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第五章
第三节机械能守恒和能量守恒
知识内容
必考要求
1.机械能守恒定律
d
2.能量守恒定律与能源
c
考点一 机械能守恒定律
[巩固基础]
1．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
(2)常用的三种表达式
①守恒式：E1＝E2或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2；
②转化式：ΔEk＝－ΔEp；
③转移式：ΔEA＝－ΔEB。
2．机械能守恒条件
(1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。
(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。
(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能减少量，那么系统的机械能守恒。注意：并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少。
[提升能力]
题型(一) 机械能守恒的判断
1．用定义判断：即动能与势能之和保持不变。
2．用做功判断：即用机械能守恒条件判断。
3．用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，内部也没有机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒。
[例1] 下列运动过程中，机械能一定守恒的是( )
A．做自由落体运动的小球
B．在竖直平面内做匀速圆周运动的物体
C．在粗糙斜面上匀加速下滑的物块
D．匀速下落的跳伞运动员
[解析] 判断机械能是否守恒有两种方法，一是根据条件判断；二是直接判断动能和势能的总和是否保持不变。做自由落体运动的小球，只有重力做功，A正确；做竖直面上的匀速圆周运动的物体，在运动中重力势能改变，而动能不变，机械能不守恒，故B错误；沿粗糙斜面加速滑下的物块，由于摩擦力做功，所以机械能一定不守恒，C错误；跳伞运动员带着张开的降落伞匀速下降，动能不变，重力势能减小，所以机械能减小，故D错误。
[答案] A
题型(二) 机械能守恒定律的应用
[例2] 如图所示是跳台滑雪的示意图，雪道由倾斜的助滑雪道AB、水平平台BC、着陆雪道CD及减速区DE组成，各雪道间均平滑连接。A处与水平平台间的高度差h＝45 m，CD的倾角为30°。运动员自A处由静止滑下，不计其在雪道ABC滑行和空中飞行时所受的阻力，运动员可视为质点，g取10 m/s2。
(1)求运动员滑离平台BC时的速度大小；
(2)为保证运动员落在着陆雪道CD上，雪道CD长度至少为多少？
(3)若实际的着陆雪道CD长为150 m，运动员着陆后滑到D点时具有的动能是着陆瞬间动能的80%。在减速区DE滑行s＝100 m后停下，运动员在减速区所受平均阻力是其重力的多少倍？
[解析] (1)A→C过程中机械能守恒：mgh＝mvC2
得vC＝＝30 m/s。
(2)设落点D′距抛出点C的距离为L，
由平抛运动规律得Lcos 30°＝vCt
Lsin 30°＝gt2
解得L＝120 m。
(3)运动员由A运动到落点D′过程中，由机械能守恒得mg(h＋Lsin 30°)＝mvD′2
设运动员在减速区减速过程中所受平均阻力是重力的k倍，
根据动能定理有－kmgs＝0－mvD2
根据题意有mvD2＝0.80×mvD′2
解得k＝0.84。
[答案] (1)30 m/s (2)120 m (3)0.84
[规律总结]
应用机械能守恒定律的一般步骤
[演练考法]
1．(2016·10月浙江学考)如图所示，无人机在空中匀速上升时，不断增加的能量是( )
A．动能 B．动能、重力势能
