1．1 & 1.2 频率与概率 生活中的概率
预习课本P119～126，思考并完成以下问题
(1)随机事件、必然事件、不可能事件是如何定义的？
(2)概率的定义是什么？
(3)频率与概率有什么区别和联系？
1．概率
在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记为P(A)．我们有0≤P(A)≤1.
2．概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小．在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切得到，常常通过做大量的重复试验，用随机事件发生的频率作为它的概率的估计值．
[点睛] (1)频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同．而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关．
(2)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机事件没有结果．( )
(2)随机事件的频率与概率一定不相等．( )
(3)在条件不变的情况下，随机事件的概率不变．( )
(4)在一次试验结束后，随机事件的频率是变化的．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．下列关于随机事件的频率与概率的关系的说法中，正确的是( )
A．频率就是概率
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增多，频率越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
解析：选C 频率不是概率，所以A不正确；概率是客观存在的，与试验次数无关，所以B不正确；概率不是随机的，所以D不正确；很明显，随着试验次数的增多，频率越来越接近概率，故选C.
3．已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是( )
A．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，那么有90人会被治愈
B．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会被治愈
C．使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%
D．以上说法都不对
解析：选C 治愈某种疾病的概率为90%，说明使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%，但不能说明使用一剂这种药物一定可以治愈这种疾病，只能说治愈的可能性较大．
事件类型的判断
[典例] 下列四种说法：
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；
②“当x为某一实数时可使x2＜0”是不可能事件；
③“一个三角形的大边对的角小、小边对的角大”是必然事件；
④“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”是随机事件．
其中正确的个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
[解析] ①正确，因为无论怎么放，其中一个盒子的球的个数都不小于2；
②正确，因为无论x为何实数，x2＜0均不可能发生；
③错误，三角形中大边对大角，所以③是不可能事件；
④正确，因为“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”这件事有可能发生，也有可能不发生，确实是随机事件．
[答案] B
判断一个事件是必然事件、不可能事件还是随机事件，关键看它在一定的条件下是否一定发生．若可能发生也可能不发生，则是随机事件；若一定会发生，则是必然事件；若一定不会发生，则是不可能事件．要注意的是：这里的条件对事件发生与否的判断很关键．
[活学活用]
指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)从分别标有数字1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的签；
(2)函数y＝logax(a＞0且a≠1)为增函数；
(3)平行于同一条直线的两条直线平行；
(4)随机选取一个实数x，得2x＜0.
解：(1)是随机事件，5张标签都可能被取到．
(2)是随机事件，当a＞1时，函数y＝logax为增函数，当0＜a＜1时，函数y＝logax为减函数．
(3)是必然事件，实质是平行公理．
(4)为不可能事件，根据指数函数y＝2x的图像可得，对任意实数x,2x＞0.
频率与概率的关系
[典例] 表一和表二分别表示从甲、乙两个厂家随机抽取的某批篮球产品的质量检查情况：
表一
抽取球数n
50
100
200
500
1 000
2 000
优等品数m
45
92
194
470
954
1 902
优等品频率
表二
抽取球数n
70
130
310
700
1 500
2 000
优等品数m
60
116
282
637
1 339
1 806
优等品频率
(1)分别计算表一和表二中篮球是优等品的各个频率(结果保留到小数点后两位)；
(2)若从两个厂家生产的这批篮球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率分别是多少？
(3)若该两厂的篮球价格相同，你打算从哪一厂家购货？
[解] (1)依据频率公式计算表一中“篮球是优等品”的各个频率为0.90,0.92,0.97,0.94,0.95,0.95；表二中“篮球是优等品”的各个频率为0.86,0.89,0.91,0.91，0.89，0.90.
(2)由(1)可知，抽取的篮球数不同，随机事件“篮球是优等品”的频率也不同．表一中的频率都在常数0.95的附近摆动，则在甲厂随机抽取一个篮球检测时，质量检查为优等品的概率大约为0.95；表二中的频率都在常数0.90的附近摆动，则在乙厂随机抽取一个篮球检测时，质量检查为优等品的概率大约为0.90.
(3)根据概率的定义可知：概率是从数量上反映一个随机事件发生可能性的大小．因为P甲>P乙，表示甲厂生产出来的篮球是优等品的概率更大．因此应该选择甲厂生产的篮球．
(1)虽然随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，用事件发生的频率去“测量”，通过计算事件发生的频率去估计概率．
(2)此类题目的解题方法是：先利用频率的定义依次计算出各个频率值，然后确定概率(即频率的稳定值)．
[活学活用]
某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：
分组
[500，900)
[900，1 100)
[1 100，1 300)
[1 300，1 500)
[1 500，1 700)
[1 700，1 900)
[1 900，＋∞)
频数
48
121
208
223
193
165
42
频率
(1)将各组的频率填入表中；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．
解：(1)频率依次是：
0．048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.
