2．1 简单随机抽样
预习课本P8～11，思考并完成以下问题
(1)什么样的抽样是简单随机抽样？
(2)简单随机抽样有什么特点？
(3)简单随机抽样的常用方法有哪些？
(4)抽签法和随机数表法的概念是什么？它们的实施步骤是什么？各有什么优缺点？
1．简单随机抽样
(1)定义：
根据实际需要有时需从总体中随机地抽取一些对象，然后对抽取的对象进行调查．在抽取的过程中，要保证每个个体被抽到的概率相同．这样的抽样方法叫作简单随机抽样．
(2)特点：
①总体个数有限：简单随机抽样要求被抽取样本的总体个数有限，这样便于通过样本对总体进行分析．
②逐个抽取：简单随机抽样是从总体中逐个进行抽取，这样便于实际操作．
③无放回抽样：简单随机抽样是一种无放回抽样，这样便于样本的获取和一些相关的计算．
④等可能抽样：不仅每次从总体中抽取一个个体时各个个体被抽取的可能性相等，而且在整个抽样过程当中，各个个体被抽取的可能性相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．
2．抽签法
(1)定义：
抽签法就是先把总体中的N个个体编号，并把编号写在形状、大小相同的签上，然后将这些号签放在同一个箱子里均匀搅拌．每次随机地从中抽取一个，然后将号签均匀搅拌，再进行下一次抽取．如此下去，直至抽到预先设定的样本数．
(2)优缺点：
①优点：简单易行，当总体个数不多时，号签搅拌均匀很容易，个体有均等的机会被抽取，从而能保证样本的代表性．
②缺点：当总体个数较多时，费时、费力，且号签很难被搅拌均匀，产生的样本代表性差，导致抽样的不公平．
3．随机数法
(1)定义：
把总体中的N个个体依次编上0,1，…，N－1的号码，然后利用工具(转盘或摸球、随机数表、科学计算器或计算机)产生0,1，…，N－1中的随机数，产生的随机数是几，就选几号个体，直至抽到预先规定的样本数．
(2)优缺点：
优点：简单易行，它很好地解决了抽签法中遇到的当总体个数较多时制签难、号签很难被搅拌均匀的问题．
缺点：总体个数很多，需要的样本容量较大时，不太方便．
[点睛] 当随机地选定开始读取的数字之后，读数的方向可以向右，也可以向左、向上、向下等．因为随机数表中每个位置上各个数字出现的概率是相等的，因此不论采用什么方式读数，我们都能保证各个个体被抽到的概率相同．
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)从无数个个体中抽取20个个体作为样本，是简单随机抽样．( )
(2)从50台冰箱中一次性抽取5台冰箱进行质量检测，是简单随机抽样．( )
(3)某班有40名学生，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛，是简单随机抽样．( )
(4)彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签，是简单随机抽样．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性( )
A．与第几次抽样有关，第一次抽中的可能性要大些
B．与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等
C．与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性要大些
D．每个个体被抽中的可能性无法确定
解析：选B 在简单随机抽样中，每一个个体被抽中的可能性都相等，与第几次抽样无关．
3．下列抽样中，用抽签法方便的是( )
A．从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验
解析：选B 根据抽签法的特点可知，B选项用抽签法比较方便．
4．在容量为100的总体中用随机数表法抽取5个样本，总体编号为00,01,02，…，99，给出下列几组号码：
①00,01,02,03,04；
②10,30,50,70,90；
③49,19,46,04,67；
④11,22,33,44,55
则可能成为所得样本编号的是________(将所有正确结论的序号全填上)．
解析：随机数表法是一种简单随机抽样方法，因此每一个个体都有可能被抽到，且被抽到的可能性相同，因此所列几组都可能成为所得样本的编号．故填①②③④.