C．重力势能、机械能 D．动能、重力势能、机械能
解析：选C 无人机匀速上升，所以动能保持不变，所以选项A、B、D均错；高度不断增加，所以重力势能不断增加，在上升过程中升力对无人机做正功，所以无人机机械能不断增加，所以选项C正确。
2.(2017·4月浙江学考)火箭发射回收是航天技术的一大进步。如图所示，火箭在返回地面前的某段运动，可看成先匀速后减速的直线运动，最后撞落在地面上。不计火箭质量的变化，则( )
A．火箭在匀速下降过程中，机械能守恒
B．火箭在减速下降过程中，携带的检测仪器处于失重状态
C．火箭在减速下降过程中合力做功等于火箭机械能的变化
D．火箭着地时，火箭对地的作用力大于自身的重力
解析：选D 匀速下降过程动能不变，重力势能减少，所以机械能不守恒，选项A错误；减速下降时加速度向上，所以携带的检测仪器处于超重状态，选项B错误；火箭着地时，火箭对地的作用力大于自身的重力，选项D正确；合外力做功等于动能改变量，选项C错误。
3. (2016·10月浙江学考)如图1所示，游乐场的过山车可以底朝上在竖直圆轨道上运行，可抽象为图2的模型。倾角为45°的直轨道AB，半径R＝10 m的光滑竖直圆轨道和倾角为37°的直轨道EF，分别通过水平光滑衔接轨道BC、C ′E平滑连接，另有水平减速直轨道FG与EF平滑连接，EG间的水平距离l＝40 m，现有质量m＝500 kg的过山车从高h＝40 m处的A点静止下滑，经BCDC′EF，最终停在G点，过山车与轨道AB、EF的动摩擦因数均为μ1＝0.2，与减速直轨道FG的动摩擦因数μ2＝0.75，过山车可视为质点，运动中不脱离轨道，求
图1
图2
(1)过山车运动至圆轨道最低点C时的速度大小；
(2)过山车运动至圆轨道最高点D时对轨道的作用力；
(3)减速直轨道FG的长度x。(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
解析：(1)过山车到达C点的速度为vC，由动能定理
mgh－μ1mgcos 45°＝mvC2
代入数据可得vC＝8 m/s。
(2)过山车到达D点的速度为vD，由机械能守恒定律
2mgR＋mvD2＝mvC2
由牛顿笫二定律
mg＋FD＝m
联立代入数据可得：FD＝7 000 N
由牛顿笫三定律可知，轨道受到的力FD′＝7 000 N，方向竖直向上。
(3)过山车从A到达G点，由动能定理可得
mgh－mg(l－x)tan 37°－μ1mghcot 45°－μ1mg(l－x)－μ2mgx＝0
代入数据可得x＝30 m。
答案：(1)8 m/s (2)7 000 N，方向竖直向上 (3)30 m
考点二 能量守恒定律及应用
[巩固基础]
1．内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变。
2．表达式：ΔE减＝ΔE增。
3．确立能量守恒定律的两类重要事实：确认了永动机的不可能性和发现了各种自然现象之间的相互联系与转化。
4．节约能源的意义：能量的耗散表明，在能源的利用过程中，即在能量的转化过程中，能量在数值上虽未减少，但在可利用的品质上降低了，从便于利用的变成了不便于利用的了。
[提升能力]
1．几种常见的功能关系
几种常见力做功
对应的能量变化
数量关系式
重力
正功
重力势能减少
WG＝－ΔEp
负功
重力势能增加
弹簧等的弹力
正功
弹性势能减少
W弹＝－ΔEp
负功
弹性势能增加
电场力
正功
电势能减少
W电＝－ΔEp
负功
电势能增加
合力
正功
动能增加
W合＝ΔEk
负功
动能减少
重力以外的其他力
正功
机械能增加
W其＝ΔE
负功
机械能减少
2.两个特殊的功能关系
(1)滑动摩擦力与两物体间相对位移的乘积等于产生的内能，即Ffx相对＝ΔQ。
(2)感应电流克服安培力做的功等于产生的电能，即W克安＝ΔE电。
[例1] 下列设想中，符合能量转化和守恒定律的是( )
A．利用永磁铁和软铁的相互作用，做成一架机器，永远地转动下去
