2．2 分层抽样与系统抽样
预习课本P12～15，思考并完成以下问题
(1)分层抽样的概念是什么？
(2)分层抽样的应用范围是什么？其抽样步骤是什么？
(3)系统抽样的概念是什么？
(4)系统抽样的应用范围是什么？其抽样步骤是什么？
1．分层抽样
(1)定义：
将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．
(2)适用范围：
当总体是由差异明显的几部分组成时，往往选用分层抽样．
(3)抽样步骤：
①将总体按一定标准进行分层；
②计算各层的个体数与总体的个体数的比；
③按各层的个体数占总体的比例确定各层应抽取的样本容量；
④在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或下面讲的系统抽样)．
[点睛] (1)在每层进行抽样时，大多数情况下是采用简单随机抽样，有时也会采用其他方法，这要根据问题的需要来决定．
(2)每个个体被抽到的可能性都是，与层数无关．
2．系统抽样
(1)定义：
系统抽样是将总体的个体进行编号，等距分组，按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按分组的间隔(称为抽样距)抽取其他样本．
系统抽样又叫等距抽样或机械抽样．
(2)适用范围：
适用于样本容量较大， 且个体之间无明显差异的情况．
(3)抽样步骤：
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．
第一步，编号：先将总体的N个个体进行编号；
第二步，分段：确定分段间隔k，对编号进行分段，当n能整除N时，k＝；当n不能整除N时(设整除所得余数为r)，先从总体中随机剔除(可采用简单随机抽样方法剔除)r个个体，此时k＝；
第三步：定起始编号：在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；
第四步，抽取样本：按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(k＋l)，再加k得到第3个个体编号(2k＋l)，依次进行下去，直到获取整个样本．
[点睛] (1)分段间隔k不是自己随意指定的，而是根据总体容量和样本容量计算出来的．
(2)确定起始编号后，在此编号的基础上，加上分段间隔的整数倍即得抽样编号．
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)从标有1～15号的15个球中，任选3个球作样本，按从小号到大号排列，随机选择起点i(1≤i≤5)，然后选标号为i，i＋5，i＋10的球入样，是系统抽样．( )
(2)某工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验，是分层抽样．( )
(3)为调查某商场的顾客满意度，规定在商场出口随机抽一人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止，是分层抽样．( )
(4)在报告厅对与会听众进行调查，通知每排(每排人数相同)座位号为14的听众留下座谈，是分层抽样．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×
2．某商场想通过检验发票的2%来快速估计每月的销售总量，采取如下办法：
从第一本50张的发票存根中随机抽出1张，如第15张，将所有的发票存根叠放在一起，然后按顺序依次抽取第65张，第115张，第165张，…，发票上的销售额组成一个调查样本，这种抽样的方法是( )
A．简单随机抽样 B．系统抽样
C．分层抽样 D．抽签法
解析：选B 由题意知分段间隔k＝50，第一段的发票编号分别为1,2,3，…，50，抽取的号码是15，即l＝15，抽出的发票中任意相邻两张的间隔相同，故为系统抽样．
3．某集团有老年职工270人，中年职工540人，青年职工810人．为了更好地调查他们的健康情况，需从所有职工中抽取一个容量为36的样本，应采用的抽样方法是______________．
解析：由于健康情况与年龄密切相关，不同年龄的人群其健康情况会有明显的差异，因此采用分层抽样的方法较合适．故填分层抽样．
答案：分层抽样
分层抽样
[典例] (1)某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )
A．抽签法 B．随机数法
C．系统抽样法 D．分层抽样法
(2)某家电视台在因特网上征集某电视节目现场参与的观众，报名的总人数为12 000人，分别来自4个城区，其中东城区2 400人，西城区4 600人，南城区3 800人，北城区1 200人，从中抽取60人参加现场的节目，应当如何抽取？写出抽取过程．
[解析] (1)显然男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面存在明显差异，应当分层抽取，故宜采用分层抽样．
答案：D
(2)解：采用分层抽样的方式抽取参加现场节目的观众，步骤如下：
第一步 分层．按城区分为四层：东城区、西城区、南城区、北城区．
第二步 确定抽样比．样本容量n＝60，总体容量N＝12 000，故抽样比k＝＝＝.
