江苏省邳州四中2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题 扫描版

2018～2019学年度第二学期期中考试
高二年级数学（理）参考答案

一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1. 60 2. 3. 假设 4. 3或4 5. -1
6. 37 7. 大前提 8. 9. 90 10.
11. 240 12. ＋＋＋＝1 13. 82 14. 44
二．解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
15.解：（1）因为复数为纯虚数，所以，………………3分
解之得，……………………………………………………………………7分
(2)因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以……………10分
解之得，得，………………………………………………………12分
所以实数的取值范围为.…………………………………………………………14分
16.解：由题意知，二项展开式中前三项的系数分别是
，，…………………………………3分
所以 2·＝1＋n(n－1)，
解得n＝8或n＝1(不合题意，舍去)，故n＝8.…………………………………5分

所以Tk＋1＝=，……………………………………7分
（1）当4－k∈Z时，Tk＋1为有理项
因为 0≤k≤8且k∈Z，所以 k＝0,4,8符合要求．
故有理项有3项，分别是T1＝x4，T5＝x，T9＝x-2.…………………………10分
（2）因为n＝8，所以展开式中共9项，由二项式定理性质可知，中间一项即第5项的二项式系数最大，且为T5＝x.………………………………………………………………14分
17.解：(1) A摆在正中间，其他4个产品进行全排列，故共有(种)排法.………3分
(2) 分三步：第一步将产品A摆在两端，有2种；第二步将产品B摆在中间三个位置之一，有3种排法；第三步将余下的三件产品摆在余下三个位置，有A种排法，故共有2×3×A＝36(种)排法．…………………………………………………………8分
(3) 将A，B捆绑在一起，有A种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A种摆法，共有AA＝48(种)摆法，而A，B，C三件在一起，且A，B相邻，A，C相邻有CAB，BAC两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A＝12(种)摆法，故A，B相邻，A，C不相邻的摆法有48－12＝36(种)．………………………………………………13分
答：（1）A必须摆在正中间排法有24(种)；
（2）A摆在两端，产品B不能摆在两端的排法有36(种)；
（3）产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，不同的摆法有36(种)．……14分
18.解：因为 ，所以 ， 所以，
因为，所以………………4分
猜想.………………………………………………………………6分
证明：①当时，成立.
②假设时，等式成立，即，
当时，，.……………8分
所以，…………………………………………………10分
所以，…………………………12分
所以时等式也成立，得证.
所以根据①、②可知，对于任意，等式均成立.……………………14分
又因为，所以.………………………………16分

19.（1）性质：设是椭圆(a＞b＞0)上关于原点对称的两点，点是椭圆上的任意一点.若直线的斜率都存在并分别记为,则是与点的位置无关的定值.…………………………………………………………………………2分
证明：设点，则点，从而.设点则，则
故是与点的位置无关的定值.………………………………………………6分
（2）设的斜率为，，因为P为椭圆上第一象限内一点，所以由（1）结论可知，所以的斜率为．
因为，所以，则AC的方程为
因为，所以，则BC的方程为．……………………………8分
由，得，即……………………………………10分
设，，因为，且直线AC的斜率，所以的斜率为.则的方程为
联立方程，得，即………………12分
则………………14分
因为 所以…………………………………………16分
(其他解法适当给分）
20.（1）证明：假设，因为为三角形内角，所以，则，因为，所以，则，这与矛盾，故假设不成立，因此.……………………………………………………………………… ……………4分
（2）证明：根据对称性，不妨设
①因为<
且.………………………………………………………………………………6分
令, 则
因为 所以
所以在上单调递减.
所以.
即成立,可知成立.………………………………………10分
②因为>.
且.令…………………………………………12分
则 因为 所以
所以在上单调递增.
所以.
即成立，可知…………………………………………14分
综上所述，当，，且时，有.………………16分






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