B．制造一架飞机，不携带燃料，只利用太阳是不能飞行的
C．做成一只船，利用流水的能量，逆水行驶，不用其他动力
D．利用核动力使地球离开太阳系
[解析] A项不符合能量守恒，利用永磁铁和软铁的相互作用，做一架永远转动下去的机器是不可能的；太阳能可以转化为机械能，B中所述情景中的飞机是可行的；核动力是非常大的，大于地球和太阳系之间的引力，利用核动力可使地球离开太阳系， D选项正确；逆水行船，不用其他动力是不可行的，C错误。
[答案] D
[例2] 如图所示，固定斜面的倾角θ＝30°，物体A与斜面之间的动摩擦因数为μ＝，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C点，用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A和B，滑轮右侧绳子与斜面平行，A的质量为2m＝4 kg，B的质量为m＝2 kg，初始时物体A到C点的距离为L＝1 m，现给A、B一初速度v0＝3 m/s，使A开始沿斜面向下运动，B向上运动，物体A将弹簧压缩到最短后又恰好能弹到C点。已知重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，整个过程中轻绳始终处于伸直状态，求此过程中：
(1)物体A向下运动刚到C点时的速度大小；
(2)弹簧的最大压缩量；
(3)弹簧中的最大弹性势能。
[解析] (1)物体A向下运动刚到C点的过程中，对A、B组成的系统应用能量守恒定律可得：
μ·2mgcos θ·L＝·3mv02－·3mv2＋2mgLsin θ－mgL
可解得v＝2 m/s。
(2)以A、B组成的系统，在物体A将弹簧压缩到最大压缩量，又返回到C点的过程中，系统动能的减少量等于因摩擦产生的热量，
即：·3mv2－0＝μ·2mgcos θ·2x
其中x为弹簧的最大压缩量
解得x＝0.4 m。
(3)设弹簧的最大弹性势能为Epm
由能量守恒定律可得：
·3mv2＋2mgxsin θ－mgx＝μ·2mgcos θ·x＋Epm
解得：Epm＝6 J。
[答案] (1)2 m/s (2)0.4 m (3)6 J
[规律总结]
应用能量守恒定律的解题思路
首先确定初、末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE减与增加的能量总和ΔE增，最后由ΔE减＝ΔE增列式求解。
[演练考法]
4. (2016·4月浙江学考)如图所示，装置由一理想弹簧发射器及两个轨道组成。其中轨道Ⅰ由光滑轨道AB与粗糙直轨道BC平滑连接，高度差分别是h1＝0.20 m，h2＝0.10 m，BC水平距离L＝1.00 m。轨道Ⅱ由AE、螺旋圆形EFG和GB三段光滑轨道平滑连接而成，且A点与F点等高。当弹簧压缩量为d时，恰能使质量m＝0.05 kg的滑块沿轨道Ⅰ上升到B点；当弹簧压缩量为2d时，恰能使滑块沿轨道Ⅰ上升到C点。(已知弹簧弹性势能与压缩量的平方成正比)
(1)当弹簧压缩量为d时，求弹簧的弹性势能及滑块离开弹簧瞬间的速度大小；
(2)求滑块与轨道BC间的动摩擦因数；
(3)当弹簧压缩量为d时，若沿轨道Ⅱ运动，滑块能否上升到B点？请通过计算说明理由。
解析：(1)弹簧与滑块组成的系统机械能守恒：
Ep1＝mv02
又滑块离开弹簧瞬间到运动至B点机械能守恒：
mv02＝mgh1
由以上两式解得v0＝＝2 m/s
Ep1＝0.1 J。
(2)当Δx＝d时，滑块恰好沿轨道Ⅰ运动到B点，
mgh1＝Ep1
当Δx＝2d时，滑块恰好运动到C点
mg(h1＋h2)＋μmgL＝Ep2
已知Ep＝k·Δx2
联立得＝
即＝
解得μ＝0.5。
(3)恰能通过圆环最高点，须满足的条件是mg＝，由机械能守恒定律有v＝v0＝2 m/s，得Rm＝0.4 m，当R＞Rm＝0.4 m时，滑块会脱离螺旋轨道，不能上升到B点。
答案：(1)0.1 J 2 m/s (2)0.5 (3)见解析