答案：①②③④
简单随机抽样的概念
[典例] 下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？
(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本；
(2)仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；
(3)某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴灾区开展救灾工作．
[解] (1)不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．
(2)不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．
(3)不是简单随机抽样．因为这50名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．
要判断所给的抽样方法是否是简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的四个特点．
[活学活用]
下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？
①某工厂的质检员从一袋30个螺母中一次性取出5个进行质量检测；
②某商品的市场调查员为了了解该商品在某日某超市的销售情况，在超市出口处随机向10个顾客询问是否购买了该商品；
③某班级有4个小组，每组共有12个同学．班主任指定每组坐在第一张桌子的8位同学为班干部；
④中国福利彩票30选7，得到7个彩票中奖号码．
解：简单随机抽样要求：被抽取的样本的总体个数确定且较少，抽取样本时要求逐个抽取，每个个体被抽取的可能性一样．所以①不是，因为是一次性抽取不是逐个抽取；②不是，被抽取的样本的总体个数不确定；③不是，班主任的指定不能保证班级里的每一个学生被抽取的可能性一样；④是，它属于简单随机抽样中的随机数法.
抽签法的应用
[典例] 某班有50名学生，要从中随机地抽出6人参加一项活动，请写出利用抽签法抽取该样本的过程．
[解] 利用抽签法步骤如下：
第一步：将这50名学生编号，编号为01,02,03，…，50.
第二步：将50个号码分别写在纸条上，并揉成团，制成号签．
第三步：将得到的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀．
第四步：从容器中逐一抽取6个号签，并记录上面的号码．
对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生．
利用抽签法抽取样本时应注意以下问题：
(1)编号时，如果已有编号(如学号、标号等)可不必重新编号．(例如该题中这50名同学，可以直接利用学号)
(2)号签要求大小、形状完全相同．
(3)号签要搅拌均匀．
(4)要逐一、不放回抽取．
[活学活用]
上海某中学从40名学生中选1名学生作为上海男篮拉拉队成员，采用下面两种方法选取．
方法一：将40名学生按1～40进行编号，相应制作1～40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅拌均匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签号码一致的学生幸运入选；
方法二：将39个白球与1个红球混合放在一个暗箱中搅匀，让40名学生逐一从中摸取1个球，摸到红球的学生成为拉拉队成员．
试问这两种方法是否都是抽签法？为什么？
解：抽签法抽样时给总体中的N个个体编号各不相同，由此可知方法一是抽签法，因为抽签法要求所有的号签编号互不相同，而方法二中39个白球无法相互区分，故方法二不是抽签法．
这两种方法的相同之处在于每名学生被选中的机会都相等.
随机数法
[典例] 设某校共有100名教师，为了支援西部教育事业，现要从中随机抽出12名教师组成暑期西部讲师团，请写出利用随机数法抽取该样本的步骤．
[解] 其步骤如下：
第一步，将100名教师进行编号：00,01,02，…，99.
第二步，在随机数表(见教材第9页表1－2)中任取一数作为开始，如从第12行第9列开始，依次向右读取两位的数，可以得到31,70,05,00,25,93,45,53,78,14,28,89.
与这12个编号对应的教师组成样本．
随机数法解题策略
(1)选定初始数字读数方向，向左、向右、向上或向下都可以，方向不同可能导致不同结果，但这一点不影响样本的公平性．
(2)读数时，编号为两位，两位读取，编号为三位，则三位读取，如果出现重号，则跳过，接着读取．
(3)当题目所给的编号位数不一致时，不便于直接从随机数表中读取，这时需要对号码作适当的调整使新编号位数相同．
[活学活用]
假设我们要检验某公司生产的袋装牛奶的质量是否达标，需从800袋袋装牛奶中抽取50袋进行检验．利用随机数法抽取样本，写出抽样过程．
解：第一步：将800袋袋装牛奶编号为000,001，…，799；
第二步：从随机数表(见教材第9页表1－2)中任意一个位置，如从第1行的第8列，第9列和第10列开始选数，向右读，抽得第1个样本号码208，依次得到样本号码：026,314,070,243，…，其中超出000～799范围的数和前面已出现的数舍去，一直到选出50个样本号码为止；
第三步：所选出的50个号码对应的50袋袋装牛奶即为所要抽取的样本.
