2．3 互斥事件
预习课本P138～146，思考并完成以下问题
(1)互斥事件的定义是什么？
(2)对立事件的定义是什么？
(3)互斥事件与对立事件有什么区别和联系？
(4)互斥事件的概率加法公式是什么？
1．互斥事件
(1)定义：在一个试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件．
(2)规定：事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．
(3)公式：在一次随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，那么有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
(4)公式的推广：如果随机事件A1，A2，…，An中任意两个是互斥事件，那么有P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
[点睛] (1)如果事件A与B是互斥事件，那么A与B两事件同时发生的概率为0.
(2)
从集合的角度看，记事件A所含结果组成的集合为集合A，事件B所含结果组成的集合为集合B，事件A与事件B互斥，则集合A与集合B的交集是空集，如图所示．
2．对立事件
(1)定义：
在一次试验中，如果两个事件A与B不能同时发生，并且一定有一个发生，那么事件A与B称作对立事件，事件A的对立事件记为.
(2)性质：
P(A)＋P()＝1，即P(A)＝1－P()．
[点睛] 两个事件是对立事件，它们也一定是互斥事件；两个事件为互斥事件，它们未必是对立事件．
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对立事件一定是互斥事件．( )
(2)A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．( )
(3)若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.( )
(4)事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×
2．一人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．两次都不中靶 D．只有一次中靶
解析：选C 连续射击两次的结果有四种：①两次都中靶；②两次都不中靶；③第一次中靶，第二次没有中靶；
④第一次没有中靶，第二次中靶．“至少有一次中靶”包含①③④三种结果，因此互斥事件是②.
3．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为( )
A．至多有2件次品 B．至多有1件次品
C．至多有2件正品 D．至少有2件正品
解析：选B 至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件．共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．
4．甲乙两人下围棋比赛，已知比赛中甲获胜的概率为0.45，两人平局的概率为0.1，则甲输的概率为________．
解析：记事件A＝“甲胜乙”，B＝“甲、乙战平”，C＝“甲不输”，则C＝A＋B，而A，B是互斥事件，故P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.55.由于甲输与不输为对立事件，故甲输的概率为：1－P(C)＝1－0.55＝0.45.
答案：0.45
互斥事件和对立事件的判断
[典例] 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判断下列事件是否是互斥事件，如果是，判断它们是否是对立事件．
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.
[解] (1)由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件．由于事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件．
(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件．
(4)事件B“至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报”中有3种可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”．即事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(5)由(4)的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．
判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们在一次试验中能否同时发生，若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件；判断两个事件是否为对立事件，主要看在一次试验中这两个事件是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生．这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件．
[活学活用]
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)恰有1名男生与恰有2名男生；
(2)至少1名男生与全是男生；
(3)至少1名男生与全是女生；
(4)至少1名男生与至少1名女生．
解：从3名男生和2名女生中任选2名同学有3类结果；两男或两女或一男一女．
(1)因为恰有1名男生与恰有2名男生不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时，它们都没有发生，所以它们不是对立事件．
(2)当恰有2名男生时，至少1名男生与全是男生同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)因为至少1名男生与全是女生不可能同时发生，所以它们是互斥事件；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)当选出的是1名男生1名女生时，至少1名男生与至少1名女生同时发生，所以它们不是互斥事件.
互斥事件与对立事件概率公式的应用
[典例] 某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率；
(3)射中8环以下的概率．
[解] “射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”是彼此互斥的，可运用互斥事件的概率加法公式求解．
记“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，则
(1)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.
(2)法一：P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87，所以至少射中7环的概率为0.87.
法二：事件“至少射中7环”的对立事件是“射中7环以下”，其概率为0.13，则至少射中7环的概率为1－0.13＝0.87.
(3)P(D＋E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29，所以射中8环以下的概率为0.29.
运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤
(1)确定各事件彼此互斥；
(2)求各事件分别发生的概率，再求其和．
值得注意的是：(1)是公式使用的前提条件，不符合这点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的．
[活学活用]
在数学考试中，小明的成绩在90分及90分以上的概率是0.18，在80～89分(包括80分与89分，下同)的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07.计算下列事件的概率：
(1)小明在数学考试中取得80分及80分以上的成绩；
(2)小明考试及格．
解：分别记小明的成绩在“90分及90分以上”，在“80～89分”，在“70～79分”，在“60～69分”为事件B，C，D，E，显然这四个事件彼此互斥．
(1)小明的成绩在80分及80分以上的概率是
P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
(2)法一：小明考试及格的概率是
P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
法二：因为小明考试不及格的概率是0.07，所以小明考试及格的概率是1－0.07＝0.93.