第三步 按比例确定每层抽取个体数．在东城区抽取2 400×＝12(人)，在西城区抽取4 600×＝23(人)，在南城区抽取3 800×＝19(人)，在北城区抽取1 200×＝6(人)．
第四步 在各层分别用简单随机抽样法抽取样本．将各城区抽取的观众合在一起组成样本．
(1)如果总体中的个体有差异时，就用分层抽样抽取样本，用分层抽样抽取样本时，要把性质、结构相同的个体，组成一层．
(2)每层中所抽取的个体数应按各层个体数在总体中所占的比例抽取，也就是各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即抽样比＝.这样抽取能使所得到的样本结构与总体结构相同，可以提高样本对总体的代表性．
[活学活用]
1．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝( )
A．9 B．10
C．12 D．13
解析：选D 由分层抽样可得＝，解得n＝13.
2．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．
解析：由分层抽样的方法可得，从一年级本科生中抽取学生人数为300×＝60.
答案：60
系统抽样
[典例] 某单位共有在岗职工624人，为了调查职工上班时从离开家到单位的平均用时，决定抽取10%的工人进行调查，如何采用系统抽样完成这一抽样？
[解] 第一步 由题意知，应抽取在岗职工62人作为样本，即分成62组，由于的商是10，余数是4，所以每组有10人，还剩4人．这时，抽样距是10；
第二步 用随机数法从这些职工中抽取4人，不进行调查；
第三步 将余下的在岗职工620人进行编号，编号分别为000,001,002，…，619；
第四步 在第一组000,001,002，…，009这10个编号中，随机选定一个起始编号．每间隔10抽取一个编号，共抽62个编号，这样就抽取了容量为62的一个样本．
当总体容量不能被样本容量整除时，可以先从总体中随机剔除几个个体．但要注意的是剔除过程必须是随机的，也就是总体中的每个个体被剔除的机会均等，剔除几个个体后使总体中剩余的个体数能被样本容量整除．
[活学活用]
1．要从已编号(1～61)的61枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是( )
A．5,10,15,20,25,30 B．3,13,23,33,43,53
C．1,2,3,4,5,6 D．16,25,34,43,52,61
解析：选B 先用简单随机抽样剔除1个个体，再重新编号抽取，则间隔应为10，故B正确．
2．某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2,3，…，295，为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，请写出抽样过程．
解：按1∶5的比例抽样.295÷5＝59.
第一步，把295名学生分成59组，每组5人．第一组是编号为1～5的5名学生，第二组是编号为6～10的5名学生，依次类推，第59组是编号为291～295的5名学生．
第二步，采用简单随机抽样，从第一组的5名学生中随机抽取1名，不妨设其编号为k(1≤k≤5)．
第三步，从以后各段中依次抽取编号为k＋5i(i＝1,2，3，…，58)的学生，再加上从第一段中抽取的编号为k的学生，得到一个容量为59的样本.
抽样方法的综合应用
[典例] 为了考察某学校的教学水平，现抽取这个学校高三年级的部分学生本学年的考试成绩进行考察．为了全面反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查(已知该学校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生按随机方式编好了学号，假定高三年级每班学生人数都相同)：
①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班任意抽取20人，考察他们的学习成绩；
②每个班都抽取1人，共计20人，考察这20个学生的成绩；
③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中共抽取100名学生进行考察(已知若按成绩分，该校高三1 000名学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人)．
根据上面的叙述，回答下列问题：
(1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？按每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？
(2)上面三种抽取方式中，各自采用何种抽样方法？
(3)试分别写出上面三种抽取方式抽取样本的步骤．
(4)比较以上三种方式，哪种方式更好地考察出学校的教学水平？
[解] (1)上面三种抽取方式中，其总体都是高三全体学生本学年的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本学年的考试成绩．其中第一种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本学年的考试成绩，样本容量为100.
(2)①采用的是简单随机抽样法；②采用的是系统抽样法和简单随机抽样法；③采用的是分层抽样法和简单随机抽样法．
(3)①的抽样步骤如下：
第一步，在这20个班中用抽签法任意抽取一个班．
第二步，从这个班中按学号用随机数法或抽签法抽取20名学生，考察其考试成绩．
②的抽样步骤如下：
第一步，在第一个班中，用简单随机抽样法抽取某一学生，记其学号为a.