简单随机抽样的灵活应用
[典例] 一个学生在一次竞赛中要回答的8道题是这样产生的：从15道物理题中随机抽3道；从20道化学题中随机抽3道；从12道生物题中随机抽2道．选用合适的方法确定这个学生所要回答的三门学科的题的序号(物理题的编号为1～15，化学题的编号为16～35，生物题的编号为36～47)．
[解] 法一：抽签法
第一步，将试题的编号1～47分别写在一张纸条上，将纸条揉成团，制成号签，并将物理、化学、生物题的号签分别放在不透明的袋子中，搅匀．
第二步，从装有物理题的号签的袋子中逐个抽取3个号签，从装有化学题的号签的袋子中逐个抽取3个号签，从装有生物题的号签的袋子中逐个抽取2个号签，并记录所得号签上的编号，这便是这个学生所要回答的问题的序号．
法二：随机数表法
第一步，将物理题的序号对应改成01,02，…，15，其余两科题的序号不变．
第二步，在随机数表(见教材第9页表1－2)中任取一个数作为开始，如从第10行第3列开始，依次向右读取两位的数，凡不在01～47中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，从01～15中选3个号码，从16～35中选3个号码，从36～47中选2个号码，依次可得到26,29,27,43,19,06,01,46,07.
第三步，对应以上号码找出所要回答的问题的序号．物理题的序号为：1,6,7；化学题的序号为：26,27,29；生物题的序号为：43,46.
(1)若知样本由n类组成，需分别在n类样本中抽取，若每类总体和样本的个数都较少，所以采用抽签法或随机数法都可以完成．
(2)本题在用抽签法解答时，需将三类题的号签分开，分别抽取；用随机数法解答时，则可以将三类题的序号同时抽取，只要把握好每类的抽取个数即可．
[活学活用]
从20架钢琴中抽取5架进行质量检查，请选用合适的方法确定这5架钢琴．
解：第一步，将20架钢琴编号，号码是0,1，…，19.
第二步，将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签．
第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀．
第四步，从袋子中逐个抽取5个号签，并记录上面的编号．
第五步，所得号码对应的5架钢琴就是要抽取的对象．
(温馨提示：本题亦可采用随机数表法)
[层级一 学业水平达标]
1．下列抽样方法是简单随机抽样的是( )
A．从100个零件中一次性抽取5个做质量检验
B．从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验
C．从实数集中逐个抽取10个做奇偶性分析
D．运动员从8个跑道中随机选取一个跑道
解析：选D 选项A错在“一次性”抽取；选项B错在“有放回”抽取；选项C错在总体容量无限．
2．用随机数法进行抽样有以下几个步骤：①将总体中的个体编号；②获取样本号码；③选定开始的数字．这些步骤的先后顺序应为( )
A．①②③ B．①③②
C．③②① D．③①②
答案：B
3．用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性和“第二次被抽到”的可能性分别是( )
A.， B.，
C.， D.，
解析：选A 简单随机抽样中每个个体被抽取的机会均等，都为.
4．已知容量为160的总体，若用随机数法抽取一个容量为10的样本．下面对总体的编号正确的是( )
A．1,2，…，160 B．0,1，…，159
C．00,01，…，159 D．000,001，…，159
解析：选D 用随机数法抽样时，要保证每个个体的编号的位数一致．
[层级二 应试能力达标]
1．对于简单随机抽样，下列说法中正确的是( )
①它要求被抽取样本的总体的个数有限，以便对其中各个个体被抽取的概率进行分析；
②它是从总体中逐个进行抽取，以便在抽样实践中进行操作；
③它是一种不放回抽样；
④它是一种等概率抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的概率相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的概率也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
答案：D
2．抽签法中确保样本代表性的关键是( )
A．抽签 B．搅拌均匀
C．逐一抽取 D．抽取不放回
解析：选B 逐一抽取，抽取不放回是简单随机抽样的特点，但不是确保样本代表性的关键，一次抽取与有放回抽取(个体被重复取出可不算再放回)也不影响样本的代表性，抽签也一样．
3．下列抽取样本的方法属于简单随机抽样的是( )
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；
②盒子里有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样时，从中任意拿出1个零件进行质量检测后，再把它放回盒子里；
③从8台电脑中，不放回地依次抽取2台进行质量检验(假设8台电脑已编好号，对编号随机抽取)．
A．① B．②
C．③ D．以上都不对
解析：选C 由简单随机抽样的特点知，只有③正确．
4．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08 B．07
C．02 D．01
解析：选D 从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始从左向右一次选取两个数字，开始向右读，依次是65,72,08,02,63,14,07,02,43,69,97,28,01,98，…，所以选出来的5个个体的编号是08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号是01.
