第二章
第二节力的合成与分解、共点力的平衡
知识内容
必考要求
1.力的合成
c
2.力的分解
c
3.共点力平衡条件及应用
c
考点一 力的合成
[巩固基础]
1．合力与分力
(1)定义：如果一个力的作用效果跟几个力共同作用的效果相同，这一个力就叫那几个力的合力，那几个力就叫这个力的分力。
(2)逻辑关系：合力和分力是一种等效替代关系。
2．共点力：作用在物体上的力的作用线或作用线的反向延长线交于一点的力。
3．力的合成的运算法则
(1)平行四边形定则：求两个互成角度的共点力F1、F2的合力，可以用表示F1、F2的有向线段为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线(在两个有向线段F1、F2之间)就表示合力的大小和方向，如图甲所示。
(2)三角形定则：求两个互成角度的共点力F1、F2的合力，可以把表示F1、F2的线段首尾顺次相接地画出，把F1、F2的另外两端连接起来，则此连线就表示合力的大小和方向，如图乙所示。
4．矢量和标量
(1)矢量：既有大小又有方向的量。相加时遵循平行四边形定则。
(2)标量：只有大小没有方向的量。求和时按算术法则相加。
[提升能力]
一、共点力的合成
[例1] 一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是( )
A．三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定
B．三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向
C．三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向
D．由题给条件无法求合力大小
[解析] 沿F3方向和垂直于F3方向建立x轴、y轴，将不在坐标轴上的力F1、F2沿坐标轴正交分解，然后再合成。如图所示，假设图中的方格边长代表1 N，则F3＝4 N，沿x轴方向有：Fx＝F1x＋F2x＋F3x＝(6＋2＋4)N＝12 N，沿y轴方向有：Fy＝F1y＋F2y＋F3y＝(3－3)N＝0，F合＝3F3。
[答案] B
[例2] 如图所示是简式千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起。当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N，此时千斤顶两臂间的夹角为120°，则下列判断不正确的是( )
A．此时两臂受到的压力大小均为1.0×105 N
B．此时千斤顶对汽车的支持力为1.0×105 N
C．若继续摇动手把，两臂受到的压力将增大
D．若继续摇动手把，两臂受到的压力将减小
[解析] 由于汽车对千斤顶的压力与千斤顶对汽车的支持力是一对相互作用力，它们大小相等，故B对；又由两臂产生的合力应为1.0×105 N，而两臂的夹角恰为120°，所以两臂所受压力大小均为1.0×105 N，A对；若使两臂靠拢，则两臂夹角变小，两分力变小，故C错，D对。
[答案] C
[规律总结]
共点力合成的常用方法
(1)作图法。
(2)计算法：根据平行四边形定则作出示意图，然后利用解三角形的方法求出合力。
(3)三种特殊情况的共点力合成。
类 型
作 图
合力的计算
互相垂直
F＝
tan θ＝
两力等大，夹角为θ
F＝2F1cos
F与F1夹角为
两力等大，夹角为120°
合力与分力等大
二、合力范围的确定
[例3] 三个共点力大小分别是F1、F2、F3，关于它们的合力F的大小，下列说法中正确的是( )
A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3
B．F至少比F1、F2、F3中的某一个大
C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
[解析] 合力不一定大于分力，B错；三个共点力的合力的最小值能否为零，取决于任何一个力是否都在其余两个力的合力范围内，由于三个力大小未知，所以三个力的合力的最小值不一定为零，A错；当三个力的大小分别为3a、6a、8a，其中任何一个力都在其余两个力的合力范围内，故C正确；当三个力的大小分别为3a、6a、2a时，不满足上述情况，故D错。
[答案] C
[规律总结]
(1)两个共点力的合力范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2，即两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小。当两个力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两个力同向时，合力最大，为F1＋F2。
(2)三个共点力的合力范围
①最大值：三个力同向时，其合力最大，为Fmax＝F1＋F2＋F3。
②最小值：以这三个力的大小为边，如果能组成封闭的三角形，则其合力的最小值为零，即Fmin＝0；如果不能，则合力的最小值的大小等于最大的一个力减去另外两个力和的绝对值，即Fmin＝|F1－(F2＋F3)|(F1为三个力中最大的力)。
特别提醒：合力可以大于分力，等于分力，也可以小于分力的大小。
考点二 力的分解
[巩固基础]
1．概念：求一个力的分力的过程。
2．遵循的原则：平行四边形定则或三角形定则。
3．分解的方法
(1)效果分解法：根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向，再根据两个实际分力的方向画出平行四边形，最后由平行四边形和数学知识求出两分力的大小。
(2)正交分解法：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。
[提升能力]
一、分解力的两种方法
[例1] 如图，墙上有两个钉子a和b，它们的连线与水平方向的夹角为45°，两者的高度差为l。一条不可伸长的轻质细绳一端固定于a点，另一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物。在绳上距a端的c点有一固定绳圈。若绳圈上悬挂质量为m2的钩码，平衡后绳的ac段正好水平，则重物和钩码的质量比为( )