(2)样本中寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中灯管使用寿命不足1 500小时的频率是＝0.6，
所以灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.
概率的应用
[典例] 某种病治愈的概率是0.3，那么，前7个人没有治愈，后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是0.3?
[解] 如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是30%，指随着试验次数的增加，即治疗的病人数的增加，大约有30%的人能治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个病人没治愈是可能的，对后3个人来说，其结果仍然是随机的，既有可能治愈，也可能没有治愈．
治愈的概率是0.3是指如果有1 000人患病，那么我们根据治愈的频率应在治愈概率附近摆动这一前提，就可以认为这1 000人中，大约有300人能治愈，这个事先估计对于医药卫生部门是很有参考价值的．这也进一步说明了随机事件的概率只是反映了在大量重复试验的条件下，随机试验发生的频率的稳定性．
由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生．从而对某些事情作出决策．当某随机事件的概率未知时，可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率．
[活学活用]
为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2 000尾，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中带记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数．
解：设水库中鱼的尾数是n(n∈N＋)，现在要估计n的值，假定每尾鱼被捕到的可能性是相等的，从水库中任捕一尾鱼，设事件A＝{捕到带记号的鱼}，则P(A)＝.
第二次从水库中捕出500尾鱼，其中带记号的有40尾，即事件A发生的频数为40，由概率的统计定义知P(A)≈，即≈，解得n≈25 000.
所以估计水库中的鱼有25 000尾．
[层级一 学业水平达标]
1．下列事件：
①物体在重力作用下会自由下落；
②方程x2－2x＋3＝0有两个不相等的实数根；
③下周日会下雨；
④某网站某一时间段内被点击次数多于10次．
其中随机事件的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义作出判断．由定义可知，①是必然事件；②是不可能事件；③④是随机事件．
2．某人将一枚硬币连掷了10次，6次正面朝上，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的( )
A．概率为 B．频率为
C．频率为6 D．概率接近
解析：选B 本题主要考查频率的定义以及频率与概率的区别，事件A的频率为＝，概率为，故选B.
3．在天气预报中，有“降水概率预报”，例如，预报“明天降水概率为78%”，这是指( )
A．明天该地区有78%的地区降水，其他地区不降水
B．明天该地区降水的可能性为78%
C．气象台的专家中，有78%的专家认为会降水，另外22%的专家认为不降水
D．明天该地区约有78%的时间降水，其他时间不降水
解析：选B “明天降水概率为78%”是指明天该地区降水的可能性为78%，故选B.
4．下列说法：
①频率反映的是事件发生的频繁程度，概率反映的是事件发生的可能性大小；
②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A发生的概率；
③百分率是频率，但不是概率；
④频率是不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是确定性的、不依赖于试验次数的理论值；
⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
其中正确的说法是________．
解析：由概率与频率的关系，可知①④⑤正确．
答案：①④⑤
[层级二 应试能力达标]
1．下列说法正确的是( )
A．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率为
B．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次“正面朝上”
C．某地发行福利彩票，其回报率为47%.有个人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报
D．大量试验后，可以用频率近似估计概率
解析：选D A中是频率；B错的原因是误解了“概率是”的含义；C错的原因是忽略了整体与部分的区别．
2．某次数学考试中，共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是，某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其一个选项，则一定有3题答对．”这句话( )
A．正确 B．错误
C．不一定 D．无法解释
解析：选B 把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是，说明做对的可能性大小是.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，那么答对3题的可能性较大，但是并不一定答对3道．也可能都选错，或仅有2题、3题、4题……甚至12个题都选择正确．
3．“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明( )
A．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防
B．小概率事件很少发生，不用怕
C．小概率事件就是不可能事件，不会发生
D．大概率事件就是必然事件，一定发生
解析：选A 因为这句谚语是提醒人们需提防小概率事件．故选A.
4．随机事件A的频率满足( )
A.＝0 B.＝1
C．0＜＜1 D．0≤≤1
解析：选D ∵0≤m≤n，∴0≤≤1.
5．在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49，则“正面朝下”的次数为________．
解析：由100×0.49＝49，知有49次“正面朝上”，故有100－49＝51(次)“正面朝下”．
答案：51
6．如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黑球(只是颜色不同)，从中任取一球，取了10次有9个白球，估计袋中数量最多的是________．
解析：取了10次有9个白球，则取出白球的频率是0.9，估计从该袋中任取一球，是白球的概率约是0.9，是黑球的概率约是0.1，因为取出白球的概率大于取出黑球的概率，所以估计袋中数量最多的是白球．
答案：白球
7．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品；
④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于10；
其中________是必然条件；________是不可能事件；________是随机事件．
解析：200件产品中，8件是二级品，现从中任意选出9件，当然不可能全是二级品，不是一级品的件数最多为8，小于10.