5．高一(1)班有60名学生，学号从01到60，数学老师在上统计课时，利用随机数法选5名学生提问，老师首先选定从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第6列的“1”开始，向右读依次选学号提问，则被提问的5个学生的学号为________．
8 5 7 0 2 1 5 0 8 1 4 0 4 3 5 5 5 3 2 1 2 5 4 8 0 2 0 8 7 5 4 3
9 1 6 9 0 4 0 8 4 3 5 3 6 1 2 2 8 9 1 3 9 9 3 0 4 1 6 9 6 0 3 2
2 1 2 7 0 1 6 2 6 1 7 6 4 9 6 9 8 1 8 5 9 3 1 2 8 7 4 8 8 5 7 5
8 0 9 0 9 8 7 2 1 9 6 8 0 2 6 3 0 0 8 1 2 6 6 2 6 8 3 1 3 1 0 6
2 9 5 9 9 0 1 1 1 4 4 8 4 3 4 6 7 0 1 9 8 1 4 8 1 5 5 7 8 4 0 0
解析：依据选号规则，选取的5名学生的学号依次为：15,08,14,04,35.
答案：15,08,14,04,35
6．从总数为N的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N＝________.
解析：由×100%＝25%，得N＝120.
答案：120
7．用简单随机抽样的方法从含有6个个体的总体中，抽取一个容量为2的样本，某一个个体a“第一次被抽到的概率”，“第二次被抽到的概率”，“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是________．
解析：从6个个体中抽1个个体，每个个体被抽到的概率均为，与抽取的次数无关，第二次被抽到的概率仍为.但由于在整个抽样过程中是从6个个体中抽2个样本，故个体a被抽到的概率为.
答案：，，
8．下列抽取样本时运用了哪种抽样方法？并说明原因．
设一个总体中的个体数N＝345，要抽取一个容量为n＝15的样本，现采用如下方法：从随机数表中任意选取三列构成三位数字号码，从中依次取出不同的三位数字号码，当数在001～345之间时，该号码抽入样本；当数在401～745之间时，则该数减去400的号码抽入样本中，其余的000,346～400,746～999的号码都不要；当某号码已抽入样本中，而再次遇到该号码被抽入样本时，只算一次．
解：运用了简单随机抽样中的随机数法．简单随机抽样的要求是给个体编号，逐个不放回抽取，操作的个体数量不宜太多，每个个体被抽取的机会均等，只有符合这些特点才是简单随机抽样．本题虽然取数时，设计了特别的规则，但是从随机数表中任意取数符合简单随机抽样的特点，所以本题运用了简单随机抽样法中的随机数法．
9．假设要从高三年级全体学生450人中随机抽出20人参加一项活动，请分别用抽签法和随机数法抽出人选，写出抽取过程．
解：抽签法：先把450名同学的学号写在相同小纸片上，揉成小球，放在一个不透明的袋子中，充分搅拌后，再从中逐个抽出20个小球，这样就抽出20人参加活动．
随机数法：第一步，先将450人编号，可以编为000,001,002，…，449；
第二步，在随机数表中任取一个数，例如选出第6行的第8个数0；
第三步，从选定的数字开始向右读，每次读3个数字，组成一个三位数，把小于或等于449的三位数依次取出，直到取完20个号码，与这20个号码相应的学生去参加活动．
课时跟踪检测（二） 简单随机抽样
1．对于简单随机抽样，下列说法中正确的是( )
①它要求被抽取样本的总体的个数有限，以便对其中各个个体被抽取的概率进行分析；
②它是从总体中逐个进行抽取，以便在抽样实践中进行操作；
③它是一种不放回抽样；
④它是一种等概率抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的概率相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的概率也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
答案：D
2．抽签法中确保样本代表性的关键是( )
A．抽签 B．搅拌均匀
C．逐一抽取 D．抽取不放回
解析：选B 逐一抽取，抽取不放回是简单随机抽样的特点，但不是确保样本代表性的关键，一次抽取与有放回抽取(个体被重复取出可不算再放回)也不影响样本的代表性，抽签也一样．
3．下列抽取样本的方法属于简单随机抽样的是( )
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；
②盒子里有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样时，从中任意拿出1个零件进行质量检测后，再把它放回盒子里；
③从8台电脑中，不放回地依次抽取2台进行质量检验(假设8台电脑已编好号，对编号随机抽取)．
A．① B．②
C．③ D．以上都不对
解析：选C 由简单随机抽样的特点知，只有③正确．
4．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08 B．07
C．02 D．01
解析：选D 从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始从左向右一次选取两个数字，开始向右读，依次是65,72,08,02,63,14,07,02,43,69,97,28,01,98，…，所以选出来的5个个体的编号是08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号是01.