A. B．2
C. D.
[审题指导]
(1)重新平衡后的物理情境如何？
(2)钩码的拉力分别在什么方向产生了作用效果？能否按力的作用效果方向分解？
(3)c点共受到几个力的作用？能否用正交分解法求解？
[解析] 法一：效果分解法
钩码的拉力F等于钩码重力m2g，将F沿ac和bc方向分解，两个分力分别为Fa、Fb，如图甲所示，其中Fb＝m1g，由几何关系可得cos θ＝＝，又由几何关系得cos θ＝，联立解得＝。
法二：正交分解法
绳圈受到Fa、Fb、F三个力作用，如图乙所示，将Fb沿水平方向和竖直方向正交分解，由竖直方向受力平衡得m1gcos θ＝m2g；由几何关系得cos θ＝，联立解得＝。
[答案] C
二、绳上的“死结”和“活结”问题
[例2] 如图甲所示，轻绳AD跨过固定的水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过轻绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，轻杆的G点用轻绳GF拉住一个质量为M2的物体，求：
(1)轻绳AC段的张力FAC与轻绳EG的张力FEG大小之比；
(2)轻杆BC对C端的支持力；
(3)轻杆HG对G端的支持力。
[审题指导]
抓关键点：甲图中固定杆连“活结”，乙图中铰链杆连“死结”。
找突破口：甲图中杆对滑轮的合力与两绳的合力平衡，乙图中杆上的力沿杆。
[解析] 题图甲和乙中的两个物体M1、M2都处于平衡状态，根据平衡的条件，首先判断与物体相连的轻绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图甲和乙所示，根据平衡规律可求解。
(1)图甲中轻绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，轻绳AC段的拉力FAC＝FCD＝M1g
图乙中由于FE Gsin 30°＝M2g，得FE G＝2M2g。
所以＝。
(2)图甲中，三个力之间的夹角都为120°，根据平衡规律有NC＝FAC＝M1g，方向和水平方向成30°，指向右上方。
(3)图乙中，根据平衡方程有FE Gsin 30°＝M2g，FE Gcos 30°＝NG，所以NG＝M2gcot 30°＝M2g，方向水平向右。
[答案] (1) (2)M1g 方向和水平方向成30°指向右上方 (3)M2g 方向水平向右
[规律总结]
(1)“死结”模型中的杆与墙的联结一般为铰链，因而杆上的力沿杆、绳上的力沿绳。
(2)“活结”模型中的杆一般固定住，故杆对滑轮的力不一定沿杆与绳对滑轮的力平衡。
考点三 受力分析、共点力的平衡
[巩固基础]
1．受力分析
(1)概念
把研究对象(指定物体)在指定的物理环境中受到的所有力都分析出来，并画出物体所受力的示意图，这个过程就是受力分析。
(2)受力分析的一般顺序
先分析重力，然后分析接触力(弹力、摩擦力)，最后分析其他力(电磁力、浮力等)。
2．共点力的平衡
(1)共点力作用下物体的平衡
平衡状态：物体处于静止或匀速直线运动的状态。
共点力的平衡条件：F合＝或者
(2)共点力平衡的几条重要推论
二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小相等，方向相反。
三力平衡：如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反。
[提升能力]
[例1] 如图所示，竖直放置的轻弹簧一端固定在地面上，另一端与斜面体P连接，P的斜面与固定挡板MN接触且处于静止状态，则斜面体P此刻所受的外力个数有可能为( )
A．6个 B．3个
C．4个 D．5个
[解析] 若斜面体P受到的弹簧弹力F等于其重力mg，则MN对P没有力的作用，如图(a)所示，P受到2个力；若弹簧弹力大于P的重力，则MN对P有压力FN，若只有压力FN则P不能平衡，一定存在向右下方的力，只能是MN对P的摩擦力Ff，因此P此时受到4个力，如图(b)所示，C对。
[答案] C
[规律总结]
1．受力分析的基本步骤
2．解决平衡问题的四种常用方法
合成法
物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反