答案：③④ ② ①
8．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量
1至
4件
5至
8件
9至
12件
13至
16件
17件及
以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)
解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，故x＝15，y＝20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为＝1.9(分钟)．
(2)在这100位顾客中，一次购物的结算时间不超过2分钟的共有15＋30＋25＝70(人)，
根据频率与概率的关系，估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为＝0.7.
9．如图所示，盒中装有3个完全相同的球，分别标着“A”“B”“C”，从盒中随意摸出一球，并自由转动转盘(转盘被分成相等的3个扇形)，小刚和小明用它们做游戏，并约定：如果所摸出的球上的字母与转盘停止时指针对准的字母相同，则小明获得1分，如果不同，则小刚获得1分．
(1)你认为这个游戏公平吗？为什么？
(2)如果不公平，该如何修改约定才能使游戏对双方公平？
(3)如果他们认为这个约定不公平，但又不想修改约定，于是便商定只用转盘转动两次做这个游戏，你认为这样公平吗？
解：游戏是否公平，关键要看试验很多次后，两人平均每次试验的得分是否相等，相等，则公平；不相等，则不公平．
(1)不公平．因为每进行一次游戏，小明获1分的机会是，而小刚获得1分的机会是.
(2)可这样修改约定：如果所摸出的球上的字母与转盘停止时指针对准的字母相同，则小明获2分；如果不同，则小刚获1分．
(3)也不公平．因为每转动两次转盘，小明获得1分的机会仍是，而小刚获得1分的机会仍是.
课时跟踪检测（十五） 频率与概率 生活中的概率
1．下列说法正确的是( )
A．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率为
B．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次“正面朝上”
C．某地发行福利彩票，其回报率为47%.有个人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报
D．大量试验后，可以用频率近似估计概率
解析：选D A中是频率；B错的原因是误解了“概率是”的含义；C错的原因是忽略了整体与部分的区别．
2．某次数学考试中，共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是，某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其一个选项，则一定有3题答对．”这句话( )
A．正确 B．错误
C．不一定 D．无法解释
解析：选B 把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是，说明做对的可能性大小是.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，那么答对3题的可能性较大，但是并不一定答对3道．也可能都选错，或仅有2题、3题、4题……甚至12个题都选择正确．
3．“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明( )
A．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防
B．小概率事件很少发生，不用怕
C．小概率事件就是不可能事件，不会发生
D．大概率事件就是必然事件，一定发生
解析：选A 因为这句谚语是提醒人们需提防小概率事件．故选A.
4．随机事件A的频率满足( )
A.＝0 B.＝1
C．0＜＜1 D．0≤≤1
解析：选D ∵0≤m≤n，∴0≤≤1.
5．在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49，则“正面朝下”的次数为________．
解析：由100×0.49＝49，知有49次“正面朝上”，故有100－49＝51(次)“正面朝下”．
答案：51
6．如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黑球(只是颜色不同)，从中任取一球，取了10次有9个白球，估计袋中数量最多的是________．
解析：取了10次有9个白球，则取出白球的频率是0.9，估计从该袋中任取一球，是白球的概率约是0.9，是黑球的概率约是0.1，因为取出白球的概率大于取出黑球的概率，所以估计袋中数量最多的是白球．
答案：白球
7．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品；
④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于10；
其中________是必然条件；________是不可能事件；________是随机事件．
解析：200件产品中，8件是二级品，现从中任意选出9件，当然不可能全是二级品，不是一级品的件数最多为8，小于10.
答案：③④ ② ①
8．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量
1至
4件
5至
8件
9至
12件
13至
16件
17件及
以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)
解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，故x＝15，y＝20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为＝1.9(分钟)．
(2)在这100位顾客中，一次购物的结算时间不超过2分钟的共有15＋30＋25＝70(人)，
根据频率与概率的关系，估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为＝0.7.
9．如图所示，盒中装有3个完全相同的球，分别标着“A”“B”“C”，从盒中随意摸出一球，并自由转动转盘(转盘被分成相等的3个扇形)，小刚和小明用它们做游戏，并约定：如果所摸出的球上的字母与转盘停止时指针对准的字母相同，则小明获得1分，如果不同，则小刚获得1分．
(1)你认为这个游戏公平吗？为什么？
(2)如果不公平，该如何修改约定才能使游戏对双方公平？
(3)如果他们认为这个约定不公平，但又不想修改约定，于是便商定只用转盘转动两次做这个游戏，你认为这样公平吗？
解：游戏是否公平，关键要看试验很多次后，两人平均每次试验的得分是否相等，相等，则公平；不相等，则不公平．
(1)不公平．因为每进行一次游戏，小明获1分的机会是，而小刚获得1分的机会是.
(2)可这样修改约定：如果所摸出的球上的字母与转盘停止时指针对准的字母相同，则小明获2分；如果不同，则小刚获1分．
(3)也不公平．因为每转动两次转盘，小明获得1分的机会仍是，而小刚获得1分的机会仍是.
