入“b＜c且b＜d”，它是判断当a不是最小数时，b是否为最小数，如果成立，则输出b，说明此时也是输出了a，b，c，d中最小的数；如果不成立，就说明a与b都不是最小的数，从而进入“c＜d”，它是判断当a，b都不是最小数时，c是否为最小数，如果成立，则输出c，说明此时输出了a，b，c，d中最小的数；如果不成立，则输出d，此时d是a，b，c，d中最小的数．故算法框图是为“输出a，b，c，d四个数中的最小数”而设计的．
(2)当输入的四个数分别为5,2,7,22时，最后输出的结果是2.