分解法
物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件
正交分解法
物体受到三个或三个以上力的作用时，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件
力的三角形法
对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力
[例2] (2018·广东增城调研)如图所示，运动员的双手握紧竖直放置的圆形器械，在手臂OA由沿水平方向缓慢移到A′位置过程中，若手臂OA、OB的拉力分别为FA和FB，下列表述正确的是( )
A．FA一定小于运动员的重力G
B．FA与FB的合力始终大小不变
C．FA的大小保持不变
D．FB的大小保持不变
[解析] 以人为研究对象，分析受力情况如图，由图看出，FA不一定小于重力G，A错误。人保持静止状态，则知FA与FB的合力与重力G大小相等、方向相反，保持不变，B正确。由图可知手臂OA沿由水平方向缓慢移到A′的过程中，FA的大小可能减小，也可能先减小后增大，FB的大小减小，C、D错误。
[答案] B
[规律总结]
共点力的动态平衡问题
物体的状态发生缓慢地变化，在这一变化过程中物体始终处于一系列的平衡状态，这种平衡称为动态平衡。解决此类问题的基本思路是化“动”为“静”，“静”中求“动”，具体有以下三种方法：
(1)解析法
对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件列式求解，得到因变量与自变量的一般函数表达式，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
(2)图解法
此法常用于求解三力平衡且有一个力是恒力、另有一个力方向不变的问题。一般按照以下流程解题。
(3)相似三角形法
在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。
[演练考法]
1．(2017·11月浙江学考)叠放在水平地面上的四个完全相同的排球如图所示，质量均为m，相互接触。球与地面间的动摩擦因数均为μ，则( )
A．上方球与下方三个球间均没有弹力
B．下方三个球与水平地面间均没有摩擦力
C．水平地面对下方三个球的支持力均为mg
D．水平地面对下方三个球的摩擦力均为μmg
解析：选C 将四个球看做一个整体，地面的支持力与球的重力平衡，设其中一个球受到的支持力大小为FN，因此3FN＝4mg，选项C正确。最上面的球对下面三个球肯定有压力，即有弹力，选项A错误。以下方三个球中任意一个球为研究对象，受力如图所示，由此可知选项B错误；由于地面与球之间的摩擦力为静摩擦力，因此不能通过Ff＝μFN求解，选项D错误。
2．(2017·4月浙江学考)重力为G的体操运动员在进行自由体操比赛时，有如图所示的比赛动作，当运动员竖直倒立保持静止状态时，两手臂对称支撑，夹角为θ，则( )
A．当θ＝60°时，运动员单手对地面的正压力大小为
B．当θ＝120°时，运动员单手对地面的正压力大小为G
C．当θ不同时，运动员受到的合力不同
D．当θ不同时，运动员与地面之间的相互作用力不相等
解析：选A 运动员受力如图所示，地面对手的支持力F1＝F2＝，则运动员单手对地面的正压力大小为，与夹角θ无关，选项A正确，B错误；不管角度如何，运动员受到的合力为零，与地面之间的相互作用力总是等大，选项C、D错误。
3．(2017·4月浙江学考)重型自卸车利用液压装置使车厢缓慢倾斜到一定角度，车厢上的石块就会自动滑下。以下说法正确的是( )
A．在石块下滑前后自卸车与石块整体的重心位置不变
B．自卸车车厢倾角越大，石块与车厢的动摩擦因数越小
C．自卸车车厢倾角变大，车厢与石块间的正压力减小
D．石块开始下滑时，受到的摩擦力大于重力沿斜面方向的分力
解析：选C 石块下滑后，整体的重心位置降低，A错误；动摩擦因数由接触面的材料和粗糙程度决定，与倾角无关，B错误；石块受力如图所示，FN＝mgcos θ，倾角变大时正压力减小，C正确；石块开始下滑时，受到的摩擦力小于重力沿斜面方向的分力，D错误。
课件42张PPT。