第二步，在其余的19个班中，选取学号为a的学生，共计20人．
③的抽样步骤如下：
第一步，分层．由于按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，故在抽取样本时，应把全体学生分成三层．
第二步，确定各个层抽取的人数．由于样本容量与总体的个体数的比为100∶1 000＝1∶10，故在每层抽取的个体数依次为，，，即15,60,25.
第三步，按层分别抽取．在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人；在良好生中用简单随机抽样法抽取60人；在普通生中用简单随机抽样法抽取25人．
(4)由于总体容量较大，且个体差异大，故第三种方式(分层抽样)能较好地考察出学校的教学水平．
(1)三种抽样方法的比较
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
抽样过程中每个个体被抽取
的机会均等
从总体中逐个抽取
总体中的个体数较多，且无明显差异
系统抽样
将总体均匀分成若干部分，按事先确定的规则在各部分中抽取
在起始部分抽样时采用简单随机抽样
总体中的个体数较少，且无明显差异
分层抽样
将总体分成互不交叉的层，分层进行抽取
各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
(2)如何抽取样本，直接关系到对总体估计的准确程度，因此，抽样时要保证每一个个体都可能被抽到，且每一个个体被抽到的机会是均等的，满足这样条件的抽样才是随机抽样．
[活学活用]
某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛．为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3 000名初中生、4 000名高中生中做问卷调查．
(1)如果要在所有答卷中抽出150份用于评估．应如何抽取才能得到比较客观的评价结论，请详细叙述抽样过程？
(2)如果要在所有答卷中抽出120份用于评估．应如何运用系统抽样的方法从4 000名高中生的答卷中抽取64份样本，请详细叙述抽样过程？
解：(1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同，所以应当采取分层抽样的方法进行抽样．
因为样本容量为150，总体个数为500＋3 000＋4 000＝7 500，则抽样比为＝，所以有500×＝10,3 000×＝60,4 000×＝80，
所以在教职员工、初中生、高中生的答卷中抽取的个体数分别是10,60,80.
分层抽样的步骤是：
第一步，分层：分为教职员工、初中生、高中生，共三层．
第二步，确定每层抽取个体的个数：在教职员工、初中生、高中生的答卷中抽取的个体数分别是10,60,80.
第三步，各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取样本(具体抽样过程见后面的叙述)．
第四步，综合每层抽样，组成样本．
这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论．
其中，第一层(教职员工)500份答卷中选10份，由于制作500个号签费时费力，且难以保证搅拌均匀，不适合采用抽签法，采用随机数表法、系统抽样的方法均可．
法一：(随机数表法)
步骤：
①编号，将500份答卷都编上号码：000,001，002，…，499；
②在随机数表上随机选取一个起始位置；
③规定读数方向．如向右连续取数字，以3个数为一组，如果读取的三位数大于499，则去掉，如果遇到相同号码则只取一个，这样一直到取满10个号码为止．
法二：(系统抽样法)
步骤：
①将这500名教职员工的答卷编号为1,2,3，…，500；
②按1～50,51～100,101～150，…，451～500分成十组，每组50个编号；
③在第一组中运用抽签法随机选择一个编号(步骤略)，比如所选号码为17，则其他各组号码分别为67,117,167,217,267,317,367,417,467.
④获取样本：将上述10个号码代表的答卷取出作为样本．
第二层(初中生)3 000份答卷选60份．要制作3 000个号签，费时费力，因此更不适合抽签法．可以采用随机数表法或系统抽样的方法(具体步骤略)．
第三层(高中生)亦是如此．
(2)由于4 000÷64＝62.5不是整数，则应先使用简单随机抽样从4 000名学生中随机剔除32个个体，再将剩余的3 968个个体进行编号：1,2，…，3 968，然后将整体分为64个部分，其中每个部分中含有62个个体，如第1部分个体的编号为1,2，…，62，从中随机抽取一个号码，如若抽取的是23，则从第23号开始，每隔62个抽取一个，这样得到容量为64的样本：23,85,147,209,271,333,395,457，…，3 929.