互斥、对立事件与古典概型的综合应用
[典例] 一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．
[解] 记事件A1＝{任取1球为红球}；A2＝{任取1球为黑球}；
A3＝{任取1球为白球}；A4＝{任取1球为绿球}，则
P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.
根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，
法一：由互斥事件概率公式，得
(1)取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋＋＝.
法二：(1)故取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4.所以取得1球为红球或黑球的概率为
P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)
＝1－－＝＝.
(2)A1＋A2＋A3的对立事件为A4，所以
P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－＝.
求复杂事件的概率通常有两种方法
(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；
(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率．
[活学活用]
某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示．现从中随机抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率；
(2)该队员最多属于两支球队的概率．
解：分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A，B，C.由图知3支球队共有球员20名．
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件D.
则D＝A＋B＋C，∵事件A，B，C两两互斥，
∴P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝.
(2)令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件E，
则为“抽取一名队员，该队员属于3支球队”，
∴P(E)＝1－P()＝1－＝.
[层级一 学业水平达标]
1．许洋说：“本周我至少做完三套练习题．”设许洋所说的事件为A，则A的对立事件为( )
A．至多做完三套练习题 B．至多做完二套练习题
C．至多做完四套练习题 D．至少做完三套练习题
解析：选B 至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6…套练习题，故它的对立事件为做完0,1,2套练习题，即至多做完2套练习题．
2．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A．对立事件 B．互斥但不对立事件
C．不可能事件 D．以上说法都不对
解析：选B 因为只有1张红牌，所以这两个事件不可能同时发生，所以它们是互斥事件；但这两个事件加起来并不是总体事件，所以它们不是对立事件．
3．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 记3个红球分别为a1，a2，a3,2个白球分别为b1，b2.从3个红球、2个白球中任取3个，则所包含的基本事件有(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10个．由于每个基本事件发生的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．
用A表示“所取的3个球中至少有1个白球”，则其对立事件表示“所取的3个球中没有白球”，则事件包含的基本事件有1个：(a1，a2，a3)，所以P()＝.故P(A)＝1－P()＝1－＝.
4．事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，则P(A)＝________.
解析：因为事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，所以P(A)＋P(B)＝1－＝.又因为P(A)＝2P(B)，
所以P(A)＋P(A)＝，
所以P(A)＝.
答案：
[层级二 应试能力达标]
1．若P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B的关系是( )
A．互斥不对立 B．对立不互斥
C．互斥且对立 D．以上说法都不对
答案：C
2．若事件A和B是互斥事件，且P(A)＝0.1，则P(B)的取值范围是( )
A．[0,0.9] B．[0.1,0.9]
C．(0,0.9] D．[0,1]
解析：选A 由于事件A和B是互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)，又0≤P(A∪B)≤1，所以0≤0.1＋P(B)≤1，又P(B)≥0，所以0≤P(B)≤0.9，故选A.
3．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则P(A＋B)＝( )
A. B.
C. D．1
解析：选B A包含向上点数是1,3,5的情况，B包含向上的点数是1,2,3的情况，所以A＋B包含了向上点数是1,2,3,5的情况．故P(A＋B)＝＝.
4．从1,2,3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 这30个数中“是偶数”的有15个，“能被5整除的数”有6个，这两个事件不互斥，既是偶数又能被5整除的数有3个，所以事件“是偶数或能被5整除的数”包含的基本事件数是18个，而基本事件共有30个，所以所求的概率为＝.
5．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现2点”，已知P(A)＝，P(B)＝，则“出现奇数点或2点”的概率为________．
解析：“出现奇数点”的概率为P(A)，“出现2点”的概率为P(B)，且事件A与B互斥，则“出现奇数点或2点”的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
答案：
6．某一时期内，一条河流某处的最高水位在各个范围内的概率如下：
最高水位/m
[8,10)
[10,12)
[12,14)
概率
0.2
0.3
0.5
则在同一时期内，河流在这一处的最高水位不超过12 m的概率为________．
解析：法一：记“最高水位在[8,10)内”为事件A1，记“最高水位在[10,12)内”为事件A2，记“最高水位不超过12 m”为事件A3，由题意知，事件A1，A2彼此互斥，而事件A3包含基本事件A1，A2，所以P(A3)＝P(A1)＋P(A2)＝0.2＋0.3＝0.5.
