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第五章
第一节功和功率
知识内容
必考要求
1.追寻守恒量——能量
b
2.功
c
3.功率
c
考点一 功
[巩固基础]
1．追寻守恒量
物体由于运动而具有的能量叫做动能；相互作用的物体凭借其位置而具有的能量叫做势能。
2．功
(1)做功的必要因素
力和物体在力的方向上发生的位移。
(2)计算公式
W＝Flcos α，即力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦值这三者的乘积。
(3)功的正负
①当0≤α<时，W>0，力对物体做正功。
②当<α≤π时，W<0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功。
③当α＝时，W＝0，力对物体不做功。
[提升能力]
[例1] (2018·宁波模拟)如图所示，摆球质量为m，悬线的长为L，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力F阻的大小不变，则下列说法正确的是( )
A．重力做功为0
B．绳的拉力做正功
C．空气阻力F阻做功为－mgh
D．空气阻力F阻做功为－F阻πL
[解析] 小球下落过程中，重力做功为mgL，A错误；绳的拉力始终与速度方向垂直，拉力做功为0，B错误；空气阻力F阻大小不变，方向始终与速度方向相反，故空气阻力F阻做功为－F阻·πL，C错误、D正确。
[答案] D
[例2] 如图所示，一个质量为m＝2 kg的物体受到与水平面成37°角的斜向下方的推力F＝10 N的作用，在水平地面上移动了距离x1＝2 m后撤去推力，此物体又滑行了x2＝1.6 m的距离后停止运动，动摩擦因数为0.2(g取10 m/s2)，求：
(1)推力F对物体做的功；
(2)全过程中摩擦力对物体所做的功。
[解析] (1)推力做功由公式W＝Flcos α得
WF＝Fx1cos 37°＝10×2×0.8 J＝16 J。
(2)如图所示，由受力分析可知竖直方向
FN1＝mg＋Fsin 37°＝26 N
所以摩擦力做功
Wf1＝μFN1x1cos 180°＝0.2×26×2×(－1)J＝－10.4 J
撤去外力后FN2＝mg＝20 N。
Wf2＝μFN2x2cos 180°＝0.2×20×1.6×(－1)J
＝－6.4 J
故Wf＝Wf1＋Wf2＝－16.8 J。
[答案] (1)16 J (2)－16.8 J
[规律总结]
功的计算方法和技巧
1．在求力做功时，首先要区分是求某个力的功还是合力的功，是求恒力的功还是变力的功。
2．恒力做功与物体的实际路径无关，等于力与物体在力方向上的位移的乘积，或等于位移与在位移方向上的力的乘积。
3．若为变力做功，则要考虑应用动能定理或将变力做功转化为恒力做功进行求解。
4．总功的计算：根据情况灵活选择以下两种思路。
(1)先求物体所受的合外力，再求合外力的功；
(2)先求每个力做的功，再求各功的代数和。
考点二 功率
[巩固基础]
1．定义：功与完成这些功所用时间的比值。
2．物理意义：描述力对物体做功的快慢。
3．平均功率的计算
(1)利用P＝计算。
(2)利用P＝F计算，其中为和力在一条直线上的物体运动的平均速度，F为恒力。
4．瞬时功率的计算
利用P＝Fv计算，v为t时刻的瞬时速度。
[提升能力]
机车启动模型(物理模型)
物体在牵引力(受功率和速度制约)作用下，从静止开始克服一定的阻力，加速度不变或变化，最终加速度等于零，速度达到最大值。
1．两种启动方式的比较
两种启动方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P-t图和v-t图
OA段
过程分析
v↑?F＝↓?a＝↓
a＝不变?F不变，v↑?P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB段
过程分析
F＝f?a＝0?f＝
v↑?F＝↓?a＝↓
运动性质
以vm匀速直线运动
加速度减小的加速运动
BC段
无
F＝f?a＝0?以vm＝匀速运动
2．三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力f)。
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理：Pt－fx＝ΔEk。此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。
[典例] 如图所示中国版“野牛”级重型气垫船，自重达540吨，最高时速为108 km/h，装有M-70大功率燃气轮机，该机额定输出功率为8 700 kW。假设“野牛”级重型气垫船在海面航行过程所受的阻力f与速度v成正比，即f＝kv。下列说法正确的是( )
A．“野牛”级重型气垫船的最大牵引力为2.9×105 N
B．在额定输出功率下以最高时速航行时，气垫船所受的阻力为2.9×105 N
C．以最高时速一半的速度匀速航行时，气垫船发动机的输出功率为4 350 kW
D．从题中给出的数据，不能计算阻力f与速度v的比值k
[解析] 据题意，“野牛”级重型气垫船的最大航行速度为vm＝30 m/s，达到最大速度时，牵引力等于阻力，即F＝f＝＝ N＝2.9×105 N，但最大牵引力大于该值，则选项A错误而选项B正确；而k＝＝×103，故选项D错误；以最高时速的一半速度匀速航行，气垫船发动机输出功率为：P′＝F′＝f′×＝k××＝2.175×106 W，故选项C错误。
[答案] B
[演练考法]
1．(2017·11月浙江学考)如图所示，质量为60 kg的某运动员在做俯卧撑运动，运动过程中可将她的身体视为一根直棒。已知重心在c点，其垂线与脚、两手连线中点间的距离oa、ob分别为0.9 m和0.6 m。若她在1 min内做了30个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.4 m，则克服重力做的功和相应的功率约为( )
A．430 J,7 W B．4 300 J,70 W
C．720 J,12 W D．7 200 J,120 W
解析：选B 根据相似三角形可得，每次做俯卧撑运动员的重心升高h＝0.24 m，克服重力做功W＝mgh＝60×10×0.24 J＝144 J，所以1分钟内克服重力做功为W总＝nW＝4 320 J，功率P＝＝72 W。
2．(2017·11月浙江学考)如图所示是具有登高平台的消防车，具有一定质量的伸缩臂能够在5 min内使承载4人的登高平台(人连同平台的总质量为400 kg)上升60 m到达灭火位置。此后，在登高平台上的消防员用水炮灭火，已知水炮的出水量为3 m3/min，水离开炮口时的速率为20 m/s，则用于( )
A．水炮工作的发动机输出功率约为1×104 W
B．水炮工作的发动机输出功率约为4×104 W
C．水炮工作的发动机输出功率约为2.4×106 W
D．伸缩臂抬升登高平台的发动机输出功率约为800 W
解析：选B 在1 s内，水炮喷出去的水质量为m＝ρV＝103× kg＝50 kg，这些水的重力势能为WG＝mgh＝50×10×60 J＝3×104 J，动能为mv2＝1×104 J，所以1 s内水增加的能量为4×104 J，即水炮工作的发动机输出功率为4×104 W，选项B正确，A、C错误。伸缩臂克服承载4人的登高平台做功的功率为P＝＝ W＝800 W，但伸缩臂也有一定的质量，所以该过程发动机的输出功率大于800 W，选项D错误。