[层级一 学业水平达标]
1．某学校高一、高二、高三学生分别有280人、320人、400人．为了解各年级学生的课余时间安排，拟从全体学生中抽取100人进行调查，则宜采用的抽样方法是( )
A．抽签法 B．随机数法
C．系统抽样法 D．分层抽样法
答案：D
2．要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次为( )
A．①简单随机抽样法，②系统抽样法
B．①分层抽样法，②简单随机抽样法
C．①系统抽样法，②分层抽样法
D．①②都用分层抽样法
解析：选B ①各层间差距较大，宜用分层抽样；②总体较少，宜用简单随机抽样．
3．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选C 抽取的植物油类食品种数为×20＝2(种)，抽取的果蔬类食品种数为×20＝4(种)，故抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是6.
4．某班级有52名学生，现将学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知6号，32号，45号学生在样本中，那么在样本中还有一个学生的编号是________号．
解析：由＝13，知抽样间隔为13，抽取的编号依次为6,19,32,45，故还有一个学生的编号为19.
答案：19
[层级二 应试能力达标]
1．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )
A．11 B．12
C．13 D．14
解析：选B 依据系统抽样为等距抽样的特点，分42组，每组20人，区间[481,720]包含25组到36组，每组抽1人，则抽到的人数为12.
2．为了调查某产品的销售情况，销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解情况．若用系统抽样法，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为( )
A．3,2 B．2,3
C．2,30 D．30,2
解析：选A 因为92÷30不是整数，因此必须先剔除部分个体数，因为92＝30×3＋2，故剔除2个即可，而间隔为3.
3．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为( )
A．101 B．808
C．1 212 D．2 012
解析：选B 由题意知抽样比为，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12＋21＋25＋43＝101，故有＝，解得N＝808.
4．用系统抽样法(按等距离的规则)要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽样方法确定的号码是( )
A．7 B．5
C．4 D．3
解析：选B 设第一组确定的号码为a，则a＋15×8＝125，∴a＝5.
5．某公司生产的三种型号的家用轿车，产量分别是1 200辆、6 000辆和2 000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取一个容量为46的样本进行检验，那么这三种型号的轿车依次应取________辆、________辆和________辆．
解析：三种型号的轿车的产量比是1 200∶6 000∶2 000＝3∶15∶5，所以三种型号的轿车分别抽取的辆数是×46＝6(辆)，×46＝30(辆)，×46＝10(辆)．
答案：6 30 10
6．某校有老师200人，男学生1 200人，女学生1 000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本．已知从女生中抽取80人，则n＝________.
解析：因为80∶1 000＝8∶100，所以n∶(200＋1 200＋1 000)＝8∶100，所以n＝192.
答案：192
7．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是________．
解析：∵m＝6，k＝7，∴m＋k＝13.∴在第7组中抽取的号码应为63.
答案：63
8．一个总体中的1 000个个体编号为0,1,2，…，999，并依次将其分成10组，组号为0,1,2，…，9.要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地取出后面各组的号码，即第k组中抽取号码的后两位数为x＋33k的后两位数．
(1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；
(2)若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，求x的取值范围．
解：(1)当x＝24时，按规则可知所抽取样本的10个号码依次为：
024,157,290,323,456,589,622,755,888,921.
(2)当k＝0,1,2，…，9时，33k的值依次为：
0,33,66,99,132,165,198,231,264,297.
又抽取的样本的10个号码中有一个的后两位数是87，
从而x可以是：87,54,21,88,55,22,89,56,23,90.
所以x的取值范围是{21,22,23,54,55,56,87,88,89,90}．
9．某市2所高级中学联合在暑假组织全体教师外出旅游，活动分为两条线路：华东五市游和长白山之旅，且每位教师至多参加了其中的一条线路．在参加活动的教师中，高一教师占42.5%，高二教师占47.5%，高三教师占10%.