法二：记“最高水位在[12,14)内”为事件B1，记“最高水位不超过12 m”为事件B2，由题意知，事件B1和B2互为对立事件，所以P(B2)＝1－P(B1)＝1－0.5＝0.5.
答案：0.5
7．围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.那么，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．
解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A＋B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，即“任意取出2粒恰好是同一色”的概率为.
答案：
8．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为不合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
(1)求此人被评为优秀的概率；
(2)求此人被评为良好及以上的概率．
解：将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，共有10种．
令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件．则
(1)P(D)＝.
(2)P(E)＝，P(F)＝P(D)＋P(E)＝.
9．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
解：(1)由题意知，(a，b，c)所有的可能结果为
(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，
(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，
(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，
(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，
(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，
(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，
(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，
则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．
∴P(A)＝＝.
即“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B的对立事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．
∴P(B)＝1－P()＝1－＝.
即“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
课时跟踪检测（十八） 互斥事件
1．若P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B的关系是( )
A．互斥不对立 B．对立不互斥
C．互斥且对立 D．以上说法都不对
答案：C
2．若事件A和B是互斥事件，且P(A)＝0.1，则P(B)的取值范围是( )
A．[0,0.9] B．[0.1,0.9]
C．(0,0.9] D．[0,1]
解析：选A 由于事件A和B是互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)，又0≤P(A∪B)≤1，所以0≤0.1＋P(B)≤1，又P(B)≥0，所以0≤P(B)≤0.9，故选A.
3．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则P(A＋B)＝( )
A. B.
C. D．1
解析：选B A包含向上点数是1,3,5的情况，B包含向上的点数是1,2,3的情况，所以A＋B包含了向上点数是1,2,3,5的情况．故P(A＋B)＝＝.
4．从1,2,3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 这30个数中“是偶数”的有15个，“能被5整除的数”有6个，这两个事件不互斥，既是偶数又能被5整除的数有3个，所以事件“是偶数或能被5整除的数”包含的基本事件数是18个，而基本事件共有30个，所以所求的概率为＝.
5．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现2点”，已知P(A)＝，P(B)＝，则“出现奇数点或2点”的概率为________．
解析：“出现奇数点”的概率为P(A)，“出现2点”的概率为P(B)，且事件A与B互斥，则“出现奇数点或2点”的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
答案：
6．某一时期内，一条河流某处的最高水位在各个范围内的概率如下：
最高水位/m
[8,10)
[10,12)
[12,14)
概率
0.2
0.3
0.5
则在同一时期内，河流在这一处的最高水位不超过12 m的概率为________．
解析：法一：记“最高水位在[8,10)内”为事件A1，记“最高水位在[10,12)内”为事件A2，记“最高水位不超过12 m”为事件A3，由题意知，事件A1，A2彼此互斥，而事件A3包含基本事件A1，A2，所以P(A3)＝P(A1)＋P(A2)＝0.2＋0.3＝0.5.
法二：记“最高水位在[12,14)内”为事件B1，记“最高水位不超过12 m”为事件B2，由题意知，事件B1和B2互为对立事件，所以P(B2)＝1－P(B1)＝1－0.5＝0.5.
答案：0.5
7．围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.那么，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．
解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A＋B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，即“任意取出2粒恰好是同一色”的概率为.
答案：
8．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为不合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
(1)求此人被评为优秀的概率；
(2)求此人被评为良好及以上的概率．
解：将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，共有10种．
令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，F表示此人被评为良好及以上的事件．则
(1)P(D)＝.
(2)P(E)＝，P(F)＝P(D)＋P(E)＝.
9．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
解：(1)由题意知，(a，b，c)所有的可能结果为
(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，
(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，
(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，
(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，
(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，
(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，
(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，
则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．
∴P(A)＝＝.
即“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B的对立事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．
∴P(B)＝1－P()＝1－＝.
即“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