5．高一(1)班有60名学生，学号从01到60，数学老师在上统计课时，利用随机数法选5名学生提问，老师首先选定从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第6列的“1”开始，向右读依次选学号提问，则被提问的5个学生的学号为________．
8 5 7 0 2 1 5 0 8 1 4 0 4 3 5 5 5 3 2 1 2 5 4 8 0 2 0 8 7 5 4 3
9 1 6 9 0 4 0 8 4 3 5 3 6 1 2 2 8 9 1 3 9 9 3 0 4 1 6 9 6 0 3 2
2 1 2 7 0 1 6 2 6 1 7 6 4 9 6 9 8 1 8 5 9 3 1 2 8 7 4 8 8 5 7 5
8 0 9 0 9 8 7 2 1 9 6 8 0 2 6 3 0 0 8 1 2 6 6 2 6 8 3 1 3 1 0 6
2 9 5 9 9 0 1 1 1 4 4 8 4 3 4 6 7 0 1 9 8 1 4 8 1 5 5 7 8 4 0 0
解析：依据选号规则，选取的5名学生的学号依次为：15,08,14,04,35.
答案：15,08,14,04,35
6．从总数为N的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N＝________.
解析：由×100%＝25%，得N＝120.
答案：120
7．用简单随机抽样的方法从含有6个个体的总体中，抽取一个容量为2的样本，某一个个体a“第一次被抽到的概率”，“第二次被抽到的概率”，“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是________．
解析：从6个个体中抽1个个体，每个个体被抽到的概率均为，与抽取的次数无关，第二次被抽到的概率仍为.但由于在整个抽样过程中是从6个个体中抽2个样本，故个体a被抽到的概率为.
答案：，，
8．下列抽取样本时运用了哪种抽样方法？并说明原因．
设一个总体中的个体数N＝345，要抽取一个容量为n＝15的样本，现采用如下方法：从随机数表中任意选取三列构成三位数字号码，从中依次取出不同的三位数字号码，当数在001～345之间时，该号码抽入样本；当数在401～745之间时，则该数减去400的号码抽入样本中，其余的000,346～400,746～999的号码都不要；当某号码已抽入样本中，而再次遇到该号码被抽入样本时，只算一次．
解：运用了简单随机抽样中的随机数法．简单随机抽样的要求是给个体编号，逐个不放回抽取，操作的个体数量不宜太多，每个个体被抽取的机会均等，只有符合这些特点才是简单随机抽样．本题虽然取数时，设计了特别的规则，但是从随机数表中任意取数符合简单随机抽样的特点，所以本题运用了简单随机抽样法中的随机数法．
9．假设要从高三年级全体学生450人中随机抽出20人参加一项活动，请分别用抽签法和随机数法抽出人选，写出抽取过程．
解：抽签法：先把450名同学的学号写在相同小纸片上，揉成小球，放在一个不透明的袋子中，充分搅拌后，再从中逐个抽出20个小球，这样就抽出20人参加活动．
随机数法：第一步，先将450人编号，可以编为000,001,002，…，449；
第二步，在随机数表中任取一个数，例如选出第6行的第8个数0；
第三步，从选定的数字开始向右读，每次读3个数字，组成一个三位数，把小于或等于449的三位数依次取出，直到取完20个号码，与这20个号码相应的学生去参加活动．