参加华东五市游的教师占参加活动总人数的，且该组中，高一教师占50%，高二教师占40%，高三教师占10%.为了了解各条线路不同年级的教师对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体教师中抽取一个容量为200的样本．试确定：
(1)参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师分别所占的比例；
(2)参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师分别应抽取的人数．
解：(1)设参加华东五市游的人数为x，参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师所占的比例分别为a，b，c，则有＝47.5%，＝10%，解得b＝50%，c＝10%.故a＝100%－50%－10%＝40%，即参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师所占的比例分别为40%,50%,10%.
(2)参加长白山之旅的高一教师应抽取人数为200××40%＝60；
抽取的高二教师人数为200××50%＝75；
抽取的高三教师人数为200××10%＝15.
课时跟踪检测（三） 分层抽样与系统抽样
1．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )
A．11 B．12
C．13 D．14
解析：选B 依据系统抽样为等距抽样的特点，分42组，每组20人，区间[481,720]包含25组到36组，每组抽1人，则抽到的人数为12.
2．为了调查某产品的销售情况，销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解情况．若用系统抽样法，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为( )
A．3,2 B．2,3
C．2,30 D．30,2
解析：选A 因为92÷30不是整数，因此必须先剔除部分个体数，因为92＝30×3＋2，故剔除2个即可，而间隔为3.
3．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为( )
A．101 B．808
C．1 212 D．2 012
解析：选B 由题意知抽样比为，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12＋21＋25＋43＝101，故有＝，解得N＝808.
4．用系统抽样法(按等距离的规则)要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽样方法确定的号码是( )
A．7 B．5
C．4 D．3
解析：选B 设第一组确定的号码为a，则a＋15×8＝125，∴a＝5.
5．某公司生产的三种型号的家用轿车，产量分别是1 200辆、6 000辆和2 000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取一个容量为46的样本进行检验，那么这三种型号的轿车依次应取________辆、________辆和________辆．
解析：三种型号的轿车的产量比是1 200∶6 000∶2 000＝3∶15∶5，所以三种型号的轿车分别抽取的辆数是×46＝6(辆)，×46＝30(辆)，×46＝10(辆)．
答案：6 30 10
6．某校有老师200人，男学生1 200人，女学生1 000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本．已知从女生中抽取80人，则n＝________.
解析：因为80∶1 000＝8∶100，所以n∶(200＋1 200＋1 000)＝8∶100，所以n＝192.
答案：192
7．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是________．
解析：∵m＝6，k＝7，∴m＋k＝13.∴在第7组中抽取的号码应为63.
答案：63
8．一个总体中的1 000个个体编号为0,1,2，…，999，并依次将其分成10组，组号为0,1,2，…，9.要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地取出后面各组的号码，即第k组中抽取号码的后两位数为x＋33k的后两位数．
(1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；
(2)若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，求x的取值范围．
解：(1)当x＝24时，按规则可知所抽取样本的10个号码依次为：
024,157,290,323,456,589,622,755,888,921.
(2)当k＝0,1,2，…，9时，33k的值依次为：
0,33,66,99,132,165,198,231,264,297.
又抽取的样本的10个号码中有一个的后两位数是87，
从而x可以是：87,54,21,88,55,22,89,56,23,90.
所以x的取值范围是{21,22,23,54,55,56,87,88,89,90}．
9．某市2所高级中学联合在暑假组织全体教师外出旅游，活动分为两条线路：华东五市游和长白山之旅，且每位教师至多参加了其中的一条线路．在参加活动的教师中，高一教师占42.5%，高二教师占47.5%，高三教师占10%.
参加华东五市游的教师占参加活动总人数的，且该组中，高一教师占50%，高二教师占40%，高三教师占10%.为了了解各条线路不同年级的教师对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体教师中抽取一个容量为200的样本．试确定：
(1)参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师分别所占的比例；
(2)参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师分别应抽取的人数．
解：(1)设参加华东五市游的人数为x，参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师所占的比例分别为a，b，c，则有＝47.5%，＝10%，解得b＝50%，c＝10%.故a＝100%－50%－10%＝40%，即参加长白山之旅的高一教师、高二教师、高三教师所占的比例分别为40%,50%,10%.
(2)参加长白山之旅的高一教师应抽取人数为200××40%＝60；
抽取的高二教师人数为200××50%＝75；
抽取的高三教师人数为200××10%＝15.
